Π алгоритм Лю Хуэя -Liu Hui's π algorithm

Часть цикла статей о
математическая константа π
3,14159 26535 89793 23846 26433 ...
Использует
Площадь круга Длина окружности Использование в других формулах
Характеристики
Иррациональность Превосходство
Стоимость
Менее 22/7 Приближения Запоминание
Люди
Архимед Лю Хуэй Цзу Чунчжи Арьябхата Мадхава Людольф ван Сеулен Секи Такакадзу Такебе Кенко Уильям Джонс Джон Мачин Уильям Шанкс Шриниваса Рамануджан Джон Ренч Братья Чудновские Yasumasa Kanada
История
Хронология Книга
В культуре
Законодательство День Пи
похожие темы
Квадрат круга Базельская проблема Шесть девяток в π Другие темы, связанные с π
v т е

Алгоритм π Лю Хуэя был изобретен Лю Хуэем (3 век), математиком из Королевства Цао Вэй . До его времени отношение длины окружности к его диаметру в Китае экспериментально часто принималось равным трем, в то время как Чжан Хэн (78–139) представлял его как 3,1724 (из отношения небесного круга к диаметру Земли). , 92/29 ) или как . Лю Хуэй не удовлетворил это значение. Он прокомментировал, что он был слишком большим и превышал отметку. Другой математик Ван Фань (219–257) дал π ≈ 142/45 ≈ 3,156 . Все эти эмпирические значения π были с точностью до двух цифр (то есть до одного десятичного знака). Лю Хуэй был первым китайским математиком, предложившим строгий алгоритм вычисления π с любой точностью. Собственный расчет Лю Хуэя с 96-угольником обеспечил точность до пяти цифр: π ≈ 3,1416 . ${\ displaystyle \ pi \ приблизительно {\ sqrt {10}} \ приблизительно 3,162}$

Лю Хуэй заметил в своем комментарии к «Девяти главам математического искусства» , что отношение длины окружности вписанного шестиугольника к диаметру круга равно трем, следовательно, π должно быть больше трех. Далее он предоставил подробное пошаговое описание итеративного алгоритма вычисления π с любой требуемой точностью на основе деления многоугольников пополам; он вычислил π между 3,141024 и 3,142708 с 96-угольником; он предположил, что 3,14 было достаточно хорошим приближением и выразил π как 157/50; он признал, что это число немного мало. Позже он изобрел гениальный быстрый метод его улучшения и получил π ≈ 3,1416 только с 96-угольником, с точностью, сравнимой с точностью от 1536-угольника. Его наиболее важным вкладом в эту область был его простой итерационный π- алгоритм.

Площадь круга

Лю Хуэй утверждал:

« Умножьте одну сторону шестиугольника на радиус (его описанной окружности), затем умножьте это на три, чтобы получить площадь двенадцатиугольника; если мы разрежем шестиугольник на двенадцатиугольник, умножим его сторону на его радиус, а затем снова умножим на шесть, мы получаем площадь 24-угольника; чем мельче мы разрезаем, тем меньше потери по сравнению с площадью круга th

Кроме того, Лю Хуэй доказал, что площадь круга равна половине его окружности, умноженной на радиус. Он сказал:

« Между многоугольником и кругом есть лишний радиус. Умножьте лишний радиус на сторону многоугольника. Полученная площадь превышает границу круга ».

На диаграмме d = избыточный радиус. Умножение d на одну сторону дает продолговатый ABCD, который выходит за границу круга. Если сторона многоугольника мала (т.е. имеется очень большое количество сторон), то избыточный радиус будет небольшим, следовательно, лишняя площадь будет небольшой.

Как на диаграмме, когда N → ∞ , d → 0 и ABCD → 0 .

« Умножьте сторону многоугольника на его радиус, и площадь удвоится; следовательно, умножьте половину окружности на радиус, чтобы получить площадь круга ».

Когда N → ∞ , половина окружности N -угольника приближается к полукругу, таким образом, половина длины окружности, умноженная на ее радиус, равна площади круга. Лю Хуэй не объяснил подробно этот вывод. Однако это самоочевидно, если использовать «принцип взаимного дополнения» Лю Хуэя, который он представил в другом месте в «Девяти главах математического искусства» : разрезать геометрическую фигуру на части, переставить части, чтобы сформировать другую форму, площадь две формы будут идентичны.

