Петлевая квантовая гравитация - Loop quantum gravity

За пределами стандартной модели
Смоделированные данные детектора частиц CMS на большом адронном коллайдере, изображающие бозон Хиггса, образованный сталкивающимися протонами, распадающимися на адронные струи и электроны
Стандартная модель
Свидетельство
Теории
Суперсимметрия
Квантовая гравитация
Эксперименты
v т е

Петлевая квантовая гравитация ( LQG ) - это теория квантовой гравитации , которая направлена ​​на объединение квантовой механики и общей теории относительности , включая материю Стандартной модели в структуру, установленную для случая чистой квантовой гравитации. Это попытка разработать квантовую теорию гравитации, основанную непосредственно на геометрической формулировке Эйнштейна, а не на трактовке гравитации как силы. Теоретически LQG постулирует, что структура пространства и времени состоит из конечных петель, сплетенных в очень тонкую ткань или сеть. Эти петлевые сети называются спиновыми сетями . Эволюция спиновой сети или спиновой пены имеет масштаб порядка планковской длины , примерно 10 ^-35 метров, и меньшие масштабы не имеют смысла. Следовательно, не только материя, но и само пространство предпочитает атомную структуру .

Области исследований, в которых участвуют около 30 исследовательских групп по всему миру, разделяют основные физические предположения и математическое описание квантового пространства. Исследования развивались в двух направлениях: более традиционная каноническая петлевая квантовая гравитация и новая ковариантная петлевая квантовая гравитация, называемая теорией спиновой пены . Наиболее развитая теория, которая была выдвинута как прямой результат петлевой квантовой гравитации, называется петлевой квантовой космологией (LQC). LQC продвигает изучение ранней Вселенной, включая концепцию Большого взрыва в более широкую теорию Большого отскока , которая рассматривает Большой взрыв как начало периода расширения , следующего за периодом сжатия, о котором можно было бы говорить. как Большой хруст .

История

В 1986 году Абхай Аштекар переформулировал общую теорию относительности Эйнштейна на языке, более близком к остальной части фундаментальной физики, в частности к теории Янга-Миллса . Вскоре после этого Тед Якобсон и Ли Смолин осознали, что формальное уравнение квантовой гравитации, называемое уравнением Уиллера – ДеВитта , допускает решения, помеченные петлями при переписывании в новых переменных Аштекара . Карло Ровелли и Смолин определили непертурбативную и независимую от фона квантовую теорию гравитации в терминах этих петлевых решений. Хорхе Пуллин и Ежи Левандовски понимали, что пересечения петель важны для непротиворечивости теории, и теория должна быть сформулирована в терминах пересекающихся петель или графов .

В 1994 году Ровелли и Смолин показали, что квантовые операторы теории, связанные с площадью и объемом, имеют дискретный спектр. То есть геометрия квантуется. Этот результат определяет явный базис состояний квантовой геометрии, которая оказалась метить Роджер Пенроуз «s спиновых сетей , которые являются графиками , помеченными спинами .

Каноническая версия динамики была установлена ​​Томасом Тиманом, который определил гамильтонов оператор без аномалий и показал существование математически непротиворечивой теории, не зависящей от фона. Ковариантная, или « спиновая пена », версия динамики разрабатывалась совместно в течение нескольких десятилетий исследовательскими группами во Франции, Канаде, Великобритании, Польше и Германии. Он был завершен в 2008 году, что привело к определению семейства амплитуд переходов, которое в классическом пределе можно показать как связанное с семейством усечений общей теории относительности. Конечность этих амплитуд была доказана в 2011 году. Для этого требуется наличие положительной космологической постоянной , которая согласуется с наблюдаемым ускорением расширения Вселенной .

Фоновая независимость

LQG формально не зависит от фона . Это означает, что уравнения LQG не вложены в пространство и время и не зависят от них (за исключением его инвариантной топологии). Вместо этого ожидается, что они дадут начало пространству и времени на расстояниях, которые в 10 раз превышают планковскую длину . Вопрос о независимости фона в LQG все еще имеет некоторые нерешенные тонкости. Например, для некоторых выводов требуется фиксированный выбор топологии , в то время как любая последовательная квантовая теория гравитации должна включать изменение топологии как динамический процесс.

Пространство-время как «контейнер», в котором происходит физика, не имеет объективного физического смысла, и вместо этого гравитационное взаимодействие представлено как всего лишь одно из полей, формирующих мир. Это известно как реляционалистская интерпретация пространства-времени. В LQG этот аспект общей теории относительности воспринимается серьезно, и эта симметрия сохраняется, требуя, чтобы физические состояния оставались инвариантными относительно генераторов диффеоморфизмов. Интерпретация этого условия хорошо понятна для чисто пространственных диффеоморфизмов. Однако понимание диффеоморфизмов, связанных со временем ( гамильтонова связь ), более тонкое, потому что оно связано с динамикой и так называемой « проблемой времени » в общей теории относительности. Общепринятая система расчетов для учета этого ограничения еще не найдена. Правдоподобным кандидатом на квантовую гамильтонову связь является оператор, введенный Тиманом.

Ограничения и их алгебра скобок Пуассона

Наблюдаемые Дирака

Ограничения определяют поверхность ограничения в исходном фазовом пространстве. Калибровочные движения ограничений применяются ко всему фазовому пространству, но имеют особенность, заключающуюся в том, что они оставляют ограничивающую поверхность там, где она есть, и, таким образом, орбита точки на гиперповерхности при калибровочных преобразованиях будет орбитой полностью внутри нее. Наблюдаемые Дирака определяются как функции фазового пространства , которые Пуассон коммутирует со всеми ограничениями, когда накладываются уравнения связей, ${\ displaystyle O}$

${\ displaystyle \ {G_ {j}, O \} _ {G_ {j} = C_ {a} = H = 0} = \ {C_ {a}, O \} _ {G_ {j} = C_ {a } = H = 0} = \ {H, O \} _ {G_ {j} = C_ {a} = H = 0} = 0,}$

то есть это величины, определенные на поверхности связи, которые инвариантны относительно калибровочных преобразований теории.

Затем решение только ограничения и определение наблюдаемых Дирака по отношению к нему возвращает нас к фазовому пространству Арновитта – Дезера – Миснера (ADM) с ограничениями . Динамика общей теории относительности порождается ограничениями, можно показать, что шесть уравнений Эйнштейна, описывающих эволюцию во времени (на самом деле калибровочное преобразование), могут быть получены путем вычисления скобок Пуассона трехметрики и ее сопряженного импульса с линейной комбинацией пространственный диффеоморфизм и гамильтонова связь. Обнуление ограничений, дающих физическое фазовое пространство, - это четыре других уравнения Эйнштейна. ${\ displaystyle G_ {j} = 0}$${\ displaystyle H, C_ {a}}$

Квантование связей - уравнения квантовой общей теории относительности

Предыстория и новые переменные Аштекара

Многие технические проблемы канонической квантовой гравитации связаны с ограничениями. Каноническая общая теория относительности изначально была сформулирована в терминах метрических переменных, но, казалось, возникли непреодолимые математические трудности в продвижении ограничений для квантовых операторов из-за их сильно нелинейной зависимости от канонических переменных. Уравнения были значительно упрощены с введением новых переменных Аштекара. Переменные Аштекара описывают каноническую общую теорию относительности в терминах новой пары канонических переменных, более близких к таковым в калибровочных теориях. Первый шаг состоит из использования уплотненных триад (триада - это просто три ортогональных векторных поля, помеченных, а уплотненная триада определяется ) для кодирования информации о пространственной метрике, ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}}$${\ displaystyle E_ {i} ^ {a}}$${\ Displaystyle я = 1,2,3}$${\ textstyle {\ тильда {E}} _ {i} ^ {a} = {\ sqrt {\ det (q)}} E_ {i} ^ {a}}$

${\ displaystyle \ det (q) q ^ {ab} = {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} {\ tilde {E}} _ {j} ^ {b} \ delta ^ {ij} .}$

(где - метрика плоского пространства, а приведенное выше уравнение выражает, что , записанное в терминах базиса , является локально плоским). (Формулировка общей теории относительности с использованием триад вместо метрик не была новой.) Уплотненные триады не уникальны, и фактически можно выполнить локальное вращение в пространстве относительно внутренних индексов . Канонически сопряженная переменная связана с внешней кривизной соотношением . Но проблемы, подобные использованию метрической формулировки, возникают, когда кто-то пытается квантовать теорию. Новая идея Аштекара заключалась в том, чтобы ввести новую переменную конфигурации, ${\ displaystyle \ delta ^ {ij}}$${\ displaystyle q ^ {ab}}$${\ displaystyle E_ {i} ^ {a}}$${\ displaystyle i}$${\ textstyle K_ {a} ^ {i} = K_ {ab} {\ tilde {E}} ^ {ai} / {\ sqrt {\ det (q)}}}$

${\ displaystyle A_ {a} ^ {i} = \ Gamma _ {a} ^ {i} -iK_ {a} ^ {i}}$

которое ведет себя как сложное соединение, связанное с так называемым спин-соединением через . Это называется хиральной спиновой связью. Он определяет ковариантную производную . Оказывается, это сопряженный импульс , и вместе они образуют новые переменные Аштекара. ${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}$${\ displaystyle \ Gamma _ {a} ^ {i}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {a} ^ {i} = \ Gamma _ {ajk} \ epsilon ^ {jki}}$${\ displaystyle A_ {a} ^ {i}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {а}}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}}$${\ displaystyle A_ {a} ^ {i}}$

Выражения для ограничений в переменных Аштекар; закон Гаусса, пространственная связь диффеоморфизма и (уплотненная) гамильтонова связь затем читаются так:

${\ displaystyle G ^ {i} = {\ mathcal {D}} _ {a} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} = 0}$

${\ displaystyle C_ {a} = {\ tilde {E}} _ {i} ^ {b} F_ {ab} ^ {i} -A_ {a} ^ {i} ({\ mathcal {D}} _ { b} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {b}) = V_ {a} -A_ {a} ^ {i} G ^ {i} = 0,}$

