Расположение – масштабное семейство - Location–scale family

В теории вероятностей , особенно в математической статистике , семейство масштабов местоположения - это семейство распределений вероятностей, параметризованных параметром местоположения и неотрицательным параметром масштаба . Для любой случайной величины , функция распределения вероятностей которой принадлежит такому семейству, функция распределения также принадлежит семейству (где означает « равное распределение », то есть «имеет то же распределение, что и»). Более того, если и - две случайные величины, функции распределения которых являются членами семейства, и предполагая ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle Y {\ stackrel {d} {=}} а + bX}$${\ Displaystyle {\ stackrel {d} {=}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

1. наличие первых двух моментов и
2. ${\ displaystyle X}$ имеет нулевое среднее и единичную дисперсию,

то можно записать как , где и - среднее и стандартное отклонение . ${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle Y {\ stackrel {d} {=}} \ mu _ {Y} + \ sigma _ {Y} X}$${\ displaystyle \ mu _ {Y}}$${\ displaystyle \ sigma _ {Y}}$${\ displaystyle Y}$

Другими словами, класс вероятностных распределений является семейством масштаба местоположения, если для всех кумулятивных функций распределения и любых действительных чисел и функция распределения также является членом . ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle F \ in \ Omega}$${\ Displaystyle а \ в \ mathbb {R}}$${\ displaystyle b> 0}$${\ Displaystyle G (х) = F (а + bx)}$${\ displaystyle \ Omega}$

• Если имеет кумулятивную функцию распределения , то имеет кумулятивную функцию распределения .${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle F_ {X} (х) = P (X \ Leq x)}$${\ Displaystyle Y {=} а + bX}$${\ Displaystyle F_ {Y} (y) = F_ {X} \ left ({\ frac {ya} {b}} \ right)}$
• Если - дискретная случайная величина с функцией массы вероятности , то - дискретная случайная величина с функцией массы вероятности .${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p_ {X} (x) = P (X = x)}$${\ Displaystyle Y {=} а + bX}$${\ displaystyle p_ {Y} (y) = p_ {X} \ left ({\ frac {ya} {b}} \ right)}$
• Если - непрерывная случайная величина с функцией плотности вероятности , то - непрерывная случайная величина с функцией плотности вероятности .${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f_ {X} (x)}$${\ Displaystyle Y {=} а + bX}$${\ displaystyle f_ {Y} (y) = {\ frac {1} {b}} f_ {X} \ left ({\ frac {ya} {b}} \ right)}$

В теории принятия решений , если все альтернативные распределения, доступные лицу, принимающему решение, принадлежат к одному семейству масштаба и местоположения, а первые два момента конечны, тогда может применяться модель решения с двумя моментами , и процесс принятия решения может быть сформулирован в терминах из средств и дисперсий распределений.

Примеры

Часто семьи масштаба местоположения ограничиваются теми, все члены которых имеют одинаковую функциональную форму. Большинство семейств в масштабе местоположения одномерны , но не все. К хорошо известным семействам, в которых функциональная форма распределения одинакова для всей семьи, относятся следующие:

• Нормальное распределение
• Эллиптические распределения
• Распределение Коши
• Равномерное распределение (непрерывное)
• Равномерное распределение (дискретное)
• Логистическая дистрибуция
• Распределение Лапласа
• Распределение Стьюдента
• Обобщенное распределение экстремальных значений

Преобразование одного распределения в семейство в масштабе местоположения

Ниже показано, как реализовать семейство масштаба местоположения в статистическом пакете или среде программирования, где доступны только функции для «стандартной» версии распределения. Он разработан для R, но должен распространяться на любой язык и библиотеку.

Пример здесь имеет Стьюдента т -распределения , который , как правило , представленный в R только в стандартной форме, с одиночными степенями свободы параметра df. Приведенные ниже версии с _lsдобавлением показывают, как обобщить это до обобщенного t-распределения Стьюдента с произвольным параметром местоположения и параметром muмасштаба sigma.

Обратите внимание, что обобщенные функции не имеют стандартного отклонения, sigmaпоскольку стандартное t- распределение не имеет стандартного отклонения, равного 1.

Рекомендации

внешние ссылки

• http://www.randomservices.org/random/special/LocationScale.html