Минковского содержание - Minkowski content
Минковское содержание ( по имени Герман Минковского ), или граничная мера , из набора является основной концепцией , которая использует понятия из геометрии и мер теории обобщить понятие длины в виде плавной кривой в плоскости, а площадь гладкой поверхности в пространстве к произвольным измеримым множествам .
Обычно он применяется к фрактальным границам областей в евклидовом пространстве , но его также можно использовать в контексте общих пространств с метрической мерой.
Он связан с мерой Хаусдорфа , хотя и отличается от нее .
Определение
Для получения , и каждое целое число т с , то м - мерное верхнее содержание Минковского является
а m -мерное нижнее содержание Минковского определяется как
где - объем ( n - m ) -шара радиуса r, - -мерная мера Лебега .
Если верхнее и нижнее m- мерное содержание Минковского A равны, то их общее значение называется содержанием Минковского M m ( A ).
Характеристики
- Содержание Минковского (как правило) не является мерой. В частности, m -мерное содержание Минковского в R n не является мерой, если m = 0, и в этом случае это считающая мера . Действительно, очевидно, что контент Минковского присваивает то же значение множеству A, а также его закрытию .
- Если является закрытыми м - спрямляемое множество в R п , учитывая , как образ ограниченного множества из R м под липшицевой функцией , то м - мерное содержание Минковского A существует и равен м - мерной мера Хаусдорфа из A .
Смотрите также
- Гауссово изопериметрическое неравенство
- Геометрическая теория меры
- Изопериметрическое неравенство в высших измерениях
- Размерность Минковского – Булиганда
Сноски
Рекомендации
- Федерер, Герберт (1969), геометрическая теория меры , Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4 .
- Кранц, Стивен Дж .; Паркс, Гарольд Р. (1999), Геометрия областей в пространстве , Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher, Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-4097-5 , Руководство по ремонту 1730695 .