${\ displaystyle {\ tilde {H}} = \ epsilon _ {ijk} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} {\ tilde {E}} _ {j} ^ {b} F_ {ab } ^ {k} = 0}$

соответственно, где - тензор напряженности поля соединения, а где - векторное ограничение. Вышеупомянутая локальная в пространстве вращательная инвариантность является оригиналом калибровочной инвариантности, выраженной здесь законом Гаусса. Обратите внимание, что эти ограничения полиномиальны по фундаментальным переменным, в отличие от ограничений в метрической формулировке. Это резкое упрощение, казалось, открыло путь к количественной оценке ограничений. (См. Статью Самодвойственное действие Палатини для вывода формализма Аштекара). ${\ displaystyle F_ {ab} ^ {i}}$${\ displaystyle A_ {a} ^ {i}}$${\ displaystyle V_ {a}}$${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}$

С новыми переменными Аштекара, учитывая переменную конфигурации , естественно рассматривать волновые функции . Это представление соединения. Это аналог обычной квантовой механики с переменной конфигурации и волновыми функциями . Переменная конфигурации повышается до квантового оператора через: ${\ displaystyle A_ {a} ^ {i}}$${\ displaystyle \ Psi (A_ {a} ^ {i})}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ psi (q)}$

${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {a} ^ {i} \ Psi (A) = A_ {a} ^ {i} \ Psi (A),}$

(аналогично ) и триады являются (функциональными) производными, ${\ displaystyle {\ hat {q}} \ psi (q) = q \ psi (q)}$

${\ displaystyle {\ hat {\ tilde {E_ {i} ^ {a}}}} \ Psi (A) = - я {\ delta \ Psi (A) \ over \ delta A_ {a} ^ {i}} .}$

(аналог ). При переходе к квантовой теории связи становятся операторами на кинематическом гильбертовом пространстве (безусловном гильбертовом пространстве Янга – Миллса). Обратите внимание, что различное упорядочение «и » при замене «производных» порождает разные операторы - сделанный выбор называется упорядочением по факторам и должен выбираться исходя из физических соображений. Формально они читают ${\ displaystyle {\ hat {p}} \ psi (q) = - я \ hbar d \ psi (q) / dq}$${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ tilde {E}}}$${\ displaystyle {\ tilde {E}}}$

${\ displaystyle {\ hat {G}} _ {j} \ vert \ psi \ rangle = 0}$

${\ displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{a} \ vert \ psi \ rangle = 0}$

${\ displaystyle {\ hat {\ tilde {H}}} \ vert \ psi \ rangle = 0.}$

По-прежнему существуют проблемы с правильным определением всех этих уравнений и их решением. Например, гамильтоново ограничение, с которым работал Аштекар, было уплотненной версией вместо исходного гамильтониана, то есть с которым он работал . Возникли серьезные трудности с переводом этой величины в квантовый оператор. Более того, хотя переменные Аштекара упрощали гамильтониан, они сложны. При квантовании теории трудно обеспечить восстановление реальной общей теории относительности в отличие от сложной общей теории относительности. ${\ textstyle {\ тильда {H}} = {\ sqrt {\ det (q)}} H}$

Квантовые связи как уравнения квантовой общей теории относительности

Классический результат скобки Пуассона размытого закона Гаусса со связностями: ${\ textstyle G (\ lambda) = \ int d ^ {3} x \ lambda ^ {j} (D_ {a} E ^ {a}) ^ {j}}$

${\ displaystyle \ {G (\ lambda), A_ {a} ^ {i} \} = \ partial _ {a} \ lambda ^ {i} + g \ epsilon ^ {ijk} A_ {a} ^ {j} \ lambda ^ {k} = (D_ {a} \ lambda) ^ {i}.}$

Квантовый закон Гаусса гласит

${\ displaystyle {\ hat {G}} _ {j} \ Psi (A) = - iD_ {a} {\ delta \ lambda \ Psi [A] \ over \ delta A_ {a} ^ {j}} = 0 .}$

Если размыть квантовый закон Гаусса и изучить его действие на квантовое состояние, то обнаружится, что действие ограничения на квантовое состояние эквивалентно сдвигу аргумента на бесконечно малое (в смысле малого параметра ) калибровочное преобразование, ${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ left [1+ \ int d ^ {3} x \ lambda ^ {j} (x) {\ hat {G}} _ {j} \ right] \ Psi (A) = \ Psi [A + D \ lambda] = \ Psi [A],}$

и последнее тождество проистекает из того факта, что ограничение аннулирует состояние. Таким образом, ограничение как квантовый оператор накладывает ту же симметрию, что и его классическое исчезновение: оно говорит нам, что функции должны быть калибровочно-инвариантными функциями связи. Та же идея верна и для других ограничений. ${\ Displaystyle \ Пси [А]}$

Следовательно, двухэтапный процесс в классической теории решения ограничений (эквивалентный решению условий допустимости для начальных данных) и поиск калибровочных орбит (решение `` эволюционных '' уравнений) заменяется одношаговым процессом в квантовой теория, а именно поиск решений квантовых уравнений . Это связано с тем, что он, очевидно, решает ограничение на квантовом уровне и одновременно ищет состояния, которые являются калибровочно-инвариантными, поскольку являются квантовым генератором калибровочных преобразований (калибровочно-инвариантные функции постоянны вдоль калибровочных орбит и, таким образом, характеризуют их). Напомним, что на классическом уровне решение условий допустимости и эволюционных уравнений было эквивалентно решению всех уравнений поля Эйнштейна, это подчеркивает центральную роль квантовых уравнений связи в канонической квантовой гравитации. ${\ displaystyle C_ {I} = 0}$${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{I} \ Psi = 0}$${\ displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{I}}$

Введение представления цикла

В частности, неспособность иметь хороший контроль над пространством решений закона Гаусса и ограничениями пространственного диффеоморфизма заставила Ровелли и Смолина рассмотреть петлевое представление в калибровочных теориях и квантовой гравитации .

LQG включает понятие голономии . Голономия - это мера того, насколько начальные и конечные значения спинора или вектора различаются после параллельного переноса по замкнутому контуру; это обозначено

${\ displaystyle h _ {\ gamma} [A]}$.

Знание голономий эквивалентно знанию связи с точностью до калибровочной эквивалентности. Холономии также могут быть связаны с ребром; согласно закону Гаусса они преобразуются как

${\ displaystyle (h '_ {e}) _ {\ alpha \ beta} = U _ {\ alpha \ gamma} ^ {- 1} (x) (h_ {e}) _ {\ gamma \ sigma} U _ {\ sigma \ beta} (y).}$

Для замкнутого цикла и предположения дает ${\ displaystyle x = y}$${\ Displaystyle \ альфа = \ бета}$

${\ displaystyle (h '_ {e}) _ {\ alpha \ alpha} = U _ {\ alpha \ gamma} ^ {- 1} (x) (h_ {e}) _ {\ gamma \ sigma} U _ {\ sigma \ alpha} (x) = [U _ {\ sigma \ alpha} (x) U _ {\ alpha \ gamma} ^ {- 1} (x)] (h_ {e}) _ {\ gamma \ sigma} = \ дельта _ {\ sigma \ gamma} (h_ {e}) _ {\ gamma \ sigma} = (h_ {e}) _ {\ gamma \ gamma}}$

или

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} h '_ {\ gamma} = \ operatorname {Tr} h _ {\ gamma}.}$

След голономии вокруг замкнутого контура записывается

${\ displaystyle W _ {\ gamma} [A]}$

и называется петлей Вильсона. Таким образом, петли Вильсона калибровочно инвариантны. Явная форма Голономии такова:

${\ displaystyle h _ {\ gamma} [A] = {\ mathcal {P}} \ exp \ left \ {- \ int _ {\ gamma _ {0}} ^ {\ gamma _ {1}} ds {\ dot {\ gamma}} ^ {a} A_ {a} ^ {i} (\ gamma (s)) T_ {i} \ right \}}$

где - кривая, вдоль которой оценивается голономия, и - параметр вдоль кривой, обозначает значимые факторы упорядочения путей для меньших значений, появляющихся слева, и - матрицы, удовлетворяющие алгебре ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle T_ {i}}$${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}$

${\ displaystyle [T ^ {i}, T ^ {j}] = 2i \ epsilon ^ {ijk} T_ {k}.}$

В матрицы Паули удовлетворяют соотношению выше. Оказывается, существует бесконечно много других примеров наборов матриц, которые удовлетворяют этим отношениям, где каждый набор включает матрицы с , и где ни один из них не может быть рассмотрен как «разлагающийся» на два или более примеров более низкой размерности. Они называются различными неприводимые представления о алгебре. Наиболее фундаментальным представлением являются матрицы Паули. Голономия обозначается полуцелым числом в соответствии с используемым неприводимым представлением. ${\ Displaystyle (N + 1) \ раз (N + 1)}$${\ Displaystyle N = 1,2,3, \ точки}$${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}$${\ displaystyle N / 2}$

Использование петель Вильсона явно решает калибровочное ограничение Гаусса. Представление цикла требуется для обработки ограничения пространственного диффеоморфизма. Используя петли Вильсона в качестве основы, любая калибровочно-инвариантная функция Гаусса расширяется как

${\ Displaystyle \ Psi [A] = \ sum _ {\ gamma} \ Psi [\ gamma] W _ {\ gamma} [A].}$

Это называется петлевым преобразованием и аналогично импульсному представлению в квантовой механике (см. Положение и импульсное пространство ). Представление QM имеет основу состояний, помеченных числом, и расширяется как ${\ Displaystyle \ ехр (ikx)}$${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle \ psi [x] = \ int dk \ psi (k) \ exp (ikx).}$

и работает с коэффициентами разложения ${\ displaystyle \ psi (k).}$

Преобразование обратного цикла определяется как

${\ Displaystyle \ Psi [\ gamma] = \ int [dA] \ Psi [A] W _ {\ gamma} [A].}$

Это определяет представление цикла. Учитывая оператор в представлении соединения, ${\ displaystyle {\ hat {O}}}$

${\ Displaystyle \ Phi [A] = {\ hat {O}} \ Psi [A] \ qquad Eq \; 1,}$

необходимо определить соответствующий оператор on в представлении цикла через, ${\ displaystyle {\ hat {O}} '}$${\ Displaystyle \ пси [\ гамма]}$

