Минковского содержание - Minkowski content

Минковское содержание ( по имени Герман Минковского ), или граничная мера , из набора является основной концепцией , которая использует понятия из геометрии и мер теории обобщить понятие длины в виде плавной кривой в плоскости, а площадь гладкой поверхности в пространстве к произвольным измеримым множествам .

Обычно он применяется к фрактальным границам областей в евклидовом пространстве , но его также можно использовать в контексте общих пространств с метрической мерой.

Он связан с мерой Хаусдорфа , хотя и отличается от нее .

Определение

Для получения , и каждое целое число т с , то м - мерное верхнее содержание Минковского является

а m -мерное нижнее содержание Минковского определяется как

где - объем ( n - m ) -шара радиуса r, - -мерная мера Лебега .

Если верхнее и нижнее m- мерное содержание Минковского A равны, то их общее значение называется содержанием Минковского M m ( A ).

Характеристики

  • Содержание Минковского (как правило) не является мерой. В частности, m -мерное содержание Минковского в R n не является мерой, если m  = 0, и в этом случае это считающая мера . Действительно, очевидно, что контент Минковского присваивает то же значение множеству A, а также его закрытию .
  • Если является закрытыми м - спрямляемое множество в R п , учитывая , как образ ограниченного множества из R м под липшицевой функцией , то м - мерное содержание Минковского A существует и равен м - мерной мера Хаусдорфа из A .

Смотрите также

Сноски

Рекомендации