Эквивалентность Морита - Morita equivalence

В абстрактной алгебре , Морит эквивалентность является отношением , определенным между кольцами , что сохраняет многие теоретико-кольцевых свойства. Точнее два кольца , такие как R , S Морита - эквивалентны (обозначается ) , если их категории модулей являются аддитивно эквивалентными (обозначается ). Он назван в честь японского математика Киити Морита, который определил эквивалентность и аналогичное понятие двойственности в 1958 году.

Мотивация

Кольца обычно изучаются с точки зрения их модулей , поскольку модули можно рассматривать как представления колец. Каждое кольцо R имеет на себе естественную структуру R -модулей, где действие модуля определяется как умножение в кольце, поэтому подход через модули является более общим и дает полезную информацию. Из-за этого часто изучают кольцо, изучая категорию модулей над этим кольцом. Эквивалентность Мориты приводит эту точку зрения к естественному выводу, определяя кольца как эквивалентные Морите, если их категории модулей эквивалентны . Это понятие представляет интерес только при работе с некоммутативными кольцами , поскольку можно показать, что два коммутативных кольца эквивалентны Морите тогда и только тогда, когда они изоморфны .

Определение

Два кольца R и S (ассоциативные, с 1) называются ( Morita ) эквивалентными, если существует эквивалентность категории (левых) модулей над R , R-Mod , и категории (левых) модулей над S , S-Mod . Можно показать, что категории левого модуля R-Mod и S-Mod эквивалентны тогда и только тогда, когда категории правого модуля Mod-R и Mod-S эквивалентны. Далее можно показать, что любой функтор из R-Mod в S-Mod , дающий эквивалентность, автоматически аддитивен .

Примеры

Любые два изоморфных кольца эквивалентны Морите.

Кольцо п матрицы с размерностью п матриц с элементами из R , обозначается М п ( R ), Морит-эквивалентно R для любого п> 0 . Обратите внимание, что это обобщает классификацию простых артиновых колец, данную теорией Артина – Веддерберна . Чтобы увидеть эквивалентности, заметим , что если Х представляет собой левый R - модуль , то X п является М п ( Р ) -модуль , где структура модуля определяется умножением матрицы слева от векторов - столбцов из X . Это позволяет определить функтор из категории левых R -модулей в категорию левых M n ( R ) -модулей. Обратный функтор определяется пониманием того, что для любого M n ( R ) -модуля существует левый R -модуль X такой, что M n ( R ) -модуль получается из X, как описано выше.

Критерии эквивалентности

Эквивалентность можно охарактеризовать следующим образом: если F : R-Mod S-Mod и G : S-Mod R-Mod являются аддитивными (ковариантными) функторами , то F и G эквивалентны тогда и только тогда, когда существует сбалансированный ( S , R ) - бимодуль P такие , что S P и P R являются конечно порождены проективными генераторами и существует естественные изоморфизмы функторов и функторов Конечнопорожденных проективные генераторы также иногда называют прообразующие для их модулей категории.

Для каждого точного справа функтора F из категории левых R- модулей в категорию левых S- модулей, коммутирующих с прямыми суммами , теорема гомологической алгебры показывает, что существует (S, R) -бимодуль E такой, что Функтор естественно изоморфен функтору . Поскольку эквивалентности по необходимости точны и коммутируют с прямыми суммами, отсюда следует, что R и S эквивалентны по Морите тогда и только тогда, когда существуют бимодули R M S и S N R такие, что as (R, R) бимодули и as (S, S ) бимодули. Кроме того, N и М связаны через (S, R) бимодуля изоморфизма: .

Более конкретно, два кольца R и S эквивалентны Морите тогда и только тогда, когда для модуля- прообразователя P R , что имеет место тогда и только тогда, когда

(изоморфизм колец) для некоторого натурального числа n и полного идемпотента e в кольце матриц M n ( R ).

Известно, что если R по Морите эквивалентно S , то кольцо C ( R ) изоморфно кольцу C ( S ), где C (-) обозначает центр кольца , и, кроме того, R / J ( R ) является Морита эквивалентен S / J ( S ), где J (-) обозначает радикал Джекобсона .

Хотя изоморфные кольца эквивалентны Морите, эквивалентные кольца Мориты могут быть неизоморфными. Простой пример - тело D эквивалентно по Морите всем своим матричным кольцам M n ( D ), но не может быть изоморфным при n  > 1. В частном случае коммутативных колец эквивалентные по Морите кольца фактически изоморфны. Это сразу следует из комментария выше, потому что если R Морита эквивалентно S , .

Свойства, сохраненные эквивалентностью

Многие свойства сохраняются функтором эквивалентности для объектов в категории модулей. Вообще говоря, любое свойство модулей, определенное исключительно в терминах модулей и их гомоморфизмов (а не их основных элементов или кольца), является категориальным свойством, которое будет сохраняться функтором эквивалентности. Например, если F (-) является функтором эквивалентности из R-Mod в S-Mod , то R- модуль M имеет любое из следующих свойств тогда и только тогда, когда S- модуль F ( M ) имеет: инъективный , проективный , плоский , точный , простой , полупростой , конечно порожденный , конечно представленный , артинов и нетеров . Примеры свойств, которые не обязательно сохраняются, включают свободу и цикличность .

Многие теоретические свойства колец сформулированы в терминах их модулей, и поэтому эти свойства сохраняются между эквивалентными кольцами Мориты. Свойства, общие для эквивалентных колец, называются инвариантными свойствами Мориты . Например, кольцо R является полупростой тогда и только тогда , когда все его модули полупросты, и так как полупростые модули сохраняются при Морита эквивалентности, эквивалентное кольцо S также должны иметь все его модули полупрост, и , следовательно , быть само по себе является полупростое кольцо.

Иногда не сразу становится очевидным, почему собственность должна быть сохранена. Например, используя одно стандартное определение регулярного кольца фон Неймана (для всех a в R существует x в R такое, что a  =  axa ) неясно, должно ли эквивалентное кольцо также быть регулярным по фон Нейману. Однако другая формулировка: кольцо регулярно по фон Нейману тогда и только тогда, когда все его модули плоские. Поскольку плоскостность сохраняется для эквивалентности Мориты, теперь ясно, что регулярность фон Неймана инвариантна по Морите.

Следующие свойства инвариантны по Морите:

Примеры свойств, которые не являются инвариантными по Морите , включают коммутативные , локальные , редуцированные , доменные , правые (или левые) Голди , Фробениуса , инвариантное базисное число и конечное число Дедекинда .

Есть по крайней мере два других теста для определения того, является ли свойство кольца инвариантным по Морите. Элемент е в кольце R является полным идемпотентным при х 2  =  е и ReR  =  R .

  • является инвариантным по Морите тогда и только тогда, когда любое кольцо R удовлетворяет , тогда то же самое делает eRe для каждого полного идемпотента e и то же самое делает каждое кольцо матриц M n ( R ) для любого натурального числа n ;

или

  • инвариантно по Морите тогда и только тогда: для любого кольца R и полного идемпотента e в R , R удовлетворяет тогда и только тогда, когда кольцо eRe удовлетворяет .

Дальнейшие направления

Двойственной теории эквивалентностей является теория двойственности между категориями модулей, где используемые функторы являются контравариантными, а не ковариантными. Эта теория, хотя и похожа по форме, имеет существенные различия, потому что нет двойственности между категориями модулей для любых колец, хотя двойственность может существовать для подкатегорий. Другими словами, поскольку бесконечномерные модули в общем случае не рефлексивны , теория двойственности легче применима к конечно порожденным алгебрам над нётеровыми кольцами. Возможно, неудивительно, что вышеупомянутый критерий имеет аналог для двойственности, где естественный изоморфизм задается в терминах функтора hom, а не тензорного функтора.

Эквивалентность Морита также может быть определена в более структурированных ситуациях, например, для симплектических группоидов и C * -алгебр . В случае C * -алгебр более сильная эквивалентность типов, называемая строгой эквивалентностью Морита , необходима для получения результатов, полезных в приложениях, из-за дополнительной структуры C * -алгебр (вытекающей из инволютивной * -операции), а также потому, что C * -алгебры не обязательно имеют тождественный элемент.

Значение в K-теории

Если два кольца эквивалентны Морите, существует индуцированная эквивалентность соответствующих категорий проективных модулей, поскольку эквивалентности Мориты сохраняют точные последовательности (и, следовательно, проективные модули). Так как алгебраические К-теория кольца определяются (в подходе Квиллена ) в терминах гомотопических групп из (примерно) на классифицирующем пространстве от нерва из (малой) категории конечно порожденных проективных модулей над кольцом, Морит эквивалентных колец должны иметь изоморфные K-группы.

Примечания

Цитаты

использованная литература

  • Андерсон, ФВ; Фуллер, KR (1992). Кольца и категории модулей . Тексты для выпускников по математике . 13 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-97845-3. Zbl  0765.16001 .
  • DeMeyer, F .; Ингрэм, Э. (1971). Сепарабельные алгебры над коммутативными кольцами . Конспект лекций по математике. 181 . Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05371-2. Zbl  0215.36602 .
  • Лам, TY (1999). Лекции о модулях и кольцах . Тексты для выпускников по математике . 189 . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . Главы 17-18-19. ISBN 978-1-4612-6802-4. Zbl  0911.16001 .
  • Мейер, Ральф. «Эквивалентность Мориты в алгебре и геометрии». CiteSeerX  10.1.1.35.3449 . Cite journal requires |journal= (help)
  • Морита, Киити (1958). «Двойственность для модулей и ее приложения к теории колец с условием минимума». Научные отчеты Tokyo Kyoiku Daigaku. Раздел A . 6 (150): 83–142. ISSN  0371-3539 . Zbl  0080.25702 .

дальнейшее чтение