Список формул, содержащих π -List of formulae involving π

Часть цикла статей о
математическая константа π
3,14159 26535 89793 23846 26433 ...
Использует
Площадь круга Длина окружности Использование в других формулах
Характеристики
Иррациональность Превосходство
Ценить
Менее 22/7 Приближения Запоминание
Люди
Архимед Лю Хуэй Цзу Чунчжи Арьябхата Мадхава Людольф ван Сеулен Секи Такакадзу Такебе Кенко Уильям Джонс Джон Мачин Уильям Шанкс Шриниваса Рамануджан Джон Ренч Братья Чудновские Yasumasa Kanada
История
Хронология Книга
В культуре
Законодательство День Пи
похожие темы
Квадрат круга Базельская проблема Шесть девяток в π Другие темы, связанные с π
v т е

Ниже приводится список важных формул, включающих математическую константу π . Многие из этих формул можно найти в статье Pi или в статье Приближения π .

Евклидова геометрия

${\ displaystyle \ pi = {\ frac {C} {d}}}$

где С представляет собой окружность из круга , д является диаметром .

${\ Displaystyle А = \ пи г ^ {2}}$

где A - площадь круга, а r - радиус .

${\ Displaystyle V = {4 \ более 3} \ pi r ^ {3}}$

где V - объем сферы, а r - радиус.

${\ Displaystyle SA = 4 \ pi r ^ {2}}$

где SA - площадь поверхности сферы, а r - радиус.

${\ displaystyle H = {1 \ over 2} \ pi ^ {2} r ^ {4}}$

где H - гиперобъем трехмерной сферы, а r - радиус.

${\ Displaystyle SV = 2 \ pi ^ {2} г ^ {3}}$

где SV - объем поверхности 3-сферы, а r - радиус.

Физика

• Космологическая постоянная :

${\ displaystyle \ Lambda = {{8 \ pi G} \ over {3c ^ {2}}} \ rho}$

• Принцип неопределенности Гейзенберга :

${\ displaystyle \ Delta x \, \ Delta p \ geq {\ frac {h} {4 \ pi}}}$

• Поле уравнения Эйнштейна в общей теории относительности :

${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ {4 }} Т _ {\ mu \ nu}}$

• Закон Кулона для электрической силы в вакууме:

${\ displaystyle F = {\ frac {| q_ {1} q_ {2} |} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r ^ {2}}}}$

• Магнитная проницаемость свободного пространства :

${\ displaystyle \ mu _ {0} \ приблизительно 4 \ pi \ cdot 10 ^ {- 7} \, \ mathrm {N} / \ mathrm {A} ^ {2}}$

• Период простого маятника с малой амплитудой:

${\ displaystyle T \ приблизительно 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {L} {g}}}}$

• Третий закон движения планет Кеплера :

${\ displaystyle {\ frac {R ^ {3}} {T ^ {2}}} = {\ frac {GM} {4 \ pi ^ {2}}}}$

• Формула потери устойчивости :

${\ Displaystyle F = {\ гидроразрыва {\ pi ^ {2} EI} {L ^ {2}}}}$

Формулы, дающие π

Интегралы

${\ displaystyle 2 \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \, dx = \ pi}$(объединяя две половины, чтобы получить площадь круга радиуса )${\ Displaystyle у (х) = {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}}$${\ displaystyle r = 1}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {sech} (x) \, dx = \ pi}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {t} ^ {\ infty} e ^ {- 1 / 2t ^ {2} -x ^ {2} + xt} \, dx \, dt = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {t} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ {2} -1 / 2x ^ {2} + xt} \, dx \, dt = \ pi}$

${\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} = \ pi}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}} = \ pi}$(интегральная форма арктана по всей его области, дающая период загара ).

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ pi}}}$(см. интеграл Гаусса ).

${\ displaystyle \ oint {\ frac {dz} {z}} = 2 \ pi i}$(когда путь интегрирования один раз наматывается против часовой стрелки вокруг 0. См. также интегральную формулу Коши ).

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ ln \ left (1 + {\ frac {1} {x ^ {2}}} \ right) \, dx = \ pi}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, dx = \ pi}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {x ^ {4} (1-x) ^ {4} \ over 1 + x ^ {2}} \, dx = {22 \ over 7} - \ Пи }$(см. также Доказательство того, что 22/7 превосходит π ).

Обратите внимание, что с симметричными подынтегральными выражениями формулы вида также можно преобразовать в формулы . ${\ Displaystyle f (-x) = f (x)}$${\ displaystyle \ int _ {- a} ^ {a} f (x) \, dx}$${\ displaystyle 2 \ int _ {0} ^ {a} f (x) \, dx}$

Эффективная бесконечная серия

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k!} {(2k + 1) !!}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {k} k! ^ {2}} {(2k + 1)!}} = {\ Frac {\ pi} {2}}}$(см. также Двойной факториал )

${\ displaystyle 12 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} (6k)! (13591409 + 545140134k)} {(3k)! (k!) ^ { 3} 640320 ^ {3k + 3/2}}} = {\ frac {1} {\ pi}}}$(см. алгоритм Чудновского )

${\ displaystyle {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(4k)! (1103 + 26390k)} {(k !) ^ {4} 396 ^ {4k}}} = {\ frac {1} {\ pi}}}$(см. Шриниваса Рамануджана , серия Рамануджана – Сато )

Следующие действия эффективны для вычисления произвольных двоичных цифр числа π :

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {4 ^ {k}}} \ left ({\ frac {2} {4k + 1 }} + {\ frac {2} {4k + 2}} + {\ frac {1} {4k + 3}} \ right) = \ pi}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {16 ^ {k}}} \ left ({\ frac {4} {8k + 1}} - {\ frac { 2} {8k + 4}} - {\ frac {1} {8k + 5}} - {\ frac {1} {8k + 6}} \ right) = \ pi}$(см. формулу Бейли – Борвейна – Плуфа )

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 ^ {6}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {{(-1)} ^ {n}} {2 ^ {10n }}} \ left (- {\ frac {2 ^ {5}} {4n + 1}} - {\ frac {1} {4n + 3}} + {\ frac {2 ^ {8}} {10n + 1}} - {\ frac {2 ^ {6}} {10n + 3}} - {\ frac {2 ^ {2}} {10n + 5}} - {\ frac {2 ^ {2}} {10n +7}} + {\ frac {1} {10n + 9}} \ right) = \ pi}$

Ряд Плуффа для вычисления произвольных десятичных цифр числа π :

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k {\ frac {2 ^ {k} k! ^ {2}} {(2k)!}} = \ pi +3}$

Другая бесконечная серия

${\ displaystyle \ zeta (2) = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2 }}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$   (см. также задачу Базеля и дзета-функцию Римана )

${\ displaystyle \ zeta (4) = {\ frac {1} {1 ^ {4}}} + {\ frac {1} {2 ^ {4}}} + {\ frac {1} {3 ^ {4 }}} + {\ frac {1} {4 ^ {4}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {4}} {90}}}$

${\ displaystyle \ zeta (2n) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {2n}}} \, = {\ frac {1} {1 ^ {2n }}} + {\ frac {1} {2 ^ {2n}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2n}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2n}}} + \ cdots = (- 1) ^ {n + 1} {\ frac {B_ {2n} (2 \ pi) ^ {2n}} {2 (2n)!}}}$, где B _{2 n} - число Бернулли .

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {3 ^ {n} -1} {4 ^ {n}}} \, \ zeta (n + 1) = \ pi}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} = 1 - {\ frac {1} {3}} + { \ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} - \ cdots = \ arctan {1} = {\ frac {\ pi} {4 }}}$   (см. формулу Лейбница для числа пи )

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {3 ^ {n} (2n + 1)}} = 1 - {\ frac {1 } {3 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {3 ^ {2} \ cdot 5}} - {\ frac {1} {3 ^ {3} \ cdot 7}} + {\ frac {1 } {3 ^ {4} \ cdot 9}} - \ cdots = {\ sqrt {3}} \ arctan {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} = {\ frac {\ pi} {\ sqrt {12}}}}$( Серия Мадхава )

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ { 2}}} - {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} - {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {2}} {12}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n) ^ {2}}} = {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + {\ frac {1} {6 ^ {2}}} + {\ frac {1} {8 ^ {2}}} + \ cdots = {\ frac { \ pi ^ {2}} {24}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} \ right) ^ {2} = {\ frac { 1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {5 ^ {2}}} + {\ frac {1} {7 ^ {2}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {2}} {8}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} \ right) ^ {3} = {\ frac { 1} {1 ^ {3}}} - {\ frac {1} {3 ^ {3}}} + {\ frac {1} {5 ^ {3}}} - {\ frac {1} {7 ^ {3}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {3}} {32}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} \ right) ^ {4} = {\ frac { 1} {1 ^ {4}}} + {\ frac {1} {3 ^ {4}}} + {\ frac {1} {5 ^ {4}}} + {\ frac {1} {7 ^ {4}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {4}} {96}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} \ right) ^ {5} = {\ frac { 1} {1 ^ {5}}} - {\ frac {1} {3 ^ {5}}} + {\ frac {1} {5 ^ {5}}} - {\ frac {1} {7 ^ {5}}} + \ cdots = {\ frac {5 \ pi ^ {5}} {1536}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} \ right) ^ {6} = {\ frac { 1} {1 ^ {6}}} + {\ frac {1} {3 ^ {6}}} + {\ frac {1} {5 ^ {6}}} + {\ frac {1} {7 ^ {6}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {6}} {960}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ binom {\ frac {1} {2}} {n}} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1 }} = 1 - {\ frac {1} {6}} - {\ frac {1} {40}} - \ cdots = {\ frac {\ pi} {4}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(4n + 1) (4n + 3)}} = {\ frac {1} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {5 \ cdot 7}} + {\ frac {1} {9 \ cdot 11}} + \ cdots = {\ frac {\ pi} {8}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {(n ^ {2} + n) / 2 + 1} \ left | G _ {\ left ((- 1) ^ { n + 1} + 6n-3 \ right) / 4} \ right | = | G_ {1} | + | G_ {2} | - | G_ {4} | - | G_ {5} | + | G_ {7 } | + | G_ {8} | - | G_ {10} | - | G_ {11} | + \ cdots = {\ frac {\ sqrt {3}} {\ pi}}}$(см. коэффициенты Грегори )

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(1/2) _ {n} ^ {2}} {2 ^ {n} n! ^ {2}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {n (1/2) _ {n} ^ {2}} {2 ^ {n} n! ^ {2}}} = {\ frac {1 }{\Пи }}}$(где это растет факториала )${\ Displaystyle (х) _ {п}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1) (2n + 1)}} = \ pi -3 }$( Серия Nilakantha )

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {F_ {2n}} {n ^ {2} {\ binom {2n} {n}}}} = {\ frac {4 \ пи ^ {2}} {25 {\ sqrt {5}}}}}$(где это п -го числа Фибоначчи )${\ displaystyle F_ {n}}$

${\ displaystyle \ pi = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {\ varepsilon (n)}} {n}} = 1 + {\ frac {1} { 2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} - {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {9}} - {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {11 }} + {\ frac {1} {12}} - {\ frac {1} {13}} + \ cdots}$   (где это число простых множителей вида из ; Эйлера , 1748)${\ Displaystyle \ varepsilon (п)}$${\ Displaystyle п \ эквив 1 \, (\ mathrm {mod} \, 4)}$${\ displaystyle n}$

Некоторые формулы , связывающие pi ; и гармонические числа приведены здесь .

Машинные формулы

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ arctan 1}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ arctan {\ frac {1} {2}} + \ arctan {\ frac {1} {3}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 2 \ arctan {\ frac {1} {2}} - \ arctan {\ frac {1} {7}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 2 \ arctan {\ frac {1} {3}} + \ arctan {\ frac {1} {7}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}}$(исходная формула Мачина )

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 5 \ arctan {\ frac {1} {7}} + 2 \ arctan {\ frac {3} {79}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 6 \ arctan {\ frac {1} {8}} + 2 \ arctan {\ frac {1} {57}} + \ arctan {\ frac {1 } {239}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 12 \ arctan {\ frac {1} {49}} + 32 \ arctan {\ frac {1} {57}} - 5 \ arctan {\ frac { 1} {239}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {110443}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 44 \ arctan {\ frac {1} {57}} + 7 \ arctan {\ frac {1} {239}} - 12 \ arctan {\ frac { 1} {682}} + 24 \ arctan {\ frac {1} {12943}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ arctan {\ frac {1} {F_ {2n + 1}}} = \ arctan {\ frac {1} {1}} + \ arctan {\ frac {1} {2}} + \ arctan {\ frac {1} {5}} + \ arctan {\ frac {1} {13}} + \ cdots }$

где это п -м числом Фибоначчи . ${\ displaystyle F_ {n}}$

Бесконечная серия

Некоторые бесконечные серии с участием π:

${\ displaystyle \ pi = {\ frac {1} {Z}}}$	${\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {((2n)!) ^ {3} (42n + 5)} {(n!) ^ {6} {16} ^ {3n + 1}}}}$
${\ displaystyle \ pi = {\ frac {4} {Z}}}$	${\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} (4n)! (21460n + 1123)} {(n!) ^ {4} { 441} ^ {2n + 1} {2} ^ {10n + 1}}}}$
${\ displaystyle \ pi = {\ frac {4} {Z}}}$	${\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(6n + 1) \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) _ {n} ^ {3 }} {{4 ^ {n}} (п!) ^ {3}}}}$
${\ displaystyle \ pi = {\ frac {32} {Z}}}$	${\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {2}} \ right) ^ {8n} {\ frac { (42n {\ sqrt {5}} + 30n + 5 {\ sqrt {5}} - 1) \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) _ {n} ^ {3}} {{ 64 ^ {n}} (n!) ^ {3}}}}$
${\ displaystyle \ pi = {\ frac {27} {4Z}}}$	${\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {2} {27}} \ right) ^ {n} {\ frac {(15n + 2) \ left ( {\ frac {1} {2}} \ right) _ {n} \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) _ {n} \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) _ {n}} {(n!) ^ {3}}}}$
${\ displaystyle \ pi = {\ frac {15 {\ sqrt {3}}} {2Z}}}$	${\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {4} {125}} \ right) ^ {n} {\ frac {(33n + 4) \ left ( {\ frac {1} {2}} \ right) _ {n} \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) _ {n} \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) _ {n}} {(n!) ^ {3}}}}$
${\ displaystyle \ pi = {\ frac {85 {\ sqrt {85}}} {18 {\ sqrt {3}} Z}}}$	${\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {4} {85}} \ right) ^ {n} {\ frac {(133n + 8) \ left ( {\ frac {1} {2}} \ right) _ {n} \ left ({\ frac {1} {6}} \ right) _ {n} \ left ({\ frac {5} {6}} \ right) _ {n}} {(п!) ^ {3}}}}$
${\ displaystyle \ pi = {\ frac {5 {\ sqrt {5}}} {2 {\ sqrt {3}} Z}}}$	${\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {4} {125}} \ right) ^ {n} {\ frac {(11n + 1) \ left ( {\ frac {1} {2}} \ right) _ {n} \ left ({\ frac {1} {6}} \ right) _ {n} \ left ({\ frac {5} {6}} \ right) _ {n}} {(п!) ^ {3}}}}$
${\ displaystyle \ pi = {\ frac {2 {\ sqrt {3}}} {Z}}}$	${\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(8n + 1) \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) _ {n} \ left ( {\ frac {1} {4}} \ right) _ {n} \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) _ {n}} {(n!) ^ {3} {9} ^ {n}}}}$
${\ displaystyle \ pi = {\ frac {\ sqrt {3}} {9Z}}}$	${\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(40n + 3) \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) _ {n} \ left ( {\ frac {1} {4}} \ right) _ {n} \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) _ {n}} {(n!) ^ {3} {49} ^ {2n + 1}}}}$
${\ displaystyle \ pi = {\ frac {2 {\ sqrt {11}}} {11Z}}}$	${\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(280n + 19) \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) _ {n} \ left ( {\ frac {1} {4}} \ right) _ {n} \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) _ {n}} {(n!) ^ {3} {99} ^ {2n + 1}}}}$
${\ displaystyle \ pi = {\ frac {\ sqrt {2}} {4Z}}}$	${\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(10n + 1) \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) _ {n} \ left ( {\ frac {1} {4}} \ right) _ {n} \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) _ {n}} {(n!) ^ {3} {9} ^ {2n + 1}}}}$
${\ displaystyle \ pi = {\ frac {4 {\ sqrt {5}}} {5Z}}}$	${\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(644n + 41) \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) _ {n} \ left ( {\ frac {1} {4}} \ right) _ {n} \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) _ {n}} {(n!) ^ {3} 5 ^ { п} {72} ^ {2n + 1}}}}$
${\ displaystyle \ pi = {\ frac {4 {\ sqrt {3}}} {3Z}}}$	${\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} (28n + 3) \ left ({\ frac {1} {2}} \ right ) _ {n} \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) _ {n} \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) _ {n}} {(n! ) ^ {3} {3 ^ {n}} {4} ^ {n + 1}}}}$
${\ displaystyle \ pi = {\ frac {4} {Z}}}$	${\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} (20n + 3) \ left ({\ frac {1} {2}} \ right ) _ {n} \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) _ {n} \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) _ {n}} {(n! ) ^ {3} {2} ^ {2n + 1}}}}$
${\ displaystyle \ pi = {\ frac {72} {Z}}}$	${\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} (4n)! (260n + 23)} {(n!) ^ {4} 4 ^ {4n} 18 ^ {2n}}}}$
${\ displaystyle \ pi = {\ frac {3528} {Z}}}$	${\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} (4n)! (21460n + 1123)} {(n!) ^ {4} 4 ^ {4n} 882 ^ {2n}}}}$

где - символ Поххаммера для восходящего факториала. См. Также серию Рамануджана – Сато . ${\ Displaystyle (х) _ {п}}$

Бесконечные продукты

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ left (\ prod _ {p \ Equiv 1 {\ pmod {4}}} {\ frac {p} {p-1}} \ right) \ cdot \ left (\ prod _ {p \ Equiv 3 {\ pmod {4}}} {\ frac {p} {p + 1}} \ right) = {\ frac {3} {4}} \ cdot {\ гидроразрыв {5} {4}} \ cdot {\ frac {7} {8}} \ cdot {\ frac {11} {12}} \ cdot {\ frac {13} {12}} \ cdots,}$ (Эйлер)

где числители - нечетные простые числа; каждый знаменатель кратен четырем ближайшим к числителю.

${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {3}} \ pi} {6}} = \ left (\ displaystyle \ prod _ {p \ Equiv 1 {\ pmod {6}} \ atop p \ in \ mathbb { P}} {\ frac {p} {p-1}} \ right) \ cdot \ left (\ displaystyle \ prod _ {p \ Equiv 5 {\ pmod {6}} \ на вершине p \ in \ mathbb {P} } {\ frac {p} {p + 1}} \ right) = {\ frac {5} {6}} \ cdot {\ frac {7} {6}} \ cdot {\ frac {11} {12} } \ cdot {\ frac {13} {12}} \ cdot {\ frac {17} {18}} \ cdots,}$

${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2} -1}} = {\ frac {2} {1}} \ cdot { \ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} \ cdots = {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac { 16} {15}} \ cdot {\ frac {36} {35}} \ cdot {\ frac {64} {63}} \ cdots = {\ frac {\ pi} {2}}}$(см. также продукт Wallis )

Формула Вьете :

${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt { 2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} {2}} \ cdot \ cdots = {\ frac {2} {\ pi}}}$

Формула двойного бесконечного произведения, включающая последовательность Туэ-Морса :

${\ displaystyle \ prod _ {m \ geq 1} \ prod _ {n \ geq 1} \ left ({\ frac {(4m ^ {2} + n-2) (4m ^ {2} + 2n-1) ^ {2}} {4 (2m ^ {2} + n-1) (4m ^ {2} + n-1) (2m ^ {2} + n)}} \ right) ^ {\ epsilon _ {n }} = {\ frac {\ pi} {2}},}$

где и - последовательность Туэ-Морса ( Tóth 2020 ).${\ displaystyle \ epsilon _ {n} = (- 1) ^ {t_ {n}}}$${\ displaystyle t_ {n}}$

