Оператор моментума - Momentum operator

В квантовой механике , то оператор импульса является оператором , связанным с линейным импульсом . Оператор импульса в позиционном представлении является примером дифференциального оператора . Для случая одной частицы в одном пространственном измерении определение таково:

${\ displaystyle {\ hat {p}} = - я \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}}}$

где ħ - приведенная постоянная Планка , i - мнимая единица , x - пространственная координата, и вместо полной производной ( d / dx ) используется частная производная (обозначенная ), поскольку волновая функция также является функцией времени. «Шляпа» обозначает оператора. «Приложение» оператора к дифференцируемой волновой функции выглядит следующим образом: ${\ Displaystyle \ partial / \ partial x}$

${\ displaystyle {\ hat {p}} \ psi = -i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}}}$

В базисе гильбертова пространства, состоящем из собственных состояний импульса, выраженных в импульсном представлении, действие оператора - это просто умножение на p , то есть это оператор умножения , точно так же, как оператор позиции является оператором умножения в представлении позиции. Обратите внимание, что приведенное выше определение - это канонический импульс , который не является калибровочно-инвариантным и не является измеримой физической величиной для заряженных частиц в электромагнитном поле . В этом случае канонический импульс не равен кинетическому .

В то время, когда в 1920-х годах была разработана квантовая механика, оператор импульса был открыт многими физиками-теоретиками, включая Нильса Бора , Арнольда Зоммерфельда , Эрвина Шредингера и Юджина Вигнера . Его существование и форма иногда воспринимаются как один из основополагающих постулатов квантовой механики.

Происхождение плоских волн Де Бройля

Операторы импульса и энергии можно построить следующим образом.

Одно измерение

Начиная с одного измерения, используя плоское волновое решение уравнения Шредингера для отдельной свободной частицы,

${\ displaystyle \ psi (x, t) = e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} (px-Et)},}$

где p интерпретируется как импульс в x- направлении, а E - энергия частицы. Частная производная первого порядка по пространству равна

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi (x, t)} {\ partial x}} = {\ frac {ip} {\ hbar}} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} ( px-Et)} = {\ frac {ip} {\ hbar}} \ psi.}$

Это предполагает операторную эквивалентность

${\ displaystyle {\ hat {p}} = - я \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}}}$

таким образом, импульс частицы и значение, которое измеряется, когда частица находится в состоянии плоской волны, является собственным значением указанного выше оператора.

Поскольку частная производная является линейным оператором , оператор импульса также является линейным, и поскольку любая волновая функция может быть выражена как суперпозиция других состояний, когда этот оператор импульса действует на всю наложенную волну, он дает собственные значения импульса для каждой плоскости волновая составляющая. Эти новые компоненты затем накладываются друг на друга, чтобы сформировать новое состояние, в общем не кратное старой волновой функции.

Три измерения

Вывод в трех измерениях такой же, за исключением того, что оператор градиента del используется вместо одной частной производной. В трех измерениях решение уравнения Шредингера в виде плоской волны выглядит следующим образом:

${\ displaystyle \ psi = e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r} -Et)}}$

и градиент

${\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ psi & = \ mathbf {e} _ {x} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} + \ mathbf {e} _ {y} { \ frac {\ partial \ psi} {\ partial y}} + \ mathbf {e} _ {z} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial z}} \\ & = {\ frac {i} { \ hbar}} \ left (p_ {x} \ mathbf {e} _ {x} + p_ {y} \ mathbf {e} _ {y} + p_ {z} \ mathbf {e} _ {z} \ right ) \ psi \\ & = {\ frac {i} {\ hbar}} \ mathbf {p} \ psi \ end {align}}}$

где e _x , e _y и e _z - единичные векторы для трех пространственных измерений, следовательно,

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}} = -i \ hbar \ nabla}$

Этот оператор импульса находится в пространстве позиций, потому что частные производные были взяты по пространственным переменным.

Определение (пространство позиций)

Для одиночной частицы без электрического заряда и спина оператор импульса может быть записан в базисе позиций как:

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}} = -i \ hbar \ nabla}$

где ∇ - оператор градиента , ħ - приведенная постоянная Планка , а i - мнимая единица .

В одном пространственном измерении это становится:

${\ displaystyle {\ hat {p}} = {\ hat {p}} _ {x} = - я \ hbar {\ partial \ over \ partial x}.}$

Это выражение для канонического импульса . Для заряженной частицы q в электромагнитном поле во время калибровочного преобразования волновая функция пространственного положения претерпевает локальное групповое преобразование U (1) и изменит свое значение. Следовательно, канонический импульс не является калибровочно-инвариантным и, следовательно, не является измеримой физической величиной. ${\ displaystyle {\ hat {p}} \ psi = -i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}}}$

Кинетический момент , калибровочная инвариантная физическая величина может быть выражена в терминах канонического импульса в скалярном потенциале  ф и векторный потенциал  А :

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {P}} = -i \ hbar \ nabla -q \ mathbf {A}}$

Выражение выше называется минимальной связью . Для электрически нейтральных частиц канонический импульс равен кинетическому.

Характеристики

Отшельничество

Оператор импульса всегда является эрмитовым оператором (точнее говоря, в математической терминологии «самосопряженным оператором»), когда он действует на физические (в частности, нормализуемые ) квантовые состояния.

(В некоторых искусственных ситуациях, таких как квантовые состояния на полубесконечном интервале [0, ∞), нет способа сделать оператор импульса эрмитовым. Это тесно связано с тем фактом, что полубесконечный интервал не может обладать трансляционной симметрией, точнее говоря, у него нет унитарных операторов трансляции . См. Ниже .)