${\ Displaystyle \ Phi [\ gamma] = {\ hat {O}} '\ Psi [\ gamma] \ qquad Eq \; 2,}$

где определяется обычным обратным преобразованием цикла, ${\ displaystyle \ Phi [\ gamma]}$

${\ Displaystyle \ Phi [\ gamma] = \ int [dA] \ Phi [A] W _ {\ gamma} [A] \ qquad Eq \; 3.}$

Формула преобразования, описывающая действие оператора on в терминах действия оператора on , затем получается путем приравнивания правой части к правой стороне с подставленной в , а именно ${\ displaystyle {\ hat {O}} '}$${\ Displaystyle \ пси [\ гамма]}$${\ displaystyle {\ hat {O}}}$${\ Displaystyle \ Пси [А]}$${\ Displaystyle Eq \; 2}$${\ Displaystyle Eq \; 3}$${\ Displaystyle Eq \; 1}$${\ Displaystyle Eq \; 3}$

${\ displaystyle {\ hat {O}} '\ Psi [\ gamma] = \ int [dA] W _ {\ gamma} [A] {\ hat {O}} \ Psi [A],}$

или

${\ displaystyle {\ hat {O}} '\ Psi [\ gamma] = \ int [dA] ({\ hat {O}} ^ {\ dagger} W _ {\ gamma} [A]) \ Psi [A] ,}$

где означает оператор, но с обратным порядком множителей (вспомните из простой квантовой механики, где произведение операторов меняется на обратное при сопряжении). Действие этого оператора в цикле Вильсона оценивается как вычисление в представлении соединения, и результат преобразуется исключительно как манипуляция в терминах циклов (что касается действия в цикле Вильсона, выбранный преобразованный оператор является оператором с порядок факторов, противоположный тому, который используется для его воздействия на волновые функции ). Это дает физический смысл оператора . Например, если соответствуют пространственному диффеоморфизму, то это можно рассматривать как хранение поля соединения из где во время выполнения пространственного диффеоморфизма на вместо этого. Следовательно, смысл является пространственным диффеоморфизмом на аргументе . ${\ displaystyle {\ hat {O}} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle {\ hat {O}}}$${\ Displaystyle \ Пси [А]}$${\ displaystyle {\ hat {O}} '}$${\ displaystyle {\ hat {O}} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle W _ {\ gamma} [A]}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle {\ hat {O}} '}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ пси [\ гамма]}$

В представлении петли ограничение пространственного диффеоморфизма решается путем рассмотрения функций петель , которые инвариантны относительно пространственных диффеоморфизмов петли . То есть используются инварианты узлов . Это открывает неожиданную связь между теорией узлов и квантовой гравитацией. ${\ Displaystyle \ пси [\ гамма]}$${\ displaystyle \ gamma}$

Любой набор непересекающихся луп Вильсона удовлетворяет квантовому гамильтонову ограничению Аштекара. Используя особый порядок членов и заменяя производной, действие квантовой гамильтоновой связи на петлю Вильсона выражается следующим образом: ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ tilde {H}}} ^ {\ dagger} W _ {\ gamma} [A] = - \ epsilon _ {ijk} {\ hat {F}} _ {ab} ^ {k} {\ frac {\ delta} {\ delta A_ {a} ^ {i}}} {\ frac {\ delta} {\ delta A_ {b} ^ {j}}} W _ {\ gamma} [A].}$

Когда берется производная, она приводит к уменьшению касательного вектора петли . Так, ${\ Displaystyle {\ точка {\ gamma}} ^ {а}}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle {\ hat {F}} _ {ab} ^ {i} {\ dot {\ gamma}} ^ {a} {\ dot {\ gamma}} ^ {b}.}$

Однако as является антисимметричным по индексам, и это обращается в нуль (это предполагает, что нигде не является разрывным, и поэтому касательный вектор уникален). ${\ displaystyle F_ {ab} ^ {i}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ gamma}$

Что касается представления петли, волновые функции исчезают, когда петля имеет разрывы и является инвариантом узла. Такие функции решают закон Гаусса, пространственную связь диффеоморфизма и (формально) гамильтонову связь. Это дает бесконечный набор точных (хотя бы формальных) решений всех уравнений квантовой общей теории относительности! Это вызвало большой интерес к подходу и в конечном итоге привело к LQG. ${\ Displaystyle \ пси [\ гамма]}$

Геометрические операторы, необходимость пересечения петель Вильсона и состояний спиновой сети

Самая простая геометрическая величина - это площадь. Выберем координаты так, чтобы поверхность характеризовалась . Площадь маленького параллелограмма поверхности равна произведению длины каждой стороны на время, где - угол между сторонами. Скажем, одно ребро задается вектором, а другое - к тому времени, ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle x ^ {3} = 0}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle \ грех \ тета}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$

${\ displaystyle A = \ | {\ vec {u}} \ | \ | {\ vec {v}} \ | \ sin \ theta = {\ sqrt {\ | {\ vec {u}} \ | ^ {2 } \ | {\ vec {v}} \ | ^ {2} (1- \ cos ^ {2} \ theta)}} = {\ sqrt {\ | {\ vec {u}} \ | ^ {2} \ | {\ vec {v}} \ | ^ {2} - ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) ^ {2}}}}$

В пространстве, охватываемом и есть бесконечно малый параллелограмм, описываемый и . Использование (где индексы и от 1 до 2) дает площадь поверхности, заданную как ${\ displaystyle x ^ {1}}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {e}} _ {1} dx ^ {1}}$${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {e}} _ {2} dx ^ {2}}$${\ displaystyle q_ {AB} ^ {(2)} = {\ vec {e}} _ {A} \ cdot {\ vec {e}} _ {B}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ Sigma}$

${\ Displaystyle A _ {\ Sigma} = \ int _ {\ Sigma} dx ^ {1} dx ^ {2} {\ sqrt {\ det \ left (q ^ {(2)} \ right)}}}$

где и - определитель метрики, индуцированной на . Последний можно переписать там, где индексы идут от 1 до 2. Это можно переписать в дальнейшем как ${\ displaystyle \ det (q ^ {(2)}) = q_ {11} q_ {22} -q_ {12} ^ {2}}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle \ Det (д ^ {(2)}) = \ эпсилон ^ {AB} \ эпсилон ^ {CD} q_ {AC} q_ {BD} / 2}$${\ displaystyle A \ dots D}$

${\ displaystyle \ det (q ^ {(2)}) = {\ epsilon ^ {3ab} \ epsilon ^ {3cd} q_ {ac} q_ {bc} \ over 2}.}$

Стандартная формула обратной матрицы:

${\ displaystyle q ^ {ab} = {\ epsilon ^ {bcd} \ epsilon ^ {aef} q_ {ce} q_ {df} \ over 2! \ det (q)}.}$

Есть сходство между этим и выражением для . Но в переменных Аштекар . Следовательно, ${\ Displaystyle \ Det (д ^ {(2)})}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} {\ tilde {E}} ^ {bi} = \ det (q) q ^ {ab}}$

${\ displaystyle A _ {\ Sigma} = \ int _ {\ Sigma} dx ^ {1} dx ^ {2} {\ sqrt {{\ tilde {E}} _ {i} ^ {3} {\ tilde {E }} ^ {3i}}}.}$

По правилам канонического квантования триады следует преобразовать в квантовые операторы, ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {3}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ tilde {E}}} _ {i} ^ {3} \ sim {\ delta \ over \ delta A_ {3} ^ {i}}.}$

Область может быть преобразована в четко определенный квантовый оператор, несмотря на то, что она содержит произведение двух функциональных производных и квадратного корня. Положив ( -е представление), ${\ displaystyle A _ {\ Sigma}}$${\ Displaystyle N = 2J}$${\ displaystyle J}$

${\ displaystyle \ sum _ {i} T ^ {i} T ^ {i} = J (J + 1) 1.}$

Эта величина важна в окончательной формуле для площади спектра. Результат

${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ Sigma} W _ {\ gamma} [A] = 8 \ pi \ ell _ {\ text {Planck}} ^ {2} \ beta \ sum _ {I} { \ sqrt {j_ {I} (j_ {I} +1)}} W _ {\ gamma} [A]}$

где сумма ведется по всем краям петли Вильсона, пронизывающим поверхность . ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ Sigma}$

Формула для объема области определяется выражением ${\ displaystyle R}$

${\ Displaystyle V = \ int _ {R} d ^ {3} x {\ sqrt {\ det (q)}} = \ int _ {R} dx ^ {3} {\ sqrt {{\ frac {1} {3!}} \ Epsilon _ {abc} \ epsilon ^ {ijk} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} {\ tilde {E}} _ {j} ^ {b} {\ tilde {E}} _ {k} ^ {c}}}.}$

Квантование объема происходит так же, как и с площадью. Каждый раз, когда берется производная, она приводит к уменьшению касательного вектора , и когда оператор объема действует на непересекающиеся петли Вильсона, результат исчезает. Следовательно, квантовые состояния с ненулевым объемом должны включать пересечения. Учитывая, что антисимметричное суммирование учитывается в формуле для объема, необходимо пересечение по крайней мере с тремя некомпланарными линиями. По крайней мере, четырехвалентные вершины необходимы, чтобы оператор объема не обращался в нуль. ${\ Displaystyle {\ точка {\ gamma}} ^ {а}}$

Если предположить реальное представление, в котором находится калибровочная группа , петли Вильсона являются сверхполным базисом, поскольку существуют тождества, связывающие различные петли Вильсона. Это происходит потому, что петли Вильсона основаны на матрицах (голономии), и эти матрицы удовлетворяют тождествам. Учитывая любые две матрицы и , ${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}$${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}$${\ displaystyle \ mathbb {A}}$${\ displaystyle \ mathbb {B}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} (\ mathbb {A}) \ operatorname {Tr} (\ mathbb {B}) = \ operatorname {Tr} (\ mathbb {A} \ mathbb {B}) + \ operatorname {Tr } (\ mathbb {A} \ mathbb {B} ^ {- 1}).}$

Это означает , что с учетом двух петель и что пересекаются, ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ eta}$

${\ Displaystyle W _ {\ gamma} [A] W _ {\ eta} [A] = W _ {\ gamma \ circ \ eta} [A] + W _ {\ gamma \ circ \ eta ^ {- 1}} [A] }$

где мы подразумеваем петлю, пройденную в противоположном направлении, и подразумеваем петлю, полученную путем обхода петли, а затем вдоль . См. Рисунок ниже. Учитывая, что матрицы унитарны, так и есть . Также, учитывая циклическое свойство следов матрицы (т. Е. ), Это есть . Эти идентификаторы могут быть объединены друг с другом в дополнительные идентификаторы с возрастающей сложностью, добавляя больше циклов. Эти идентичности являются так называемыми идентичностями Мандельштама. Определенные спиновые сети представляют собой линейные комбинации пересекающихся луп Вильсона, разработанные для решения проблемы избыточной полноты, вводимой тождествами Мандельштама (для трехвалентных пересечений они полностью исключают избыточную полноту), и фактически составляют основу для всех калибровочно-инвариантных функций. ${\ displaystyle \ eta ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ gamma \ circ \ eta}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle W _ {\ gamma} [A] = W _ {\ gamma ^ {- 1}} [A]}$${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} (\ mathbb {A} \ mathbb {B}) = \ OperatorName {Tr} (\ mathbb {B} \ mathbb {A})}$${\ Displaystyle W _ {\ gamma \ circ \ eta} [A] = W _ {\ eta \ circ \ gamma} [A]}$

Графическое представление простейшего нетривиального тождества Мандельштама, связывающего различные лупы Вильсона .

Как упоминалось выше, голономия говорит, как распространять тестовые получастицы. Состояние спиновой сети присваивает амплитуду набору спиновых половинных частиц, прослеживающих путь в пространстве, сливаясь и разделяясь. Они описываются спиновыми сетями : ребра помечаются спинами вместе с «спинами» в вершинах, которые являются рецептом того, как суммировать различные способы перенаправления спинов. Сумма перемаршрутизации выбрана так, чтобы сделать форму сплетника инвариантной относительно калибровочных преобразований Гаусса. ${\ displaystyle \ gamma}$

Гамильтонова связь LQG

В долгой истории канонической квантовой гравитации формулировка гамильтоновой связи в виде квантового оператора ( уравнения Уиллера – ДеВитта ) математически строгим образом была сложной задачей. Именно в циклическом представлении в 1996 г. было окончательно сформулировано математически корректно определенное гамильтоново ограничение. Мы оставляем более подробную информацию о его построении в статье о гамильтоновом ограничении LQG . Это вместе с квантовыми версиями закона Гаусса и ограничениями пространственного диффеоморфизма, записанными в петлевом представлении, являются центральными уравнениями LQG (современной канонической квантовой общей теории относительности).

Нахождение состояний, которые аннулируются этими ограничениями (физических состояний), и нахождение соответствующего физического внутреннего продукта и наблюдаемых - основная цель технической стороны LQG.

Очень важным аспектом гамильтонова оператора является то, что он действует только в вершинах (следствием этого является то, что гамильтонов оператор Тимана, как и оператор Аштекара, уничтожает непересекающиеся петли, за исключением того, что теперь он не просто формальный и имеет строгий математический смысл). Точнее, его действие ненулевое по крайней мере на вершинах валентности три и выше и приводит к линейной комбинации новых спиновых сетей, где исходный граф был изменен путем добавления линий в каждой вершине вместе и изменения меток смежных звеньев вершины.

Пена отжима

В петлевой квантовой гравитации (LQG) спиновая сеть представляет собой «квантовое состояние» гравитационного поля на трехмерной гиперповерхности. Множество всевозможных спиновых сетей (или, точнее, «s-узлов», т. Е. Классов эквивалентности спиновых сетей при диффеоморфизмах) счетно; он составляет основу гильбертова пространства LQG.

В физике спиновая пена - это топологическая структура, состоящая из двумерных граней, которая представляет одну из конфигураций, которые должны быть суммированы, чтобы получить описание квантовой гравитации с помощью интеграла по траекториям (функционального интегрирования) Фейнмана. Это тесно связано с петлевой квантовой гравитацией.

Спиновая пена, полученная с помощью оператора гамильтоновой связи

Гамильтонова связь порождает "временную" эволюцию. Решение гамильтоновой связи должно рассказать нам, как квантовые состояния эволюционируют во «времени» от начального состояния спиновой сети до конечного состояния спиновой сети. Один из подходов к решению гамильтоновой связи начинается с так называемой дельта-функции Дирака . Суммирование чего по различным последовательностям действий может быть визуализировано как суммирование по разным историям «вершин взаимодействия» в «временной» эволюции, отправляющей начальную спиновую сеть к конечной спиновой сети. Каждый раз, когда гамильтонов оператор действует, он делает это, добавляя новое ребро в вершину.

Затем это естественным образом порождает два комплекса (комбинаторный набор граней, которые соединяются вдоль ребер, которые, в свою очередь, соединяются по вершинам), лежащий в основе описания спиновой пены; мы развиваем начальную спиновую сеть, выметающую поверхность, действие гамильтонова ограничивающего оператора состоит в том, чтобы создать новую плоскую поверхность, начинающуюся в вершине. Мы можем использовать действие гамильтоновой связи на вершину состояния спиновой сети, чтобы связать амплитуду с каждым «взаимодействием» (по аналогии с диаграммами Фейнмана ). См. Рисунок ниже. Это открывает способ попытаться напрямую связать каноническую LQG с описанием интеграла по путям. Теперь, точно так же, как спиновые сети описывают квантовое пространство, каждая конфигурация, вносящая вклад в эти интегралы по траекториям или суммы за историю, описывает «квантовое пространство-время». Из-за их сходства с мыльными пенами и того, как они обозначены, Джон Баэз дал этим «квантовым пространственным временам» название «спиновые пены».

Действие гамильтоновой связи переводится в интеграл по путям или так называемое описание спиновой пены . Один узел разделяется на три узла, образуя вершину вращающейся пены. - значение в вершине и - матричные элементы гамильтоновой связи .${\ Displaystyle N (x_ {n})}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle H_ {nop}}$${\ displaystyle {\ hat {H}}}$

Однако с этим конкретным подходом возникают серьезные трудности, например, гамильтонов оператор не является самосопряженным, на самом деле он даже не является нормальным оператором (т.е. оператор не коммутирует со своим сопряженным), и поэтому спектральная теорема не может быть использована для определить экспоненту в целом. Самая серьезная проблема состоит в том, что они не коммутируют друг с другом, тогда можно показать, что формальная величина не может даже определять (обобщенный) проектор. Основное ограничение (см. Ниже) не страдает от этих проблем и, как таковое, предлагает способ соединения канонической теории с формулировкой интеграла по путям. ${\ displaystyle {\ hat {H}} (х)}$${\ textstyle \ int [dN] e ^ {я \ int d ^ {3} xN (x) {\ hat {H}} (x)}}$

Отжимные пены из теории BF

Оказывается, существуют альтернативные способы формулирования интеграла по путям, однако их связь с гамильтоновым формализмом менее ясна. Один из способов - начать с теории BF . Это более простая теория, чем общая теория относительности, она не имеет локальных степеней свободы и, как таковая, зависит только от топологических аспектов полей. Теория BF - это так называемая топологическая теория поля . Удивительно, но оказывается, что общая теория относительности может быть получена из теории BF путем наложения ограничения, теория BF включает поле, и если кто-то выбирает поле как (антисимметричное) произведение двух тетрад ${\ displaystyle B_ {ab} ^ {IJ}}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle B_ {ab} ^ {IJ} = {1 \ over 2} \ left (E_ {a} ^ {I} E_ {b} ^ {J} -E_ {b} ^ {I} E_ {a} ^ {J} \ right)}$

(тетрады похожи на триады, но в четырех измерениях пространства-времени) восстанавливается общая теория относительности. Условие, что поле задается произведением двух тетрад, называется ограничением простоты. Динамика спиновой пены в топологической теории поля хорошо изучена. Учитывая амплитуды «взаимодействия» спиновой пены для этой простой теории, затем пытаются реализовать условия простоты, чтобы получить интеграл по путям для общей теории относительности. Нетривиальная задача построения модели спиновой пены затем сводится к вопросу о том, как это ограничение простоты должно быть наложено в квантовой теории. Первой попыткой этого была знаменитая модель Барретта – Крейна . Однако эта модель оказалась проблематичной, например, не было достаточного количества степеней свободы для обеспечения правильного классического предела. Утверждалось , что простота ограничение было наложено слишком сильно на квантовом уровне и должны вводиться только в смысле средних значений так же , как с калибровочным условием Лоренца в Гупта-Блейлер формализма в квантовой электродинамики . Теперь были предложены новые модели, иногда мотивированные наложением условий простоты в более слабом смысле. ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ hat {A}} ^ {\ mu}}$

Другая трудность здесь заключается в том, что спиновая пена определяется дискретизацией пространства-времени. Хотя это не представляет проблем для топологической теории поля, поскольку у нее нет локальных степеней свободы, это создает проблемы для ОТО. Это известно как проблема треугольной зависимости.

Современный рецепт отжимной пены

Подобно тому, как наложение классического ограничения простоты восстанавливает общую теорию относительности из теории BF, можно ожидать, что соответствующее ограничение квантовой простоты восстановит квантовую гравитацию из квантовой теории BF.

В этом вопросе Энгл, Перейра и Ровелли, Фрейдель и Краснов, а также Ливин и Специя добились большого прогресса в определении амплитуд взаимодействия спиновой пены с гораздо лучшим поведением.

Была предпринята попытка установить контакт между центрифугированием EPRL-FK и канонической формулировкой LQG.

Вращающаяся пена, полученная из главного оператора ограничения

См. ниже.

Квазиклассический предел и петлевая квантовая гравитация

Классический предел является способность физической теории аппроксимации классической механики. Он используется с физическими теориями, предсказывающими неклассическое поведение. Любая кандидатская теория квантовой гравитации должна быть способна воспроизвести общую теорию относительности Эйнштейна как классический предел квантовой теории. Это не гарантируется из-за особенности квантовых теорий поля, которая состоит в том, что они имеют разные сектора, они аналогичны различным фазам, возникающим в термодинамическом пределе статистических систем. Как разные фазы физически различны, так и разные разделы квантовой теории поля. Может оказаться, что LQG принадлежит нефизическому сектору, в котором общая теория относительности не восстанавливается в полуклассическом пределе (на самом деле может вообще не быть физического сектора).

Более того, физическое гильбертово пространство должно содержать достаточно полуклассических состояний, чтобы гарантировать, что полученная квантовая теория может вернуться к классической теории, когда . Чтобы гарантировать это, нужно любой ценой избегать квантовых аномалий , потому что в противном случае на физическое гильбертово пространство будут накладываться ограничения, не имеющие аналогов в классической теории, а это означает, что квантовая теория имеет меньше степеней свободы, чем классическая. теория. ${\ displaystyle H_ {Phys}}$${\ displaystyle \ hbar \ to 0}$

Теоремы, устанавливающие единственность представления петель согласно определению Аштекара и др. (т.е. некоторая конкретная реализация гильбертова пространства и связанных операторов, воспроизводящих правильную алгебру петель - реализация, которую использовали все), была предоставлена ​​двумя группами (Левандовски, Околоу, Зальманн и Тиман; и Кристиан Флейшхак). До того, как этот результат был установлен, не было известно, могут ли существовать другие примеры гильбертовых пространств с операторами, использующими ту же алгебру петель - другие реализации, не эквивалентные той, которая использовалась до сих пор. Эти теоремы единственности подразумевают, что других не существует, поэтому, если LQG не имеет правильного полуклассического предела, то эти теоремы будут означать конец петлевого представления квантовой гравитации в целом.

Трудности и успеваемость при проверке полуклассического предела

Есть ряд трудностей в попытке установить, что LQG дает общую теорию относительности Эйнштейна в полуклассическом пределе:

1. Не существует оператора, соответствующего бесконечно малым пространственным диффеоморфизмам (неудивительно, что в теории нет генератора бесконечно малых пространственных «трансляций», поскольку она предсказывает, что пространственная геометрия имеет дискретную природу, по сравнению с ситуацией в конденсированной среде). Вместо этого она должна быть аппроксимирована конечными пространственными диффеоморфизмами, и поэтому структура скобок Пуассона классической теории не воспроизводится точно. Эту проблему можно обойти, введя так называемое главное ограничение (см. Ниже).
2. Существует проблема согласования дискретной комбинаторной природы квантовых состояний с непрерывной природой полей классической теории.
3. Существуют серьезные трудности, связанные со структурой скобок Пуассона, включающей пространственный диффеоморфизм и гамильтоновы связи. В частности, алгебра (размазанных) гамильтоновых связей не замыкается: она пропорциональна сумме бесконечно малых пространственных диффеоморфизмов (которые, как мы только что отметили, не существуют в квантовой теории), где коэффициенты пропорциональности не являются константами но имеют нетривиальную зависимость от фазового пространства - как таковая не образует алгебру Ли . Однако ситуация значительно улучшается введением главного ограничения.
4. Полуклассический механизм, разработанный до сих пор, подходит только для операторов, не изменяющих граф, однако гамильтоново ограничение Тимана является оператором изменения графа - новый граф, который он генерирует, имеет степени свободы, от которых когерентное состояние не зависит, и поэтому их квантовое колебания не подавляются. Есть также ограничение, что эти когерентные состояния определены только на кинематическом уровне, и теперь их нужно поднять до уровня и . Можно показать, что гамильтонова связь Тимана должна быть изменяющей граф, чтобы решить проблему 3 в некотором смысле. Однако основная алгебра ограничений тривиальна, и поэтому требование, чтобы она изменяла граф, может быть снято, и действительно были определены операторы основных ограничений, не изменяющие граф. Насколько известно на данный момент, эта проблема пока еще недосягаема.${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {Diff}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {Phys}}$
5. Формулировка наблюдаемых для классической общей теории относительности сама по себе является сложной задачей из-за ее нелинейной природы и инвариантности к диффеоморфизму пространства-времени. Фактически, схема систематической аппроксимации для вычисления наблюдаемых была разработана только недавно.

Трудности в попытке исследовать полуклассический предел теории не следует путать с неправильным полуклассическим пределом.

Что касается вопроса № 2 выше, можно рассмотреть так называемые состояния переплетения . Обычные измерения геометрических величин макроскопичны, планковская дискретность сглаживается. Ткань футболки аналогична: на расстоянии это гладкая изогнутая двумерная поверхность, но при ближайшем рассмотрении мы видим, что на самом деле она состоит из тысяч одномерных связанных нитей. Образ пространства, данный в LQG, аналогичен. Рассмотрим очень большую спиновую сеть, образованную очень большим количеством узлов и звеньев, каждая из которых имеет планковский масштаб . В макроскопическом масштабе он выглядит как трехмерная непрерывная метрическая геометрия.

Чтобы войти в контакт со знакомой физикой низких энергий, необходимо разработать схемы аппроксимации как для физического внутреннего продукта, так и для наблюдаемых Дирака; модели спиновой пены, которые интенсивно изучались, можно рассматривать как пути к схемам аппроксимации для упомянутого физического внутреннего продукта.

Маркопулу и др. приняла идею бесшумных подсистем в попытке решить проблему предела низкой энергии в теориях квантовой гравитации, не зависящих от фона. Эта идея даже привела к интригующей возможности отождествления материи стандартной модели с возникающими степенями свободы из некоторых версий LQG (см. Раздел ниже: LQG и связанные с ним исследовательские программы ).

Как подчеркивал Вайтман в 1950-х годах, в КТП Минковского точечные функции ${\ displaystyle n-}$

${\ displaystyle W (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ langle 0 | \ phi (x_ {n}) \ dots \ phi (x_ {1}) | 0 \ rangle,}$

полностью определить теорию. В частности, по этим величинам можно вычислить амплитуды рассеяния. Как объясняется ниже в разделе, посвященном независимым от фона амплитудам рассеяния , в контексте, не зависящем от фона, точечные функции относятся к состоянию, а в гравитации это состояние может естественным образом кодировать информацию о конкретной геометрии, которая затем может появиться в выражениях этих величин. . Было показано, что в ведущем порядке вычисления LQG в надлежащем смысле согласуются с точечными функциями, вычисленными в эффективной квантовой общей теории относительности низких энергий. ${\ displaystyle n-}$${\ displaystyle n-}$

Улучшенная динамика и главное ограничение

Главное ограничение

Программа Thiemann Master Constraint Program для петлевой квантовой гравитации (LQG) была предложена как классически эквивалентный способ наложения бесконечного числа гамильтоновых уравнений ограничений в терминах одного основного ограничения, которое включает квадрат рассматриваемых ограничений. Первоначальное возражение против использования главного ограничения заключалось в том, что на первый взгляд казалось, что оно не кодирует информацию о наблюдаемых; Поскольку главное ограничение является квадратичным по отношению к ограничению, при вычислении его скобки Пуассона с любой величиной результат пропорционален ограничению, поэтому он всегда исчезает при наложении ограничений и, как таковой, не выбирает определенные функции фазового пространства. Однако было понято, что это условие эквивалентно наблюдаемой Дирака. Таким образом, главное ограничение действительно захватывает информацию о наблюдаемых. Из-за своей значимости это называется главным уравнением.

То, что основная алгебра Пуассона ограничений является честной алгеброй Ли, открывает возможность использования определенного метода, известного как групповое усреднение, для построения решений бесконечного числа гамильтоновых ограничений, физического внутреннего продукта на них и наблюдаемых Дирака с помощью того, что известное как усовершенствованное алгебраическое квантование RAQ.

Ограничение квантового мастера

Задайте квантовое главное ограничение (не считая вопросов регуляризации) как

${\ displaystyle {\ hat {M}}: = \ int d ^ {3} x {\ widehat {\ left ({\ frac {H} {\ sqrt [{4}] {\ det (q (x))) }}} \ right)}} ^ {\ dagger} (x) {\ widehat {\ left ({\ frac {H} {\ sqrt [{4}] {\ det (q (x))}}} \ справа)}} (x).}$

Очевидно,

${\ displaystyle {\ widehat {\ left ({\ frac {H} {\ sqrt [{4}] {\ det (q (x))}}} \ right)}} (x) \ Psi = 0}$

для всех подразумевает . Наоборот, если тогда ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ hat {M}} \ Psi = 0}$${\ displaystyle {\ hat {M}} \ Psi = 0}$

${\ displaystyle 0 = \ left \ langle \ Psi, {\ hat {M}} \ Psi \ right \ rangle = \ int d ^ {3} x \ left \ | {\ widehat {\ left ({\ frac {H } {\ sqrt [{4}] {\ det (q (x))}}} \ right)}} (x) \ Psi \ right \ | ^ {2} \ qquad Eq \; 4}$

подразумевает

${\ displaystyle {\ widehat {\ left ({\ frac {H} {\ sqrt [{4}] {\ det (q (x))}}} \ right)}} (x) \ Psi = 0}$.

Сначала мы можем вычислить матричные элементы будущего оператора , то есть вычислить квадратичную форму . Оказывается, что как граф, инвариантная к диффеоморфизму квадратичная форма, она не может существовать в кинематическом гильбертовом пространстве и должна быть определена на . Так как оператор мастер ограничение будет плотно определен на , то положительный и симметричный оператор в . Следовательно, квадратичная форма, ассоциированная с , замыкаема . Закрытие является квадратичной формой уникального самосопряженного оператора , называется расширением Friedrichs из . Мы изменили название для простоты. ${\ displaystyle {\ hat {M}}}$${\ displaystyle Q_ {M}}$${\ displaystyle Q_ {M}}$${\ displaystyle H_ {Kin}}$${\ displaystyle H_ {Diff}}$${\ displaystyle {\ hat {M}}}$${\ displaystyle H_ {Diff}}$${\ displaystyle {\ hat {M}}}$${\ displaystyle H_ {Diff}}$${\ displaystyle Q_ {M}}$${\ displaystyle {\ hat {M}}}$${\ displaystyle Q_ {M}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ overline {M}}}}$${\ displaystyle {\ hat {M}}}$${\ displaystyle {\ hat {\ overline {M}}}}$${\ displaystyle {\ hat {M}}}$

Обратите внимание, что наличие внутреннего продукта, а именно уравнения 4, означает, что нет лишних решений, т.е. нет таких, что ${\ displaystyle \ Psi}$

${\ displaystyle {\ widehat {\ left ({\ frac {H} {\ sqrt [{4}] {\ det (q (x))}}} \ right)}} (x) \ Psi \ not = 0 ,}$

но для чего . ${\ displaystyle {\ hat {M}} \ Psi = 0}$

Также возможно построить квадратичную форму для того, что называется расширенным основным ограничением (обсуждается ниже), в котором также используется взвешенный интеграл квадрата ограничения пространственного диффеоморфизма (это возможно, потому что это не изменение графа). ${\ displaystyle Q_ {M_ {E}}}$${\ displaystyle H_ {Kin}}$${\ displaystyle Q_ {M_ {E}}}$

Спектр основного ограничения может не содержать нуля из-за эффектов нормального или факторного упорядочения, которые конечны, но подобны по своей природе бесконечным энергиям вакуума в зависимых от фона квантовых теориях поля. В этом случае оказывается физически правильным заменить на при условии, что «постоянная нормального порядка» обращается в нуль в классическом пределе, т. Е. ${\ displaystyle {\ hat {M}}}$${\ displaystyle {\ hat {M}} ': = {\ hat {M}} - \ min (spec ({\ hat {M}})) {\ hat {1}}}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ hbar \ to 0} \ min (spec ({\ hat {M}})) = 0,}$

так что это действительное квантование . ${\ displaystyle {\ hat {M}} '}$${\ displaystyle M}$

Тестирование главного ограничения

Ограничения в их примитивной форме довольно сингулярны, поэтому их интегрировали по тестовым функциям для получения размытых ограничений. Однако может показаться, что уравнение для основного ограничения, приведенное выше, является еще более сингулярным, включая произведение двух примитивных ограничений (хотя и интегрированных по пространству). Возведение ограничения в квадрат опасно, так как оно может привести к ухудшению поведения соответствующего оператора в ультрафиолетовом диапазоне, и, следовательно, к основной программе ограничения следует подходить с должной осторожностью.

При этом основная программа ограничений была успешно протестирована на ряде модельных систем с нетривиальными алгебрами ограничений, свободными и взаимодействующими теориями поля. Основное ограничение для LQG было установлено как подлинный положительный самосопряженный оператор, и было показано, что физическое гильбертово пространство LQG непусто; очевидный тест согласованности LQG должен пройти, чтобы стать жизнеспособной теорией квантовой общей теории относительности.

Приложения главного ограничения

Основное ограничение использовалось в попытках приблизить физический внутренний продукт и определить более строгие интегралы по траекториям.

Подход согласованной дискретизации к LQG - это приложение основной программы ограничений для построения физического гильбертова пространства канонической теории.

Отжим пены от мастера ограничения

Оказывается, главное ограничение легко обобщить, чтобы включить в него другие ограничения. Тогда это называется расширенным главным ограничением . Мы можем определить расширенное главное ограничение, которое накладывает как гамильтоново ограничение, так и ограничение пространственного диффеоморфизма, как один оператор, ${\ displaystyle M_ {E}}$

${\ Displaystyle M_ {E} = \ int _ {\ Sigma} d ^ {3} x {H (x) ^ {2} -q ^ {ab} V_ {a} (x) V_ {b} (x) \ над {\ sqrt {\ det (q)}}}}$.

Установка этого одного ограничения к нулю эквивалентно и для всех ин . Это ограничение реализует пространственный диффеоморфизм и гамильтоново ограничение одновременно на кинематическом гильбертовом пространстве. Тогда физический внутренний продукт определяется как ${\ Displaystyle Н (х) = 0}$${\ Displaystyle V_ {а} (х) = 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ Sigma}$

${\ displaystyle \ langle \ phi, \ psi \ rangle _ {\ text {Phys}} = \ lim _ {T \ to \ infty} \ left \ langle \ phi, \ int _ {- T} ^ {T} dte ^ {это {\ hat {M}} _ {E}} \ psi \ right \ rangle}$

(как ). Представление этого выражения в виде спиновой пены получается путем разделения -параметра на дискретные шаги и записи ${\ textstyle \ delta ({\ hat {M_ {E}}}) = \ lim _ {T \ to \ infty} \ int _ {- T} ^ {T} dte ^ {it {\ hat {M}} _ {E}}}$${\ displaystyle t}$

${\ textstyle e ^ {it {\ hat {M}} _ {E}} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left [e ^ {it {\ hat {M}} _ {E} / n } \ right] ^ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} [1 + it {\ hat {M}} _ {E} / n] ^ {n}.}$

Затем описание спиновой пены следует из применения к спиновой сети, в результате чего получается линейная комбинация новых спиновых сетей, график и метки которых были изменены. Очевидно, что приближение выполняется путем усечения значения до некоторого конечного целого числа. Преимущество расширенного главного ограничения заключается в том, что мы работаем на кинематическом уровне, и пока только здесь у нас есть доступ к полуклассическим когерентным состояниям. Более того, нельзя найти ни одной версии этого главного оператора ограничения, не изменяющей граф, которая является единственным типом операторов, подходящих для этих когерентных состояний. ${\ displaystyle [1 + it {\ hat {M}} _ {E} / n]}$${\ displaystyle n}$

Алгебраическая квантовая гравитация (AQG)

Основная программа ограничений превратилась в полностью комбинаторную трактовку гравитации, известную как алгебраическая квантовая гравитация (AQG). Оператор главного ограничения без изменения графа адаптирован в рамках алгебраической квантовой гравитации. Хотя AQG вдохновлен LQG, он сильно отличается от него, потому что в AQG принципиально нет топологии или дифференциальной структуры - он не зависит от фона в более общем смысле и, возможно, может что-то сказать об изменении топологии. В этой новой формулировке квантовой гравитации полуклассические состояния AQG всегда управляют флуктуациями всех имеющихся степеней свободы. Это делает полуклассический анализ AQG лучше, чем LQG, и был достигнут прогресс в установлении его правильного полуклассического предела и обеспечении контакта со знакомой физикой низких энергий.

Физические приложения LQG

Энтропия черной дыры

Художник изображает слияние двух черных дыр , процесса, в котором соблюдаются законы термодинамики .

Термодинамика черных дыр - это область исследований, которая стремится примирить законы термодинамики с существованием горизонтов событий черных дыр . Нет волос гипотеза ОТО утверждает , что черная дыра характеризуется только своей массой , его заряда , и его углового момента ; следовательно, у него нет энтропии . Таким образом, оказывается, что можно нарушить второй закон термодинамики , сбросив объект с ненулевой энтропией в черную дыру. Работа Стивена Хокинга и Якоба Бекенштейна показала, что можно сохранить второй закон термодинамики, присвоив каждой черной дыре энтропию черной дыры.

${\ displaystyle S _ {\ text {BH}} = {\ frac {k _ {\ text {B}} A} {4 \ ell _ {\ text {P}} ^ {2}}},}$

где - площадь горизонта событий дыры, - постоянная Больцмана , - планковская длина . Тот факт, что энтропия черной дыры также является максимальной энтропией, которую можно получить с помощью границы Бекенштейна (в которой граница Бекенштейна становится равенством), был главным наблюдением, которое привело к голографическому принципу . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k _ {\ text {B}}}$${\ textstyle \ ell _ {\ text {P}} = {\ sqrt {G \ hbar / c ^ {3}}}}$

Недостаток в применении теоремы «без волос» заключается в предположении, что соответствующие степени свободы, учитывающие энтропию черной дыры, должны быть классическими по своей природе; что, если бы они были чисто квантово-механическими и имели ненулевую энтропию? Фактически, это то, что реализовано в LQG-выводе энтропии черной дыры, и может рассматриваться как следствие ее независимости от фона - классическое пространство-время черной дыры возникает из полуклассического предела квантового состояния гравитационного поля, но есть много квантовых состояний, которые имеют один и тот же полуклассический предел. В частности, в LQG можно связать квантово-геометрическую интерпретацию с микросостоянием: это квантовая геометрия горизонта, которая согласуется с площадью черной дыры и топологией горизонта (т.е. сферической). LQG предлагает геометрическое объяснение конечности энтропии и пропорциональности площади горизонта. Эти вычисления были обобщены для вращающихся черных дыр. ${\ displaystyle A}$

Представление квантовой геометрии горизонта. Полимерные возбуждения в массе прокалывают горизонт, наделяя его квантованной площадью. По сути, горизонт плоский, за исключением точек, где он приобретает квантованный угол дефицита или квантованную величину кривизны. Эти углы дефицита в сумме составляют .${\ displaystyle 4 \ pi}$

Из ковариантной формулировки полной квантовой теории ( Spinfoam ) можно вывести правильное соотношение между энергией и площадью (1-й закон), температурой Унру и распределением, которое дает энтропию Хокинга. Расчет использует понятие динамического горизонта и проводится для неэкстремальных черных дыр.

Недавний успех теории в этом направлении - вычисление энтропии всех несингулярных черных дыр непосредственно из теории и независимо от параметра Иммирци . Результатом является ожидаемая формула , где - энтропия и площадь черной дыры, выведенная Бекенштейном и Хокингом на эвристических основаниях. Это единственный известный вывод этой формулы из фундаментальной теории для случая типичных неособых черных дыр. Предыдущие попытки этого расчета были затруднены. Проблема заключалась в том, что, хотя квантовая гравитация Петли предсказывала, что энтропия черной дыры пропорциональна площади горизонта событий, результат зависел от ключевого свободного параметра в теории, вышеупомянутого параметра Иммирци. Однако нет известных вычислений параметра Иммирци, поэтому его пришлось исправить, потребовав согласия с расчетом Бекенштейна и Хокинга энтропии черной дыры . ${\ Displaystyle S = A / 4}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle A}$

Излучение Хокинга в петлевой квантовой гравитации

Детальное исследование квантовой геометрии горизонта черной дыры было проведено с использованием петлевой квантовой гравитации. Петлевое квантование не воспроизводит результат для энтропии черной дыры, первоначально открытый Бекенштейном и Хокингом , если только не выбирается значение параметра Иммирци, чтобы компенсировать другую константу, возникающую при выводе. Однако это привело к вычислению поправок более высокого порядка к энтропии и излучению черных дыр.

Основываясь на флуктуациях площади горизонта, квантовая черная дыра демонстрирует отклонения от спектра Хокинга, которые можно было бы наблюдать, если бы наблюдались рентгеновские лучи от излучения Хокинга испаряющихся первичных черных дыр . Квантовые эффекты сосредоточены на наборе дискретных и несмешанных частот, сильно выраженных в верхней части спектра излучения Хокинга.

Звезда Планка

В 2014 году Карло Ровелли и Франческа Видотто предположили, что внутри каждой черной дыры есть звезда Планка . Основанная на LQG, теория утверждает, что когда звезды коллапсируют в черные дыры, плотность энергии достигает планковской плотности энергии, вызывая силу отталкивания, которая создает звезду. Кроме того, существование такой звезды будет решить черную дыру брандмауэр и черная дыра информации парадокс .

Петлевая квантовая космология

В популярной и технической литературе есть обширные ссылки на относящуюся к LQG тему петлевой квантовой космологии. LQC был в основном разработан Мартином Бойовальдом, он был популяризирован квантовой космологией Петли в Scientific American для предсказания Большого отскока до Большого взрыва . Петлевая квантовая космология (LQC) - это модель классической общей теории относительности с уменьшенной симметрией, квантованная с использованием методов, имитирующих методы петлевой квантовой гравитации (LQG), которая предсказывает «квантовый мост» между сжимающимися и расширяющимися космологическими ветвями.

Достижениями LQC были разрешение сингулярности большого взрыва, предсказание большого скачка и естественный механизм инфляции .

Модели LQC имеют общие черты LQG, поэтому они являются полезной игрушечной моделью. Однако полученные результаты подчиняются обычному ограничению, заключающемуся в том, что усеченная классическая теория, затем квантованная, может не отображать истинное поведение полной теории из-за искусственного подавления степеней свободы, которые могут иметь большие квантовые флуктуации в полной теории. Утверждалось, что предотвращение сингулярности в LQC обеспечивается механизмами, доступными только в этих ограничительных моделях, и что предотвращение сингулярности в полной теории все еще может быть получено, но с помощью более тонкой особенности LQG.

Феноменология петлевой квантовой гравитации

Известно, что эффекты квантовой гравитации трудно измерить, потому что планковская длина невероятно мала. Однако в последнее время физики, такие как Джек Палмер, начали рассматривать возможность измерения эффектов квантовой гравитации в основном с помощью астрофизических наблюдений и детекторов гравитационных волн. Энергия этих колебаний на столь малых масштабах вызывает пространственные возмущения, которые видны на более высоких масштабах.

Амплитуды рассеяния, не зависящие от фона

Петлевая квантовая гравитация сформулирована на независимом от фона языке. Никакое пространство-время не предполагается априори, а скорее построено на самих состояниях теории - однако амплитуды рассеяния выводятся из -точечных функций ( корреляционная функция ), а они, сформулированные в традиционной квантовой теории поля, являются функциями точек фона. пространство-время. Связь между формализмом, не зависящим от фона, и традиционным формализмом квантовой теории поля в данном пространстве-времени далеко не очевидна, и далеко не очевидно, как восстановить низкоэнергетические величины из полной теории, не зависящей от фона. Хотелось бы вывести -точечные функции теории из не зависящего от фона формализма, чтобы сравнить их со стандартным пертурбативным разложением квантовой общей теории относительности и, следовательно, проверить, что петлевая квантовая гравитация дает правильный низкоэнергетический предел. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Предложена стратегия решения этой проблемы; идея состоит в том, чтобы изучить граничную амплитуду, а именно интеграл по путям в конечной области пространства-времени, рассматриваемую как функцию граничного значения поля. В традиционной квантовой теории поля эта граничная амплитуда четко определена и кодирует физическую информацию теории; это происходит и в квантовой гравитации, но полностью независимым от фона образом. Общековариантное определение -точечных функций может быть основано на идее, что расстояние между физическими точками-аргументами -точечной функции определяется состоянием гравитационного поля на границе рассматриваемой области пространства-времени. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Достигнут прогресс в вычислении независимых от фона амплитуд рассеяния таким способом с использованием спиновых пен. Это способ извлечь физическую информацию из теории. Были сделаны заявления о воспроизведении правильного поведения амплитуд рассеяния гравитона и о восстановлении классической гравитации. «Мы вычислили закон Ньютона, исходя из мира без пространства и времени». - Карло Ровелли.

Гравитоны, теория струн, суперсимметрия, дополнительные измерения в LQG

Некоторые квантовые теории гравитации постулируют квантовое поле со спином 2, которое квантуется, давая начало гравитонам. В теории струн обычно начинают с квантованных возбуждений поверх классически фиксированного фона. Таким образом, эта теория описывается как зависящая от фона. Такие частицы, как фотоны, а также изменения в геометрии пространства-времени (гравитоны) описываются как возбуждения на мировом листе струны. Фоновая зависимость теории струн может иметь важные физические последствия, такие как определение числа поколений кварков. Напротив, петлевая квантовая гравитация, как и общая теория относительности, явно не зависит от фона, устраняя фон, необходимый в теории струн. Петлевая квантовая гравитация, как и теория струн, также направлена ​​на преодоление неперенормируемых расхождений квантовых теорий поля.

LQG никогда не вводит фон и возбуждения, живущие на этом фоне, поэтому LQG не использует гравитоны в качестве строительных блоков. Вместо этого можно ожидать, что можно будет восстановить своего рода полуклассический предел или предел слабого поля, где снова появится что-то вроде «гравитонов». Напротив, гравитоны играют ключевую роль в теории струн, где они являются одними из первых (безмассовых) уровней возбуждений суперструны.

LQG отличается от теории струн тем, что она сформулирована в 3-х и 4-х измерениях и не содержит суперсимметрии или дополнительных измерений Калуцы – Клейна , в то время как последнее требует, чтобы и то и другое было верным. На сегодняшний день нет экспериментальных данных, подтверждающих предсказания теории струн о суперсимметрии и дополнительных измерениях Калуцы – Клейна. В статье 2003 года «Диалог о квантовой гравитации» Карло Ровелли рассматривает тот факт, что LQG сформулирована в четырех измерениях и без суперсимметрии, как силу теории, поскольку она представляет собой наиболее экономное объяснение, согласующееся с текущими экспериментальными результатами, по сравнению с конкурирующей строкой. / М-теория. Сторонники теории струн часто указывают на тот факт, что, среди прочего, она наглядно воспроизводит установленные теории общей теории относительности и квантовой теории поля в соответствующих пределах, что петлевая квантовая гравитация изо всех сил пытается сделать. В этом смысле связь теории струн с установившейся физикой может считаться более надежной и менее умозрительной на математическом уровне. Петлевая квантовая гравитация ничего не говорит о материи (фермионах) во Вселенной.

Поскольку LQG была сформулирована в четырех измерениях (с суперсимметрией и без нее), а М-теория требует суперсимметрии и одиннадцати измерений, прямое сравнение между ними было невозможно. Можно расширить основной формализм LQG на многомерную супергравитацию, общую теорию относительности с суперсимметрией и дополнительные измерения Калуцы – Клейна, если экспериментальные доказательства подтвердят их существование. Поэтому было бы желательно иметь в своем распоряжении квантования петель супергравитации более высоких измерений, чтобы сравнить эти подходы. Фактически, в последнее время была опубликована серия работ с попытками именно этого. Совсем недавно Тиман (и его выпускники) добились прогресса в вычислении энтропии черной дыры для супергравитации в более высоких измерениях. Было бы интересно сравнить эти результаты с соответствующими вычислениями суперструн.

LQG и связанные исследовательские программы

Несколько исследовательских групп попытались объединить LQG с другими исследовательскими программами: Johannes Aastrup, Jesper M. Grimstrup et al. исследования сочетают в себе некоммутативную геометрию с канонической квантовой гравитацией и переменными Аштекара, Лоран Фрейдель, Симоне Специале и др., спиноры и теорию твисторов с петлевой квантовой гравитацией, а Ли Смолин и др. с энтропийной гравитацией Верлинде и петлевой гравитацией. Стефон Александр, Антонино Марчиано и Ли Смолин попытались объяснить происхождение киральности слабых сил в терминах переменных Ашкетара, которые описывают гравитацию как киральную, и LQG с полями теории Янга – Миллса в четырех измерениях. Сандэнс Билсон-Томпсон , Хакетт и др. Попытались представить стандартную модель с помощью степеней свободы LQG в качестве эмерджентного свойства (используя идею бесшумных подсистем , полезное понятие, введенное Фотини Маркопулу в более общую ситуацию для систем с ограничениями. -Kalamara et al.)

Более того, LQG провела философские сравнения с причинной динамической триангуляцией и асимптотически безопасной гравитацией , а спиновая пена - с теорией группового поля и соответствием AdS / CFT . Смолин и Вен предложили объединить LQG с жидкостью струнной сети , тензорами и квантовой графией Смолина и Фотини Маркопулу-Каламара . Существует подход последовательной дискретизации. Кроме того, Пуллин и Гамбини обеспечивают основу для соединения интеграла по путям и канонических подходов к квантовой гравитации. Они могут помочь согласовать подходы спиновой пены и канонического представления петель. Недавнее исследование Криса Дастона и Матильды Марколли представляет изменение топологии через сети топспинов.

Проблемы и сравнения с альтернативными подходами

Некоторые из основных нерешенных проблем в физике являются теоретическими, а это означает, что существующие теории кажутся неспособными объяснить определенное наблюдаемое явление или экспериментальный результат. Остальные являются экспериментальными, а это означает, что создать эксперимент для проверки предложенной теории или более детального исследования явления сложно.

Многие из этих проблем относятся к LQG, в том числе:

• Можно ли реализовать квантовую механику и общую теорию относительности как полностью непротиворечивую теорию (возможно, как квантовую теорию поля)?
• По сути, пространство-время непрерывно или дискретно?
• Будет ли последовательная теория включать силу, опосредованную гипотетическим гравитоном, или быть продуктом дискретной структуры самого пространства-времени (как в петлевой квантовой гравитации)?
• Есть ли отклонения от предсказаний общей теории относительности в очень малых или очень больших масштабах или в других экстремальных обстоятельствах, которые вытекают из квантовой теории гравитации?

Теория LQG - одно из возможных решений проблемы квантовой гравитации, как и теория струн . Однако есть существенные различия. Например, теория струн также обращается к объединению , пониманию всех известных сил и частиц как проявлений единой сущности, постулируя дополнительные измерения и пока еще ненаблюдаемые дополнительные частицы и симметрии. В отличие от этого, LQG основана только на квантовой теории и общей теории относительности, и ее объем ограничен пониманием квантовых аспектов гравитационного взаимодействия. С другой стороны, последствия LQG радикальны, потому что они фундаментально меняют природу пространства и времени и дают предварительную, но подробную физическую и математическую картину квантового пространства-времени.

В настоящее время не было показано, что существует полуклассический предел, восстанавливающий общую теорию относительности. Это означает, что остается недоказанным, что LQG-описание пространства-времени в масштабе Планка имеет правильный континуальный предел (описываемый общей теорией относительности с возможными квантовыми поправками). В частности, динамика теории закодирована в гамильтоновом ограничении , но кандидата в гамильтониан нет . Другие технические проблемы включают поиск вне оболочки закрытия ограничения алгебры и физического скалярного произведения векторного пространства , соединения материи поля квантовой теории поля , судьба перенормировки в гравитоне в теории возмущений , которые приводят к ультрафиолетовому дивергенции за 2- х петли (см однопетлевая диаграмма Фейнмана в фейнмановской диаграмме ).

Хотя было предложение, относящееся к наблюдению голых сингулярностей и двойной специальной теории относительности как часть программы, называемой петлевой квантовой космологией , нет экспериментального наблюдения, для которого петлевая квантовая гравитация делает предсказание, не сделанное Стандартной моделью или общей теорией относительности. (проблема, которая беспокоит все современные теории квантовой гравитации). Из-за вышеупомянутого отсутствия полуклассического предела LQG еще даже не воспроизвела предсказания, сделанные общей теорией относительности.

Альтернативная критика состоит в том, что общая теория относительности может быть эффективной теорией поля , и поэтому квантование игнорирует фундаментальные степени свободы.

ESA «s ИНТЕГРАЛ спутника измеряется поляризация фотонов различных длин волн и был в состоянии поместить предел в зернистости пространства , которое составляет менее 10 ^-48 м или 13 порядков ниже масштаба Планка.

Смотрите также

Примечания

Цитаты

Процитированные работы

дальнейшее чтение

• Популярные книги:
  • Родольфо Гамбини и Хорхе Пуллин , Петлевая квантовая гравитация для всех , World Scientific , 2020.
  • Карло Ровелли , « Реальность - это не то, чем кажется », Penguin, 2016.
  • Мартин Бойовальд , Once Before Time: A Whole Story of the Universe 2010.
  • Карло Ровелли , что такое время? Что такое космос? , Ди Ренцо Эдиторе, Рома, 2006.
  • Ли Смолин , Три пути к квантовой гравитации , 2001 г.
• Журнальные статьи:
  • Ли Смолин , «Атомы пространства и времени», Scientific American , январь 2004 г.
  • Мартин Бойовальд , «Следуя за подпрыгивающей Вселенной», Scientific American , октябрь 2008 г.
• Более легкие вводные, пояснительные или критические работы:
  • Абхай Аштекар , Гравитация и квант , электронная печать доступна по адресу gr-qc / 0410054 (2004)
  • Джон К. Баез и Хавьер П. Муниайн, Калибровочные поля, узлы и квантовая гравитация , World Scientific (1994)
  • Карло Ровелли , Диалог о квантовой гравитации , электронная печать доступна как hep-th / 0310077 (2003)
  • Карло Ровелли и Франческа Видотто , Ковариантная петлевая квантовая гравитация , Кембридж (2014); черновик доступен онлайн
• Более сложные вводные / разъяснительные работы:
  • Карло Ровелли , Квантовая гравитация , Издательство Кембриджского университета (2004); черновик доступен онлайн
  • Абхай Аштекар , Новые перспективы канонической гравитации , Библиополис (1988).
  • Абхай Аштекар , Лекции по непертурбативной канонической гравитации , World Scientific (1991)
  • Родольфо Гамбини и Хорхе Пуллин , Петли, узлы, калибровочные теории и квантовая гравитация , Cambridge University Press (1996)
  • Т. Тиманн The LQG - String: Loop Quantum Gravity Quantization of String Theory (2004)
  • Селада, Мариано; Гонсалес, Диего; Монтесинос, Мерсед (2016). «БФ гравитация». Классическая и квантовая гравитация . 33 (21): 213001. arXiv : 1610.02020 . Bibcode : 2016CQGra..33u3001C . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 33/21/213001 . S2CID  119605468 .
• Актуальные обзоры
  • Ровелли, Карло (2011). «Закопанские лекции по петлевой гравитации». arXiv : 1102.3660 [ gr-qc ].
  • Ровелли, Карло (1998). «Петлевая квантовая гравитация» . Живые обзоры в теории относительности . 1 (1): 1. arXiv : gr-qc / 9710008 . Bibcode : 1998LRR ..... 1 .... 1R . DOI : 10.12942 / lrr-1998-1 . PMC  5567241 . PMID  28937180 .
  • Тиман, Томас (2003). «Лекции по петлевой квантовой гравитации». Квантовая гравитация . Конспект лекций по физике . Том 631. С. 41–135. arXiv : gr-qc / 0210094 . Bibcode : 2003LNP ... 631 ... 41T . DOI : 10.1007 / 978-3-540-45230-0_3 . ISBN 978-3-540-40810-9. S2CID  119151491 . |volume=имеет дополнительный текст ( справка )
  • Аштекар, Абхай ; Левандовски, Ежи (2004). «Фоновая независимая квантовая гравитация: отчет о состоянии». Классическая и квантовая гравитация . 21 (15): R53 – R152. arXiv : gr-qc / 0404018 . Bibcode : 2004CQGra..21R..53A . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 21/15 / R01 . S2CID  119175535 .
  • Карло Ровелли и Маркус Галл, Петлевая квантовая гравитация и значение инвариантности диффеоморфизма , электронная печать доступна как gr-qc / 9910079 .
  • Ли Смолин , « Обоснование независимости фона» , электронная печать доступна под номером hep-th / 0507235 .
  • Алехандро Коричи , Квантовая геометрия петли: грунтовка , электронная печать, доступная как Квантовая геометрия петли: грунтовка .
  • Алехандро Перес, Введение в петлевой квантовой гравитации и спиновым пен электронной печати доступны Введение в петлевой квантовой гравитации и Спин Пены .
• Фундаментальные исследования:
  • Роджер Пенроуз , Угловой момент: подход к комбинаторному пространству-времени в квантовой теории и за ее пределами , под ред. Тед Бастин, издательство Кембриджского университета, 1971 г.
  • Ровелли, Карло ; Смолин, Ли (1988). «Теория узлов и квантовая гравитация». Письма с физическим обзором . 61 (10): 1155–1158. Bibcode : 1988PhRvL..61.1155R . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.61.1155 . PMID  10038716 .
  • Ровелли, Карло ; Смолин, Ли (1990). "Петлевое представление квантовой общей теории относительности". Ядерная физика . B331 (1): 80–152. Bibcode : 1990NuPhB.331 ... 80R . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (90) 90019-а .
  • Карло Ровелли и Ли Смолин , Дискретность площади и объема в квантовой гравитации , Nucl. Phys., B442 (1995) 593–622, электронная печать доступна как arXiv : gr-qc / 9411005
  • Тиман, Томас (2007). «Петлевая квантовая гравитация: взгляд изнутри». Подходы к фундаментальной физике . Конспект лекций по физике. 721 : 185–263. arXiv : hep-th / 0608210 . Bibcode : 2007LNP ... 721..185T . DOI : 10.1007 / 978-3-540-71117-9_10 . ISBN 978-3-540-71115-5. S2CID  119572847 .

внешние ссылки

• Введение в Loop Quantum Gravity Online лекции Карло Ровелли
• Ковариантное петлевой квантовой гравитации с помощью Карло Rovelli и Франческа Vidotto
• "Петлевая квантовая гравитация" Карло Ровелли Physics World, ноябрь 2003 г.
• Квантовая пена и петлевая квантовая гравитация
• Абхай Аштекар: полу-популярные статьи. Некоторые отличные популярные статьи о пространстве, времени, GR и LQG, подходящие для начинающих.
• Петлевая квантовая гравитация: Ли Смолин.
• Онлайн-лекции по Loop Quantum Gravity, автор Ли Смолин
• Спиновые сети, спиновая пена и петлевая квантовая гравитация
• Журнал Wired, Новости: Выход за рамки теории струн
• В специальном выпуске журнала Scientific American, апрель 2006 г., «Вопрос времени» есть статья Ли Смолина LQG « Атомы пространства и времени».
• Сентябрь 2006 г., The Economist, статья « Зацикливание на петле».
• Гамма-телескоп большой площади: космический гамма-телескоп Ферми
• Зенон встречается с современной наукой. Статья из журнала « Acta Physica Polonica B » З.К. Силагадзе.
• Оставила ли вселенная до Большого взрыва свой след на небе? - Согласно модели, основанной на теории «петлевой квантовой гравитации», родительская вселенная, существовавшая до нашей, могла оставить отпечаток ( New Scientist , 10 апреля 2008 г.)
• О'Дауд, Мэтт (15 октября 2019 г.). «Объяснение петлевой квантовой гравитации» . PBS Space Time - через YouTube .