Ценность истины - Truth value

В логике и математике , А значение истинности , иногда называется логическое значение , является значением , указывающим отношение к предложению к истине .

Вычисление

В некоторых языках программирования любое выражение может быть вычислено в контексте, который ожидает логический тип данных . Обычно (хотя это зависит от языка программирования) выражения, такие как число ноль , пустая строка , пустые списки и null, оцениваются как false, а строки с содержимым (например, «abc»), другие числа и объекты оцениваются как true. Иногда эти классы выражений называют «правдивыми» и «ложными» / «ложными».

Классическая логика

 
правда
 
· ·
соединение
¬
 
ложный
· ·
дизъюнкция
Отрицание меняет местами
истину на ложь и
соединяется с дизъюнкцией.

В классической логике , с его предполагаемыми семантиками, значение истинности является истинным (обозначается через 1 или Верум ⊤), и не соответствует действительности или ложно (обозначается 0 или константой ' лжи ⊥); то есть классическая логика - это двузначная логика . Этот набор из двух значений также называется логической областью . Соответствующая семантика логических связок - это функции истинности , значения которых выражаются в виде таблиц истинности . Логическое биконусное становится бинарным отношением равенства , а отрицание становится взаимно однозначным соотношением, которое меняет истинное и ложное. Конъюнкция и дизъюнкция двойственны по отношению к отрицанию, что выражается законами Де Моргана :

¬ ( pq ) ⇔ ¬ p  ∨ ¬ q
¬ ( pq ) ⇔ ¬ p  ∧ ¬ q

Пропозициональные переменные становятся переменными в булевой области. Присвоение значений пропозициональным переменным называется оценкой .

Интуиционистская и конструктивная логика

В интуиционистской логике и в более общем плане конструктивной математике утверждениям присваивается значение истинности, только если им можно дать конструктивное доказательство. Он начинается с набора аксиом, и утверждение истинно, если можно построить доказательство утверждения на основе этих аксиом. Утверждение неверно, если из него можно вывести противоречие. Это оставляет открытой возможность утверждений, которым еще не было присвоено значение истинности. Недоказанным утверждениям в интуиционистской логике не придается промежуточное значение истинности (как иногда ошибочно утверждают). В самом деле, можно доказать, что у них нет третьей ценности истины, и этот результат восходит к Гливенко в 1928 году.

Вместо этого утверждения просто имеют неизвестную истинную ценность до тех пор, пока они не будут доказаны или опровергнуты.

Существуют различные способы интерпретации интуиционистской логики, в том числе интерпретация Брауэра – Гейтинга – Колмогорова . См. Также Интуиционистскую логику § Семантика .

Многозначная логика

Многозначные логики (такие как нечеткая логика и логика релевантности ) допускают более двух значений истинности, возможно, содержащих некоторую внутреннюю структуру. Например, на единичном интервале [0,1] такая структура является суммарным заказом ; это может быть выражено как наличие различных степеней истины .

Алгебраическая семантика

Не все логические системы являются истинно-оценочными в том смысле, что логические связки могут интерпретироваться как функции истинности. Например, интуиционистской логике не хватает полного набора значений истинности, потому что ее семантика, интерпретация Брауэра – Гейтинга – Колмогорова , определяется в терминах условий доказуемости , а не непосредственно в терминах необходимой истинности формул.

Но даже логика, оценивающая неверность, может связывать значения с логическими формулами, как это делается в алгебраической семантике . Алгебраическая семантика интуиционистской логики дается в терминах алгебр Гейтинга по сравнению с семантикой булевой алгебры классического исчисления высказываний.

В других теориях

В интуиционистской теории типов вместо истинных ценностей используются типы .

Топос ценность теории видов использования истины в особом смысле: истинностные значения топоса являются глобальными элементами по подобъектам классификатора . Наличие истинностных ценностей в этом смысле не делает логику ценностной.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки