Вложенный радикал - Nested radical

В алгебре , А вложенная радикал представляет собой радикал , выражение (один , содержащий корень квадратный знак, кубический корень знак и т.д.) , который содержит (гнезд) другой радикал выражение. Примеры включают

который возникает при обсуждении правильного пятиугольника и более сложных, таких как

Denesting

Некоторые вложенные радикалы можно переписать в не вложенной форме. Например,

Такой способ перезаписи вложенного радикала называется денестингом . Это не всегда возможно, а иногда и сложно.

Два вложенных квадратных корня

В случае двух вложенных квадратных корней следующая теорема полностью решает проблему денестирования.

Если a и c - рациональные числа, а c - не квадрат рационального числа, существуют два рациональных числа x и y, такие что

тогда и только тогда, когда - квадрат рационального числа d .

Если вложенный радикал является действительным, x и y - это два числа

а где - рациональное число.

В частности, если a и c - целые числа, то 2 x и 2 y - целые числа.

Этот результат включает денестирование формы

поскольку z всегда можно записать, и хотя бы один из членов должен быть положительным (поскольку левая часть уравнения положительна).

Более общая формула денестирования могла бы иметь вид

Однако теория Галуа предполагает, что либо левая часть принадлежит, либо должна быть получена путем изменения знака одного или обоих. В первом случае это означает, что можно взять x = c, а во втором случае еще один коэффициент должен быть равен нулю. Если можно переименовать xy в x для получения аналогичных действий, если это приведет к тому, что можно предположить, это показывает, что очевидно более общее денестирование всегда можно свести к приведенному выше.

Доказательство : возведя в квадрат уравнение

эквивалентно

а в случае минуса в правой части

| х | | y | ,

(квадратные корни неотрицательны по определению обозначений). Поскольку неравенство всегда может быть выполнено путем возможной замены x и y , решение первого уравнения относительно x и y эквивалентно решению

Это равенство означает, что принадлежит квадратичному полю. В этом поле каждый элемент может быть однозначно записан с рациональными числами и быть. Отсюда следует, что это не рационально (иначе правая часть уравнения была бы рациональной, но левая часть иррациональна). Поскольку x и y должны быть рациональными, квадрат должен быть рациональным. Это означает, что в выражении as Таким образом

для некоторого рационального числа Из единственности разложения по 1 и, таким образом, следует, что рассматриваемое уравнение эквивалентно

Из формул Виета следует , что x и y должны быть корнями квадратного уравнения

его (≠ 0, иначе c было бы квадратом a ), следовательно, x и y должны быть

а также

Таким образом, x и y рациональны тогда и только тогда, когда является рациональным числом.

Для явного выбора различных знаков необходимо рассматривать только положительные действительные квадратные корни и, таким образом, предполагать c > 0 . Уравнение показывает, что | а | > c . Таким образом, если вложенный радикал реален и если денестинг возможен, то a > 0 . Затем решение пишет

Некоторые личности Рамануджана

Шриниваса Рамануджан продемонстрировал ряд любопытных личностей, связанных с вложенными радикалами. Среди них следующие:

Другие радикалы со странной внешностью, вдохновленные Рамануджаном, включают:

Алгоритм Ландау

В 1989 году Сьюзан Ландау представила первый алгоритм для определения того, какие вложенные радикалы можно денестировать. В одних случаях предыдущие алгоритмы работали, в других - нет. Алгоритм Ландау включает комплексные корни из единицы и работает за экспоненциальное время относительно глубины вложенного радикала.

В тригонометрии

В тригонометрии , в синусах и косинусы многих углов могут быть выражены в терминах вложенных радикалов. Например,

а также

Последнее равенство следует непосредственно из результатов § Два вложенных квадратных корня .

При решении кубического уравнения

Вложенные радикалы появляются в алгебраическом решении этого кубического уравнения . Любое кубическое уравнение можно записать в упрощенной форме без квадратичного члена, как

общее решение для одного из корней которого

В случае, когда кубический корень имеет только один действительный корень, настоящий корень задается этим выражением, при этом подкоренные выражения кубических корней являются действительными, а кубические корни являются действительными кубическими корнями. В случае трех действительных корней выражение квадратного корня является мнимым числом; здесь любой действительный корень выражается путем определения первого кубического корня как любого конкретного комплексного кубического корня комплексного подкоренного выражения и определения второго кубического корня как комплексного сопряжения первого. Вложенные радикалы в этом решении не могут быть упрощены, если кубическое уравнение не имеет хотя бы одного рационального решения. В самом деле, если кубика имеет три иррациональных, но действительных решения, мы имеем дело с неприводимым казусом , в котором все три вещественных решения записываются в терминах кубических корней комплексных чисел. С другой стороны, рассмотрим уравнение

который имеет рациональные решения 1, 2 и −3. Приведенная выше общая формула решения дает решения

Для любого заданного выбора кубического корня и сопряженного с ним корня он содержит вложенные радикалы, включающие комплексные числа, но сводится (хотя и не очевидно) к одному из решений 1, 2 или –3.

Бесконечно вложенные радикалы

Квадратные корни

При определенных условиях бесконечно вложенные квадратные корни, такие как

представляют собой рациональные числа. Это рациональное число можно найти, поняв, что x также стоит под знаком радикала, что дает уравнение

Если мы решим это уравнение, мы обнаружим, что x = 2 (второе решение x = −1 неприменимо, поскольку подразумевается положительный квадратный корень). Этот подход также можно использовать, чтобы показать, что, как правило, если n  > 0, то

и является положительным корнем уравнения x 2  -  x  -  n  = 0. Для n = 1 этот корень является золотым сечением φ, приблизительно равным 1,618. Та же процедура работает и для получения, если n  > 1,

который является положительным корнем уравнения x 2  +  x  -  n  = 0.

Бесконечные радикалы Рамануджана

Рамануджан поставил перед Журналом Индийского математического общества следующую проблему :

Это можно решить, обратив внимание на более общую формулировку:

Установка этого параметра в F ( x ) и возведение в квадрат обеих сторон дает нам

который можно упростить до

Тогда можно показать, что

Итак, полагая a  = 0, n  = 1 и  x  = 2, мы имеем

Рамануджан изложил в своей потерянной записной книжке следующее бесконечное радикальное отрицание :

Повторяющийся узор знаков

Выражение Виэта для π

Формула Виэта для π , отношения длины окружности к ее диаметру, равна

Кубические корни

В некоторых случаях бесконечно вложенные кубические корни, такие как

может также представлять рациональные числа. Опять же, осознавая, что все выражение появляется внутри себя, мы остаемся с уравнением

Если мы решим это уравнение, мы обнаружим, что  x  = 2. В более общем плане мы находим, что

является положительным вещественным корнем уравнения x 3  -  x  -  n  = 0 для всех  n  > 0. Для n = 1 этот корень является пластическим числом ρ , приблизительно равным 1,3247.

Та же процедура работает и для получения

как действительный корень уравнения x 3  +  x  -  n  = 0 для всех n  > 1.

Теорема сходимости Гершфельда.

Бесконечно вложенный радикал (где все являются неотрицательными ) сходится тогда и только тогда , когда есть некоторые такие , что для всех .

Доказательство «если»

Мы наблюдаем, что

.

Причем последовательность монотонно возрастает. Следовательно, он сходится по теореме о монотонной сходимости .

Доказательство "только если"

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Однако, следовательно , также ограничено.

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение