Математические описания непрозрачности - Mathematical descriptions of opacity

Когда электромагнитная волна проходит через среду, в которой она затухает (это называется « непрозрачной » или « затухающей » средой), она подвергается экспоненциальному затуханию, как описано законом Бера-Ламберта . Однако есть много возможных способов охарактеризовать волну и узнать, как быстро она затухает. В этой статье описываются математические отношения между:

• коэффициент затухания ;
• Глубина проникновения и глубины кожи ;
• комплексное угловое волновое число и постоянная распространения ;
• комплексный показатель преломления ;
• комплексная электрическая проницаемость ;
• Проводимость переменного тока ( восприимчивость ).

Обратите внимание, что во многих из этих случаев используется несколько противоречивых определений и соглашений. Эта статья не обязательно является всеобъемлющей или универсальной.

Фон: незатухающая волна

Описание

Электромагнитная волна, распространяющаяся в направлении + z, обычно описывается уравнением:

${\ displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- \ omega t)} \ right] \! ,}$

где

E ₀ - вектор в плоскости x - y с единицами электрического поля (вектор, как правило, является комплексным вектором , чтобы учесть все возможные поляризации и фазы);

ω - угловая частота волны;

k - угловое волновое число волны;

Re указывает на действительную часть ;

e - число Эйлера .

Длина волны по определению

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi} {k}}.}$

Для данной частоты длина волны электромагнитной волны зависит от материала, в котором она распространяется. Длина волны вакуума (длина волны, которую имела бы волна этой частоты, если бы она распространялась в вакууме):

${\ displaystyle \ lambda _ {0} = {\ frac {2 \ pi \ mathrm {c}} {\ omega}},}$

где c - скорость света в вакууме.

В отсутствие затухания показатель преломления (также называемый показателем преломления ) представляет собой отношение этих двух длин волн, т. Е.

${\ displaystyle n = {\ frac {\ lambda _ {0}} {\ lambda}} = {\ frac {\ mathrm {c} k} {\ omega}}.}$

Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, усредненная по времени в течение многих колебаний волны, которая составляет:

${\ displaystyle I (z) \ propto \ left | \ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- \ omega t)} \ right | ^ {2} = | \ mathbf {E} _ {0 } | ^ {2}.}$

Обратите внимание, что эта интенсивность не зависит от местоположения z , что свидетельствует о том, что эта волна не затухает с расстоянием. Мы определяем I ₀ равным этой постоянной интенсивности:

${\ displaystyle I (z) = I_ {0} \ propto | \ mathbf {E} _ {0} | ^ {2}.}$

Комплексно-сопряженная неоднозначность

Так как

${\ displaystyle \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- \ omega t)} \ right] = \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} ^ {*} e ^ {- i (kz- \ omega t)} \ right] \ !,}$

любое выражение может использоваться как синонимы. Обычно физики и химики используют условные обозначения слева (с e ^{- iωt} ), а инженеры-электрики используют условные обозначения справа (с e ^{+ iωt} , например, см. Электрический импеданс ). Это различие не имеет значения для незатухающей волны, но становится актуальным в некоторых случаях ниже. Например, есть два определения комплексного показателя преломления , одно с положительной мнимой частью, а другое с отрицательной мнимой частью, полученных из двух различных соглашений. Эти два определения являются комплексно сопряженными друг другу.

Коэффициент затухания

Один из способов включить затухание в математическое описание волны - использовать коэффициент затухания :

${\ displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = e ^ {- \ alpha z / 2} \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- \ omega t)} \ right] \ !,}$

где α - коэффициент затухания.

Тогда интенсивность волны удовлетворяет:

${\ Displaystyle I (z) \ propto \ left | e ^ {- \ alpha z / 2} \ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- \ omega t)} \ right | ^ {2} = | \ mathbf {E} _ {0} | ^ {2} e ^ {- \ alpha z},}$

т.е.