Таким образом, преобразование шести зеленых треугольников, трех синих треугольников и трех красных треугольников в прямоугольник с шириной = 3 L и высотой R показывает, что площадь двенадцатиугольника = 3 RL .

В общем, умножение половины окружности N -угольника на его радиус дает площадь 2 N -угольника. Лю Хуэй неоднократно использовал этот результат в своем π- алгоритме.

Π- неравенство Лю Хуэя

Лю Хуэй доказал неравенство с участием π , рассмотрев площадь вписанных многоугольников с N и 2 N сторонами.

На диаграмме желтая область представляет площадь N -угольника, обозначенного как , а желтая область плюс зеленая область представляет площадь 2 N -угольника, обозначенную . Следовательно, зеленая область представляет собой разницу между площадями 2 N -угольника и N -угольника: ${\ displaystyle A_ {N}}$${\ displaystyle A_ {2N}}$

${\ displaystyle D_ {2N} = A_ {2N} -A_ {N}.}$

Красная область равна зеленой области, и то же самое . Так ${\ displaystyle D_ {2N}}$

Желтая область + зеленая область + красная область = ${\ displaystyle A_ {2N} + D_ {2N}.}$

Позвольте представить площадь круга. Затем ${\ displaystyle A_ {C}}$

${\ displaystyle A_ {2N} <A_ {C} <A_ {2N} + D_ {2N}.}$

Если принять радиус круга равным 1, то мы имеем π- неравенство Лю Хуэя :

${\ displaystyle A_ {2N} <\ pi <A_ {2N} + D_ {2N}.}$

Итерационный алгоритм

Лю Хуэй начал с вписанного шестиугольника. Пусть M - длина одной стороны AB шестиугольника, r - радиус окружности.

Разделите AB пополам с линией OPC , AC становится одной стороной двенадцатиугольника (12-угольника), пусть его длина равна m . Пусть длина PC будет J и длина OP Be G .

AOP , APC - два прямоугольных треугольника. Лю Хуэй неоднократно использовал теорему Пифагора :

${\ displaystyle {} G ^ {2} = r ^ {2} - \ left ({\ tfrac {M} {2}} \ right) ^ {2}}$

${\ displaystyle {} G = {\ sqrt {r ^ {2} - {\ tfrac {M ^ {2}} {4}}}}}$

${\ displaystyle {} j = rG = r - {\ sqrt {r ^ {2} - {\ tfrac {M ^ {2}} {4}}}}}$

${\ displaystyle {} m ^ {2} = \ left ({\ tfrac {M} {2}} \ right) ^ {2} + j ^ {2}}$

${\ displaystyle {} m = {\ sqrt {\ left ({\ tfrac {M} {2}} \ right) ^ {2} + j ^ {2}}}}$

${\ displaystyle {} m = {\ sqrt {\ left ({\ tfrac {M} {2}} \ right) ^ {2} + \ left (rG \ right) ^ {2}}}}$

${\ displaystyle {} m = {\ sqrt {\ left ({\ tfrac {M} {2}} \ right) ^ {2} + \ left (r - {\ sqrt {r ^ {2}) - {\ tfrac {M ^ {2}} {4}}}} \ right) ^ {2}}}}$

Отсюда теперь есть метод определения m из M , который дает длину стороны многоугольника с удвоенным числом ребер. Начав с шестиугольника , Лю Хуэй мог определить длину стороны двенадцатиугольника по этой формуле. Затем продолжайте повторять несколько раз, чтобы определить длину стороны икоситетракона с учетом длины стороны двенадцатиугольника. Он мог делать это рекурсивно столько раз, сколько необходимо. Зная, как определить площадь этих многоугольников, Лю Хуэй мог приблизительно вычислить π .

С единицами он получил ${\ displaystyle r = 10}$

площадь 48-угольника ${\ displaystyle {} A_ {96} = 313 {584 \ over 625}}$

площадь 96-угольника ${\ displaystyle {} A_ {192} = 314 {64 \ более 625}}$

Разница 96-угольников и 48-угольников:

${\ displaystyle {} D_ {192} = 314 {\ frac {64} {625}} - 313 {\ frac {584} {625}} = {\ frac {105} {625}}}$

из π- неравенства Лю Хуэя :

${\ displaystyle A_ {2N} <A_ {C} <A_ {2N} + D_ {2N}.}$

Поскольку r = 10,${\ displaystyle A_ {C} = 100 \ times \ pi}$

следовательно:

${\ displaystyle {} 314 {\ frac {64} {625}} <100 \ times \ pi <314 {\ frac {64} {625}} + {\ frac {105} {625}}}$

${\ displaystyle {} 314 {\ frac {64} {625}} <100 \ times \ pi <314 {\ frac {169} {625}}}$

${\ displaystyle {} 3,141024 <\ pi <3,142704.}$

Он никогда не принимал π как среднее значение нижнего предела 3,141024 и верхнего предела 3,142704. Вместо этого он предположил, что 3,14 было достаточно хорошим приближением для π , и выразил его в виде дроби ; он указал, что это число немного меньше фактического значения π . ${\ displaystyle {\ tfrac {157} {50}}}$

Лю Хуэй провел свои вычисления с помощью стержневого исчисления и выразил свои результаты с помощью дробей. Однако итерационный характер π- алгоритма Лю Хуэя довольно ясен:

${\ Displaystyle 2-м ^ {2} = {\ sqrt {2+ (2-M ^ {2})}} \ ,,}$

в котором м длина одной стороны многоугольника следующего порядка надвое из М . Один и тот же расчет выполняется многократно, на каждом этапе требуется только одно сложение и одно извлечение квадратного корня.

Быстрый метод

Вычисление квадратных корней из иррациональных чисел было непростой задачей в третьем веке с помощью счетных стержней . Лю Хуэй обнаружил сокращение, сравнивая разность площадей многоугольников, и обнаружил, что доля разницы в площади многоугольников последовательного порядка составляет примерно 1/4.

Обозначим через D _N разность площадей N -угольника и ( N / 2) -угольника.

${\ Displaystyle D_ {N} = A_ {N} -A_ {N / 2} \,}$

Он нашел:

${\ displaystyle D_ {96} \ приблизительно {\ tfrac {1} {4}} D_ {48}}$

${\ displaystyle D_ {192} \ приблизительно {\ tfrac {1} {4}} D_ {96}}$

Следовательно:

${\ displaystyle {\ begin {align} D_ {384} & {} \ приблизительно {\ tfrac {1} {4}} D_ {192} \\ D_ {768} & {} \ приблизительно \ left ({\ tfrac { 1} {4}} \ right) ^ {2} D_ {192} \\ D_ {1536} & {} \ приблизительно \ left ({\ tfrac {1} {4}} \ right) ^ {3} D_ { 192} \\ D_ {3072} & {} \ приблизительно \ left ({\ tfrac {1} {4}} \ right) ^ {4} D_ {192} \\ & {} \ \ \ vdots \ end {выровнено }}}$

Площадь единичного радиуса круга =

${\ displaystyle {} \ pi = A_ {192} + D_ {384} + D_ {768} + D_ {1536} + D_ {3072} + \ cdots \ приблизительно A_ {192} + F \ cdot D_ {192}. \,}$

В котором

${\ Displaystyle F = {\ tfrac {1} {4}} + \ left ({\ tfrac {1} {4}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {1} {4}} \ right) ^ {3} + \ left ({\ tfrac {1} {4}} \ right) ^ {4} + \ cdots = {\ frac {\ frac {1} {4}} {1 - {\ frac {1} {4}}}} = {\ tfrac {1} {3}}.}$

То есть все последующие лишние площади в сумме составляют одну треть от ${\ displaystyle D_ {192}}$

площадь единичного круга${\ displaystyle {} = \ pi \ приблизительно A_ {192} + \ left ({\ tfrac {1} {3}} \ right) D_ {192} \ приблизительно {3927 \ более 1250} \ приблизительно 3,1416. \,}$

Лю Хуэй был вполне доволен этим результатом, потому что он получил тот же результат при вычислении 1536-угольника, получив площадь 3072-угольника. Это объясняет четыре вопроса:

1. Почему он остановился на А ₁₉₂ в презентации своего алгоритма. Потому что он открыл быстрый метод повышения точности π , достигнув того же результата с 1536-угольником только с 96-угольником. В конце концов, вычисление квадратных корней было непростой задачей со стержневым исчислением . Используя быстрый метод, ему нужно было только выполнить еще одно вычитание, еще одно деление (на 3) и еще одно сложение вместо четырех дополнительных извлечений квадратного корня.
2. Почему он предпочел вычислять π путем вычисления площадей, а не окружностей последовательных многоугольников, потому что быстрый метод требовал информации о разнице в площадях последовательных многоугольников.
3. Кто был истинным автором параграфа, содержащего расчет ${\ displaystyle \ pi = {3927 \ более 1250}.}$
4. Этот знаменитый абзац начинается со слов «Бронзовый контейнер династии Хань на военном складе династии Цзинь …». Многие ученые, в том числе Ёсио Миками и Джозеф Нидхэм , полагали, что абзац «Бронзовый контейнер династии Хань» был работой Лю Хуэя, а не Цзу Чунчжи, как полагали другие, из-за сильной корреляции этих двух методов при вычислении площади, а также из-за того, что не было ни единого слова, упоминающего результат Зу 3,1415926 < π <3,1415927, полученный через 12288-гон.

Более поздние разработки

Лю Хуэй разработал надежный алгоритм вычисления π с любой точностью.

• Цзу Чунчжи был знаком с работами Лю Хуэя и получил большую точность, применив свой алгоритм к 12288-угольнику.

Из формулы Лю Хуэя для 2 N -угольников:

${\ displaystyle A_ {2N} = m_ {N} \ times r}$

Для 12288-угольника, вписанного в круг единичного радиуса:

${\ displaystyle A_ {24576} = 3,14159261864 <\ pi}$.

Из π- неравенства Лю Хуэя :

${\ displaystyle A_ {24576} <\ pi <A_ {24576} + D_ {24576}}$

В котором ${\ displaystyle D_ {24576} = A_ {24576} -A_ {12288} = 0,0000001021}$

${\ displaystyle A_ {24576} = 3,14159261864 <\ pi <3,14159261864 + 0,0000001021}$.

Следовательно

${\ displaystyle 3.14159261864 <\ pi <3.141592706934}$

Усечено до восьми значащих цифр:

${\ displaystyle 3.1415926 <\ pi <3.1415927}$.

Это было знаменитое π- неравенство Цзу Чунчжи .

Цз Чунчжи затем используют формулу интерполяции He Chengtian (何承天, 370-447) и получила фракцию , приближающуюся: . ${\ displaystyle \ pi \ приблизительно {355 \ более 113}}$

Однако это значение π исчезло в истории Китая на долгое время (например, математик из династии Сун Цинь Цзюшао использовал π = и ), пока математик из династии Юань Чжао Юйцинь не работал над вариантом π- алгоритма Лю Хуэя, разделив пополам вписанный квадрат и получено снова${\ displaystyle {22 \ более 7}}$${\ displaystyle \ pi = {\ sqrt {10}})}$${\ displaystyle \ pi \ приблизительно {355 \ более 113}.}$

Значение алгоритма Лю Хуэя

Π- алгоритм Лю Хуэя был одним из его самых важных вкладов в древнекитайскую математику. Он был основан на вычислении площади N -угольника, в отличие от алгоритма Архимеда, основанного на окружности многоугольника. С помощью этого метода Цзу Чунчжи получил восьмизначный результат: 3,1415926 < π <3,1415927, который удерживал мировой рекорд по наиболее точному значению π в течение 1200 лет, даже к 1600 году в Европе, голландский математик Адриан Антонис и его сын получили π значение 3,1415929, с точностью до 7 цифр.

Смотрите также

• Метод истощения
• Алгоритм π Чжао Юциня

Примечания

^ 1 Правильное значение: 0,2502009052

^ 2 Правильные значения:

${\ displaystyle A_ {192} = 3,1410319509}$

${\ displaystyle D_ {192} = 0,0016817478}$

${\ displaystyle \ pi \ приблизительно A_ {192} + {\ frac {1} {3}} D_ {192} \ приблизительно 3.1410319509 + 0.0016817478 / 3}$

${\ displaystyle \ pi \ приблизительно 3,1410319509 + 0,0005605826}$

${\ displaystyle \ pi \ приблизительно 3,1415925335.}$

Быстрый метод Лю Хуэя потенциально мог дать почти такой же результат: 12288-угольник (3,141592516588) только с 96-угольником.

использованная литература

дальнейшее чтение

• Нидхэм, Джозеф (1986). Наука и цивилизация в Китае : Том 3, Математика и науки о небесах и Земле. Тайбэй: Caves Books, Ltd.
• У Вэньцзюнь изд., История китайской математики Том III (на китайском языке) ISBN  7-303-04557-0