Математическая красота - Mathematical beauty

Пример «красоты в методе» - простой и элегантный визуальный дескриптор теоремы Пифагора .

Математическая красота - это эстетическое удовольствие, обычно получаемое от абстрактности, чистоты, простоты, глубины или упорядоченности математики . Математики часто выражают это удовольствие, описывая математику (или, по крайней мере, какой-то ее аспект) как прекрасную . Они также могут описать математику как вид искусства (например, позицию, занятую Г. Х. Харди ) или, как минимум, как творческую деятельность . Часто сравнивают музыку и стихи.

Бертран Рассел выразил свое чувство математической красоты следующими словами:

Математика, с правильной точки зрения, обладает не только истиной, но и высшей красотой - красотой холодной и суровой, как красота скульптуры, не обращающейся ни к какой части нашей более слабой природы, без великолепных атрибутов живописи или музыки, но безупречно чистой и способной сурового совершенства, которое может показать только величайшее искусство. Истинный дух восторга, возвышения, чувство того, что вы больше, чем человек, который является пробным камнем высочайшего совершенства, можно найти в математике так же верно, как и в поэзии.

Пол Эрдёш выразил свое мнение о невыразимости математики, когда сказал: «Почему числа красивы? Это все равно, что спрашивать, почему Девятая симфония Бетховена прекрасна. Если вы не понимаете, почему, кто-то не может вам сказать. Я знаю, что числа прекрасны. . Если они некрасивы, ничего нет ».

Красота в методе

Математики описывают особенно приятный способ доказательства как элегантные . В зависимости от контекста это может означать:

  • Доказательство, использующее минимум дополнительных предположений или предыдущих результатов.
  • Необычайно лаконичное доказательство.
  • Доказательство, которое неожиданным образом выводит результат (например, из очевидно несвязанной теоремы или набора теорем).
  • Доказательство, основанное на новых и оригинальных выводах.
  • Метод доказательства, который можно легко обобщить для решения семейства схожих задач.

В поисках элегантного доказательства математики часто ищут различные независимые способы доказательства результата, поскольку первое найденное доказательство часто можно улучшить. Теорема, для которой было обнаружено наибольшее количество различных доказательств, вероятно, является теоремой Пифагора , с сотнями доказательств, опубликованных на сегодняшний день. Другая теорема, которая была доказана множеством различных способов, - это теорема квадратичной взаимности . Фактически, только у Карла Фридриха Гаусса было восемь различных доказательств этой теоремы, шесть из которых он опубликовал.

И наоборот, результаты, которые являются логически правильными, но включают в себя трудоемкие вычисления, чрезмерно сложные методы, весьма традиционные подходы или большое количество мощных аксиом или предыдущие результаты, обычно не считаются элегантными и могут даже называться уродливыми или неуклюжими .

Красота в результатах

Начиная с e 0 = 1, путешествуя со скоростью i относительно своего положения в течение времени π, и прибавляя 1, мы получаем 0. (Диаграмма представляет собой диаграмму Аргана ).

Некоторые математики видят красоту в математических результатах, которые устанавливают связи между двумя областями математики, которые на первый взгляд кажутся не связанными друг с другом. Эти результаты часто называют глубокими . Хотя трудно прийти к единому мнению о том, является ли результат глубоким, некоторые примеры приводятся чаще, чем другие. Одним из таких примеров является личность Эйлера :

Тождество Эйлера - это частный случай формулы Эйлера , которую физик Ричард Фейнман назвал «нашей жемчужиной» и «самой замечательной формулой в математике». Современные примеры включают теорему модульности , которая устанавливает важную связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами (работа , на которой привела к вручению премии Вольфа к Эндрю Уайлс и Ленглендс ), и « чудовищной самогон », который соединяет Монстр группу с модульные функции через теорию струн (за что Ричард Борчердс был награжден медалью Филдса ).

Другие примеры глубоких результатов включают неожиданное понимание математических структур. Например, теорема Гаусса Egregium - это глубокая теорема, которая удивительным образом связывает локальное явление ( кривизну ) с глобальным явлением ( областью ). В частности, площадь треугольника на изогнутой поверхности пропорциональна избытку треугольника, а пропорциональность - кривизне. Другой примером является фундаментальной теоремой исчисления (и его векторной версии , включая теорему Грина и теорему Стокса ).

Противоположность глубокому - тривиальная вещь . Тривиальная теорема может быть результатом, который может быть очевидным и прямым образом выведен из других известных результатов или применим только к определенному набору конкретных объектов, например, к пустому набору . Однако в некоторых случаях формулировка теоремы может быть достаточно оригинальной, чтобы считаться глубокой, даже если ее доказательство довольно очевидно.

В своей Апологии математика в , Харди предполагает , что красивое доказательство или результат обладает «неотвратимостью», «неожиданность», и «экономику».

Рота , однако, не соглашается с неожиданностью как с необходимым условием красоты и предлагает контрпример:

Большое количество математических теорем при первой публикации кажутся удивительными; так, например, около двадцати лет назад [с 1977 года] доказательство существования неэквивалентных дифференцируемых структур на сферах высокой размерности считалось неожиданным, но никому не приходило в голову назвать такой факт красивым, тогда или сейчас .

Напротив, Монастырский пишет:

Очень трудно найти в прошлом изобретение, аналогичное прекрасному построению Милнором различных дифференциальных структур на семимерной сфере ... Первоначальное доказательство Милнора было не очень конструктивным, но позже Э. Брискорн показал, что эти дифференциальные структуры можно описать в предельно явной и красивой форме.

Это несогласие иллюстрирует как субъективную природу математической красоты, так и ее связь с математическими результатами: в данном случае не только существование экзотических сфер, но и их конкретная реализация.

Красота в опыте

Соединению пяти кубиков приписывают "холодную и суровую красоту".

Интерес к чистой математике , отдельной от эмпирических исследований, был частью опыта различных цивилизаций , в том числе древних греков , которые «занимались математикой для красоты». Эстетическое удовольствие, которое математические физики обычно испытывают в общей теории относительности Эйнштейна , объясняется ( среди прочего, Полем Дираком ) ее «великой математической красотой». Красота математики проявляется, когда физическая реальность объектов представлена математическими моделями . Теория групп , разработанная в начале 1800-х годов с единственной целью решения полиномиальных уравнений, стала плодотворным способом классификации элементарных частиц - строительных блоков материи. Точно так же изучение узлов дает важное понимание теории струн и петлевой квантовой гравитации .

Некоторые считают, что для того, чтобы ценить математику, нужно заниматься математикой. Например, Math Circle - это дополнительная программа после уроков, в которой учащиеся изучают математику с помощью игр и заданий; Есть также некоторые учителя, которые поощряют участие учеников , преподавая математику кинестетическим способом (см. кинестетическое обучение ).

На общем уроке кружка математики учащиеся используют поиск закономерностей, наблюдение и исследование, чтобы сделать свои собственные математические открытия. Например, математическая красота проявляется в упражнении «Математический кружок» по симметрии, предназначенном для учащихся 2-х и 3-х классов, где учащиеся создают свои собственные снежинки, складывая квадратный лист бумаги и вырезая рисунки по своему выбору по краям сложенного листа. Когда бумага развернута, проявляется симметричный рисунок. На повседневных уроках математики в начальной школе симметрия может быть представлена ​​как таковая в художественной манере, когда учащиеся видят эстетически приятные результаты по математике.

Некоторые учителя предпочитают использовать математические манипуляции для эстетического представления математики. Примеры манипуляций включают плитки алгебры , прутья кухонь и блоки узоров . Например, можно научить методу завершения квадрата , используя плитки алгебры. Стержни Cuisenaire могут использоваться для обучения дробям, а блоки шаблонов могут использоваться для обучения геометрии. Использование математических манипуляций помогает учащимся получить концептуальное понимание, которое нельзя сразу увидеть в письменных математических формулах.

Другой пример красоты в опыте связан с использованием оригами . Оригами, искусство складывания бумаги, обладает эстетическими качествами и множеством математических связей. Можно изучить математику складывания бумаги , наблюдая за рисунком складок на развернутых частях оригами.

Комбинаторика , изучение счета, имеет художественные представления, которые некоторые считают математически красивыми. Есть много наглядных примеров, иллюстрирующих комбинаторные концепции. Некоторые из тем и объектов, рассматриваемых на курсах комбинаторики с визуальными представлениями, включают, среди прочего:

Красота и философия

Некоторые математики считают, что занятия математикой ближе к открытиям, чем к изобретениям, например:

Нет ни одного научного первооткрывателя, поэта, художника или музыканта, который не сказал бы вам, что он нашел готовым свое открытие, стихотворение или картину - что оно пришло к нему извне, и что он не создавал его сознательно изнутри. .

-  Уильям Кингдон Клиффорд , из лекции в Королевском институте под названием «Некоторые из условий умственного развития»

Эти математики полагают, что подробные и точные результаты математики можно разумно считать истинными, независимо от вселенной, в которой мы живем. Например, они будут утверждать, что теория натуральных чисел в основе своей верна и не требует какого-либо конкретного контекста. Некоторые математики экстраполировали эту точку зрения, согласно которой математическая красота является истиной, а в некоторых случаях становится мистикой .

В философии Платона было два мира: физический, в котором мы живем, и другой абстрактный мир, содержащий неизменную истину, включая математику. Он считал, что физический мир был просто отражением более совершенного абстрактного мира.

Венгерский математик Пауль Эрдёш говорил о воображаемой книге, в которую Бог записал все самые прекрасные математические доказательства. Когда Эрдеш хотел выразить особую признательность за доказательство, он восклицал: «Это из Книги!»

Французский философ двадцатого века Ален Бадью утверждает, что онтология - это математика. Бадью также верит в глубокую связь между математикой, поэзией и философией.

В некоторых случаях натурфилософы и другие ученые, которые широко использовали математику, сделали скачки между красотой и физической истиной, но это оказалось ошибочным. Например, на одном из этапов своей жизни Иоганн Кеплер считал, что пропорции орбит известных в то время планет Солнечной системы были устроены Богом таким образом, чтобы соответствовать концентрическому расположению пяти Платоновых тел , каждая из которых лежала на одной орбите. circumsphere одного многогранника и insphere другого. Поскольку существует ровно пять Платоновых тел, гипотеза Кеплера могла учитывать только шесть планетных орбит и была опровергнута последующим открытием Урана .

Красота и математическая теория информации

В 1970 - е годы, Авраам родинок и Фредер Нейк проанализировали связь между красотой, обработки информации и теории информации . В 1990-х Юрген Шмидхубер сформулировал математическую теорию зависимой от наблюдателя субъективной красоты, основанную на теории алгоритмической информации : самые красивые объекты среди субъективно сопоставимых объектов имеют короткие алгоритмические описания (то есть колмогоровскую сложность ) относительно того, что наблюдатель уже знает. Шмидхубер четко различает красивое и интересное. Последнее соответствует первой производной субъективно воспринимаемой красоты: наблюдатель постоянно пытается улучшить предсказуемость и сжимаемость наблюдений, обнаруживая такие закономерности, как повторения и симметрии, а также фрактальное самоподобие . Всякий раз, когда процесс обучения наблюдателя (возможно, прогнозирующая искусственная нейронная сеть ) приводит к улучшенному сжатию данных, так что последовательность наблюдения может быть описана меньшим количеством бит, чем раньше, временная интересность данных соответствует прогрессу сжатия и пропорциональна награда за внутреннее любопытство наблюдателя.

Математика и искусство

Музыка

Примеры использования математики в музыке включают стохастического музыку из Яниса Xenakis , Фибоначчи в инструменте «s Lateralus , контрапункт Иоганна Себастьяна Баха , полиритмических структур (как в Стравинский » s Обряд Весны ), то метрическая модуляция из Эллиота Картера , перестановка теории в сериализма начиная с Арнольда Шёнберга , а также применение Шепарда тонов в Карлхайнц Штокхаузен «s Hymnen .

Изобразительное искусство

Диаграмма из картины Леона Баттисты Альберти 1435 года Della Pittura с колоннами в перспективе на сетке

Примеры использования математики в изобразительном искусстве включают приложения теории хаоса и фрактальной геометрии к компьютерному искусству , исследования симметрии Леонардо да Винчи , проективные геометрии в развитии перспективной теории искусства эпохи Возрождения , сетки в оп-арте , оптическую геометрию. в камеры обскуры от Джамбаттиста делла Порта , и несколько перспективных в аналитической кубизма и футуризма .

Голландский графический дизайнер М.С. Эшер создал математически вдохновленные гравюры на дереве , литографии и меццо-тинты . В них представлены невозможные конструкции, исследования бесконечности , архитектура , визуальные парадоксы и мозаики . Британский художник-конструкционист Джон Эрнест создавал рельефы и картины, вдохновленные теорией групп. Ряд других британских художников конструкционистских и системных школ также черпают вдохновение в математических моделях и структурах, включая Энтони Хилла и Питера Лоу . Компьютерное искусство основано на математических алгоритмах .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки