Пространство Менгера - Menger space

В математике пространство Менгера - это топологическое пространство, которое удовлетворяет определенному основному принципу выбора, который обобщает σ-компактность . Пространство Менгера - это пространство, в котором для каждой последовательности открытых покрытий пространства есть конечные множества, такие что семейство покрывает пространство. ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {1}, {\ mathcal {U}} _ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {1} \ subset {\ mathcal {U}} _ {1}, {\ mathcal {F}} _ {2} \ subset {\ mathcal {U}} _ { 2}, \ ldots}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {1} \ cup {\ mathcal {F}} _ {2} \ cup \ cdots}$

История

В 1924 году Карл Менгер ввел следующее свойство базисности для метрических пространств: каждый базис топологии содержит счетное семейство множеств с исчезающими диаметрами, которое покрывает пространство. Вскоре после этого Витольд Гуревич заметил, что базисность Менгера может быть переформулирована в указанную выше форму с использованием последовательностей открытых покрытий.

Гипотеза Менгера

Менгер предположил, что в ZFC каждое метрическое пространство Менгера σ-компактно. Фремлин и Миллер доказали ложность гипотезы Менгера, показав, что в ZFC существует набор действительных чисел, который является Менгеровским, но не σ-компактным. Доказательство Фремлина-Миллера было дихотомическим, и набор, свидетельствующий о несостоятельности гипотезы, сильно зависит от того, верна ли определенная (неразрешимая) аксиома.

Бартошинский и Цабан дали единообразный ZFC-пример подмножества Менгера вещественной прямой, которое не является σ-компактным.

Комбинаторная характеристика

Для подмножеств реальной прямой свойство Менгера может быть охарактеризовано с помощью непрерывных функций в пространстве Бэра . Для функций пишите if для всех натуральных чисел, кроме конечного числа . Подмножество из является доминирующим , если для каждой функции есть функция такая , что . Гуревич доказал, что подмножество действительной прямой является Менгеровским тогда и только тогда, когда любое непрерывное изображение этого пространства в пространстве Бэра не является доминирующим. В частности, каждое подмножество реальной линии мощности меньше доминирующего числа является Менгером. ${\ Displaystyle \ mathbb {N} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle f, g \ in \ mathbb {N} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle f \ leq ^ {*} g}$${\ Displaystyle е (п) \ Leq г (п)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mathbb {N} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle f \ in \ mathbb {N} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle g \ in A}$${\ displaystyle f \ leq ^ {*} g}$${\ displaystyle {\ mathfrak {d}}}$

Мощность контрпримера Бартошинского и Цабана гипотезе Менгера равна . ${\ displaystyle {\ mathfrak {d}}}$

Характеристики

• Всякое компактное и даже σ-компактное пространство менгеровское.
• Каждое пространство Менгера является пространством Линделёфа.
• Непрерывное изображение пространства Менгера - Менгера
• Свойство Менгера закрывается при взятии подмножеств ${\ displaystyle F _ {\ sigma}}$
• Свойство Менгера характеризует фильтры, понятие форсирования Матиаса которых не добавляет доминирующих функций.

Рекомендации