${\ displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- \ alpha z}.}$

Коэффициент затухания, в свою очередь, просто связан с несколькими другими величинами:

• коэффициент поглощения по существу (но не всегда) синонимичен коэффициенту ослабления; подробнее см. коэффициент затухания ;
• молярный коэффициент поглощения или молярный коэффициент поглощения , также называемый молярной поглощающей способностью , представляет собой коэффициент ослабления, деленный на молярность (и обычно умноженный на ln (10), т. е. десятичный); подробности см. в законе Бера-Ламберта и молярной поглощающей способности ;
• массовый коэффициент ослабления , также называемый массовым коэффициентом ослабления, представляет собой коэффициент ослабления, деленный на плотность; подробности см. в массовом коэффициенте затухания ;
• сечение поглощения и сечение рассеяния количественно связаны с коэффициентом ослабления; см. сечение поглощения и сечение рассеяния для подробностей;
• Коэффициент затухания также иногда называют непрозрачностью ; см. непрозрачность (оптика) .

Глубина проникновения и глубина кожи

Глубина проникновения

Очень похожий подход использует глубину проникновения :

${\ displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = e ^ {- z / (2 \ delta _ {\ mathrm {pen}})} \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- \ omega t)} \ right] \ !,}$

${\ displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- z / \ delta _ {\ mathrm {pen}}},}$

где δ _pen - глубина проникновения.

Глубина кожи

Глубина скин определяется таким образом , что волновые удовлетворяет условию:

${\ displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = e ^ {- z / \ delta _ {\ mathrm {skin}}} \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {я (kz- \ omega t)} \ right] \ !,}$

${\ displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- 2z / \ delta _ {\ mathrm {skin}}},}$

где δ _скин - глубина скин-слоя.

Физически глубина проникновения - это расстояние, которое волна может пройти, прежде чем ее интенсивность уменьшится в 1 / e 0,37 раза . Глубина скин-слоя - это расстояние, которое волна может пройти до того, как ее амплитуда уменьшится в тот же коэффициент. ${\ displaystyle {} \ приблизительно {}}$

Коэффициент поглощения связан с глубиной проникновения и глубиной скин-фактора соотношением

${\ displaystyle \ alpha = 1 / \ delta _ {\ mathrm {pen}} = 2 / \ delta _ {\ mathrm {skin}}.}$

Комплексное угловое волновое число и постоянная распространения

Комплексное угловое волновое число

Другой способ включить затухание - использовать комплексное угловое волновое число :

${\ displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {i ({\ underline {k}} z- \ omega t )}\верно]\!,}$

где k - комплексное угловое волновое число.

Тогда интенсивность волны удовлетворяет:

${\ Displaystyle I (z) \ propto \ left | \ mathbf {E} _ {0} e ^ {i ({\ underline {k}} z- \ omega t)} \ right | ^ {2} = | \ mathbf {E} _ {0} | ^ {2} e ^ {- 2 \ operatorname {Im} ({\ underline {k}}) z},}$

т.е.

${\ displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- 2 \ operatorname {Im} ({\ underline {k}}) z}.}$

Следовательно, сравнивая это с подходом коэффициента поглощения,

${\ displaystyle \ operatorname {Re} ({\ underline {k}}) = k,}$

${\ displaystyle \ operatorname {Im} ({\ underline {k}}) = \ alpha / 2.}$

В соответствии с отмеченной выше неоднозначностью , некоторые авторы используют комплексно-сопряженное определение:

${\ displaystyle \ operatorname {Re} ({\ underline {k}}) = k,}$

${\ displaystyle \ operatorname {Im} ({\ underline {k}}) = - \ alpha / 2.}$

Постоянная распространения

Близкий подход, особенно распространенный в теории линий передачи , использует постоянную распространения :

${\ displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {- \ gamma z + i \ omega t} \ right] \ !,}$

где γ - постоянная распространения.

Тогда интенсивность волны удовлетворяет:

${\ Displaystyle I (z) \ propto \ left | \ mathbf {E} _ {0} e ^ {- \ gamma z + i \ omega t} \ right | ^ {2} = | \ mathbf {E} _ { 0} | ^ {2} e ^ {- 2 \ operatorname {Re} (\ gamma) z},}$

т.е.

${\ displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- 2 \ operatorname {Re} (\ gamma) z}.}$

Сравнивая два уравнения, постоянная распространения и комплексное угловое волновое число связаны соотношением:

${\ displaystyle \ gamma = я {\ underline {k}} ^ {*},}$

где * обозначает комплексное сопряжение.

${\ displaystyle \ operatorname {Re} (\ gamma) = \ operatorname {Im} ({\ underline {k}}) = \ alpha / 2.}$

Эта величина также называется постоянной затухания , иногда обозначаемой α .

${\ displaystyle \ operatorname {Im} (\ gamma) = \ operatorname {Re} ({\ underline {k}}) = k.}$

Эта величина также называется фазовой постоянной , иногда обозначается β .

К сожалению, обозначения не всегда согласованы. Например, иногда его называют «константой распространения» вместо γ , которая меняет местами действительную и мнимую части. ${\ displaystyle {\ underline {k}}}$

Комплексный показатель преломления

Напомним, что в средах без ослабления коэффициент преломления и угловое волновое число связаны соотношением:

${\ displaystyle n = {\ frac {\ mathrm {c}} {v}} = {\ frac {\ mathrm {c} k} {\ omega}},}$

где

• n - показатель преломления среды;
• c - скорость света в вакууме;
• v - скорость света в среде.

Комплексный показатель преломления , следовательно , могут быть определены в терминах комплексного углового волновом определенных выше:

${\ displaystyle {\ underline {n}} = {\ frac {\ mathrm {c} {\ underline {k}}} {\ omega}}.}$

где n - показатель преломления среды.

Другими словами, волна должна удовлетворять

${\ displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {i \ omega ({\ underline {n}} z / \ mathrm {c} -t)} \ right] \!}$

Тогда интенсивность волны удовлетворяет:

${\ Displaystyle I (z) \ propto \ left | \ mathbf {E} _ {0} e ^ {i \ omega ({\ underline {n}} z / \ mathrm {c} -t)} \ right | ^ {2} = | \ mathbf {E} _ {0} | ^ {2} e ^ {- 2 \ omega \ operatorname {Im} ({\ underline {n}}) z / \ mathrm {c}},}$

т.е.

${\ displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- 2 \ omega \ operatorname {Im} ({\ underline {n}}) z / \ mathrm {c}}.}$

По сравнению с предыдущим разделом, мы имеем

${\ displaystyle \ operatorname {Re} ({\ underline {n}}) = {\ frac {\ mathrm {c} k} {\ omega}}.}$

Эту величину часто (неоднозначно) называют просто показателем преломления .

${\ displaystyle \ operatorname {Im} ({\ underline {n}}) = {\ frac {\ mathrm {c} \ alpha} {2 \ omega}} = {\ frac {\ lambda _ {0} \ alpha} {4 \ pi}}.}$

Эта величина называется коэффициентом экстинкции и обозначается κ .

В соответствии с отмеченной выше неоднозначностью , некоторые авторы используют комплексно-сопряженное определение, где (все еще положительный) коэффициент экстинкции минус мнимая часть . ${\ displaystyle {\ underline {n}}}$

Комплексная электрическая проницаемость

В средах без ослабления электрическая диэлектрическая проницаемость и показатель преломления связаны соотношением:

${\ displaystyle n = \ mathrm {c} {\ sqrt {\ mu \ varepsilon}} \ quad {\ text {(SI)}}, \ qquad n = {\ sqrt {\ mu \ varepsilon}} \ quad {\ текст {(cgs)}},}$

где

• μ - магнитная проницаемость среды;
• ε - электрическая проницаемость среды.
• «СИ» относится к системе единиц СИ , в то время как «cgs» относится к единицам гауссовой системы cgs .

В затухающих средах используется то же соотношение, но диэлектрическая проницаемость может быть комплексным числом, называемым комплексной электрической проницаемостью :

${\ displaystyle {\ underline {n}} = \ mathrm {c} {\ sqrt {\ mu {\ underline {\ varepsilon}}}}} \ quad {\ text {(SI)}}, \ qquad {\ underline { n}} = {\ sqrt {\ mu {\ underline {\ varepsilon}}}} \ quad {\ text {(cgs)}},}$

где ε - комплексная электрическая проницаемость среды.

Возведение обеих сторон в квадрат и использование результатов предыдущего раздела дает:

${\ displaystyle \ operatorname {Re} ({\ underline {\ varepsilon}}) = {\ frac {\ mathrm {c} ^ {2} \ varepsilon _ {0}} {\ omega ^ {2} \ mu / \ му _ {0}}} \! \ left (k ^ {2} - {\ frac {\ alpha ^ {2}} {4}} \ right) \ quad {\ text {(SI)}}, \ qquad \ operatorname {Re} ({\ underline {\ varepsilon}}) = {\ frac {\ mathrm {c} ^ {2}} {\ omega ^ {2} \ mu}} \! \ left (k ^ {2 } - {\ frac {\ alpha ^ {2}} {4}} \ right) \ quad {\ text {(cgs)}},}$

${\ displaystyle \ operatorname {Im} ({\ underline {\ varepsilon}}) = {\ frac {\ mathrm {c} ^ {2} \ varepsilon _ {0}} {\ omega ^ {2} \ mu / \ mu _ {0}}} k \ alpha \ quad {\ text {(SI)}}, \ qquad \ operatorname {Im} ({\ underline {\ varepsilon}}) = {\ frac {\ mathrm {c} ^ {2}} {\ omega ^ {2} \ mu}} k \ alpha \ quad {\ text {(cgs)}}.}.$

Проводимость переменного тока

Другой способ включить затухание - через электропроводность, как показано ниже.

Одним из уравнений распространения электромагнитных волн является закон Максвелла-Ампера :

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J_ {f}} + {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {D}} {\ mathrm {d} t}} \ quad {\ текст {(SI)}}, \ qquad \ nabla \ times \ mathbf {H} = {\ frac {4 \ pi} {\ mathrm {c}}} \ mathbf {J_ {f}} + {\ frac {1 } {\ mathrm {c}}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {D}} {\ mathrm {d} t}} \ quad {\ text {(cgs)}},}$

где - поле смещения . ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$

Вставка закона Ома и определение (реальной) диэлектрической проницаемости

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ sigma \ mathbf {E} + \ varepsilon {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {E}} {\ mathrm {d} t}} \ quad { \ text {(SI)}}, \ qquad \ nabla \ times \ mathbf {H} = {\ frac {4 \ pi \ sigma} {\ mathrm {c}}} \ mathbf {E} + {\ frac {\ varepsilon} {\ mathrm {c}}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {E}} {\ mathrm {d} t}} \ quad {\ text {(cgs)}},}$

где σ - (реальная, но зависящая от частоты) электрическая проводимость, называемая проводимостью переменного тока .

С синусоидальной зависимостью от времени от всех величин, т.е.

${\ displaystyle \ mathbf {H} = \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {H} _ {0} e ^ {- i \ omega t} \ right] \ !,}$

${\ displaystyle \ mathbf {E} = \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {- i \ omega t} \ right] \ !,}$

результат

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {H} _ {0} = - я \ omega \ mathbf {E} _ {0} \! \ left (\ varepsilon + i {\ frac {\ sigma} {\ omega} } \ right) \ quad {\ text {(SI)}}, \ qquad \ nabla \ times \ mathbf {H} _ {0} = {\ frac {-i \ omega} {\ mathrm {c}}} \ mathbf {E} _ {0} \! \ left (\ varepsilon + i {\ frac {4 \ pi \ sigma} {\ omega}} \ right) \ quad {\ text {(cgs)}}.}.$

Если бы ток не был включен явно (через закон Ома), а только неявно (через комплексную диэлектрическую проницаемость), величина в скобках была бы просто комплексной электрической диэлектрической проницаемостью. Следовательно, ${\ displaystyle \ mathbf {J_ {f}}}$

${\ displaystyle {\ underline {\ varepsilon}} = \ varepsilon + i {\ frac {\ sigma} {\ omega}} \ quad {\ text {(SI)}}, \ qquad {\ underline {\ varepsilon}} = \ varepsilon + i {\ frac {4 \ pi \ sigma} {\ omega}} \ quad {\ text {(cgs)}}.}.$

По сравнению с предыдущим разделом, проводимость переменного тока удовлетворяет

${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {k \ alpha} {\ omega \ mu}} \ quad {\ text {(SI)}}, \ qquad \ sigma = {\ frac {k \ alpha \ mathrm {c} ^ {2}} {4 \ pi \ omega \ mu}} \ quad {\ text {(cgs)}}.}$

Заметки

Рекомендации

• Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-30932-X.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.) . Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-X.
• Ю.И. Панкове (1971). Оптические процессы в полупроводниках . Нью-Йорк: Dover Publications Inc.