Каноническое коммутационное отношение

Это легко показать, правильно используя импульсный базис и позиционный базис:

${\ displaystyle \ left [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} \ right] = {\ hat {x}} {\ hat {p}} - {\ hat {p}} {\ hat {x}} = i \ hbar.}$

В Гейзенберге принцип неопределенности пределы определяет , насколько точно на импульс и положение одной наблюдаемой системы могут быть известны сразу. В квантовой механике положение и импульс - сопряженные переменные .

преобразование Фурье

В следующем обсуждении используются обозначения бюстгальтера . Можно написать

${\ Displaystyle \ psi (x) = \ langle x | \ psi \ rangle = \ int \! \! dp ~ \ langle x | p \ rangle \ langle p | \ psi \ rangle = \ int \! \! dp ~ {e ^ {ixp / \ hbar} {\ tilde {\ psi}} (p) \ over {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}}},}$

так что тильда представляет преобразование Фурье при преобразовании из координатного пространства в импульсное пространство. Тогда он считает, что

${\ displaystyle {\ hat {p}} = \ int \! \! dp ~ | p \ rangle p \ langle p | = -i \ hbar \ int \! \! dx ~ | x \ rangle {\ frac {d } {dx}} \ langle x | ~,}$

то есть импульс, действующий в координатном пространстве, соответствует пространственной частоте,

${\ displaystyle \ langle x | {\ hat {p}} | \ psi \ rangle = -i \ hbar {\ frac {d} {dx}} \ psi (x).}$

Аналогичный результат применяется к оператору положения в импульсном базисе:

${\ displaystyle \ langle p | {\ hat {x}} | \ psi \ rangle = i \ hbar {\ frac {d} {dp}} \ psi (p),}$

ведущие к дальнейшим полезным отношениям,

${\ displaystyle \ langle p | {\ hat {x}} | p '\ rangle = i \ hbar {\ frac {d} {dp}} \ delta (p-p'),}$

${\ displaystyle \ langle x | {\ hat {p}} | x '\ rangle = -i \ hbar {\ frac {d} {dx}} \ delta (x-x'),}$

где δ обозначает дельта-функцию Дирака .

Вывод из бесконечно малых переводов

Оператор трансляции обозначается T ( ε ) , где ε обозначает длину трансляции. Он удовлетворяет следующему тождеству:

${\ Displaystyle T (\ varepsilon) | \ psi \ rangle = \ int dxT (\ varepsilon) | x \ rangle \ langle x | \ psi \ rangle}$

это становится

${\ displaystyle \ int dx | x + \ varepsilon \ rangle \ langle x | \ psi \ rangle = \ int dx | x \ rangle \ langle x- \ varepsilon | \ psi \ rangle = \ int dx | x \ rangle \ psi ( х- \ varepsilon)}$

Предполагая , что функция ф быть аналитическим (т.е. дифференцируема в некоторой области комплексной плоскости ), можно разложить в ряд Тейлора о х :

${\ displaystyle \ psi (x- \ varepsilon) = \ psi (x) - \ varepsilon {\ frac {d \ psi} {dx}}}$

поэтому для бесконечно малых значений ε :

${\ Displaystyle T (\ varepsilon) = 1- \ varepsilon {d \ over dx} = 1- {i \ over \ hbar} \ varepsilon \ left (-i \ hbar {d \ over dx} \ right)}$

Как известно из классической механики , импульс является генератором переноса , поэтому связь между операторами переноса и импульса следующая:

${\ Displaystyle Т (\ varepsilon) = 1- {я \ над \ hbar} \ varepsilon {\ hat {p}}}$

таким образом

${\ displaystyle {\ hat {p}} = - я \ hbar {d \ over dx}.}$

4-импульсный оператор

Вставка оператора трехмерного импульса выше и оператора энергии в 4-импульс (как 1-форма с метрической сигнатурой (+ - - -) ):

${\ displaystyle P _ {\ mu} = \ left ({\ frac {E} {c}}, - \ mathbf {p} \ right)}$

получает оператор 4-импульса ;

${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\ mu} = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ hat {E}}, - \ mathbf {\ hat {p}} \ right) = i \ hbar \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, \ nabla \ right) = i \ hbar \ partial _ {\ mu}}$

где ∂ _μ - 4-градиент , а - iħ  становится + iħ  перед оператором 3-импульса. Этот оператор встречается в релятивистской квантовой теории поля , такой как уравнение Дирака и другие релятивистские волновые уравнения , поскольку энергия и импульс объединяются в 4-импульсный вектор выше, операторы импульса и энергии соответствуют производным по пространству и времени, и они должны быть первыми. частные производные порядка для лоренцевой ковариации .

Оператор Дирака и косая черта Дирака 4-импульса задаются сжатием с гамма-матрицами :

${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu} {\ hat {P}} _ {\ mu} = i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} = {\ hat {P}} = я \ hbar \ partial \! \! \! /}$

Если бы подпись была (- + + +) , оператор был бы

${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\ mu} = \ left (- {\ frac {1} {c}} {\ hat {E}}, \ mathbf {\ hat {p}} \ right) = -i \ hbar \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, \ nabla \ right) = - i \ hbar \ partial _ {\ mu}}$

вместо.

Смотрите также

• Математические описания электромагнитного поля.
• Оператор трансляции (квантовая механика)
• Релятивистские волновые уравнения
• Псевдовектор Паули – Любанского

Рекомендации