Формулы арктангенса

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2 ^ {k + 1}}} = \ arctan {\ frac {\ sqrt {2-a_ {k-1}}} {a_ {k}}}, \ qquad \ qquad k \ geq 2}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ sum _ {k \ geq 2} \ arctan {\ frac {\ sqrt {2-a_ {k-1}}} {a_ {k}}} ,}$

где такое что . ${\ displaystyle a_ {k} = {\ sqrt {2 + a_ {k-1}}}}$${\ displaystyle a_ {1} = {\ sqrt {2}}}$

${\ displaystyle \ pi = \ arctan a + \ arctan b + \ arctan c}$

всякий раз , когда и , , положительные действительные числа (см Список тригонометрические тождества ). Особый случай ${\ displaystyle a + b + c = abc}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle \ pi = \ arctan 1+ \ arctan 2+ \ arctan 3.}$

Непрерывные дроби

${\ Displaystyle \ pi = {3 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {5 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {7 ^ {2}} {6+ \ ddots \,}}}}}}}}}}$

${\ displaystyle \ pi = {\ cfrac {4} {1 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {3 + {\ cfrac {2 ^ {2}} {5 + {\ cfrac {3 ^ {2}} } {7 + {\ cfrac {4 ^ {2}} {9+ \ ddots}}}}}}}}}}}$

${\ displaystyle \ pi = {\ cfrac {4} {1 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {2 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {2 + {\ cfrac {5 ^ {2}} } {2 + {\ cfrac {7 ^ {2}} {2+ \ ddots}}}}}}}}}}}$

${\ displaystyle 2 \ pi = {6 + {\ cfrac {2 ^ {2}} {12 + {\ cfrac {6 ^ {2}} {12 + {\ cfrac {10 ^ {2}} {12+ { \ cfrac {14 ^ {2}} {12 + {\ cfrac {18 ^ {2}} {12+ \ ddots}}}}}}}}}}}}$

Для получения дополнительной информации о третьем тождестве см . Формулу непрерывной дроби Эйлера .

(См. Также Непрерывная дробь и Обобщенная непрерывная дробь .)

Разное

${\ displaystyle n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n}}$( Приближение Стирлинга )

${\ Displaystyle е ^ {я \ pi} + 1 = 0}$( Тождество Эйлера )

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ varphi (k) \ sim {\ frac {3n ^ {2}} {\ pi ^ {2}}}}$(см . функцию Эйлера )

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ varphi (k)} {k}} \ sim {\ frac {6n} {\ pi ^ {2}}}}$(см . функцию Эйлера )

${\ Displaystyle \ pi = \ mathrm {B} (1/2,1 / 2) = \ Gamma (1/2) ^ {2}}$(см. также бета-функцию и гамма-функцию )

${\ displaystyle \ pi = {\ frac {\ Gamma (3/4) ^ {4}} {\ operatorname {agm} (1,1 / {\ sqrt {2}}) ^ {2}}} = {\ frac {\ Gamma \ left ({1/4} \ right) ^ {4/3} \ operatorname {agm} (1, {\ sqrt {2}}) ^ {2/3}} {2}}}$(где agm - среднее арифметико-геометрическое )

${\ displaystyle \ pi = \ operatorname {agm} \ left (\ theta _ {2} ^ {2} (1 / e), \ theta _ {3} ^ {2} (1 / e) \ right)}$(где и - тета-функции Якоби )${\ displaystyle \ theta _ {2}}$${\ displaystyle \ theta _ {3}}$

${\ displaystyle \ pi = - {\ frac {\ operatorname {K} (k)} {\ operatorname {K} \ left ({\ sqrt {1-k ^ {2}}} \ right)}} \ ln q , \ quad k = {\ frac {\ theta _ {2} ^ {2} (q)} {\ theta _ {3} ^ {2} (q)}}}$(где  и - полный эллиптический интеграл первого рода с модулем , отражающий задачу обращения ном- модуля)${\ Displaystyle д \ в (0,1)}$${\ displaystyle \ operatorname {K} (k)}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle \ pi = - {\ frac {\ operatorname {agm} \ left (1, {\ sqrt {1-k '^ {2}}} \ right)} {\ operatorname {agm} (1, k' )}} \ ln q, \ quad k '= {\ frac {\ theta _ {4} ^ {2} (q)} {\ theta _ {3} ^ {2} (q)}}}$(где )${\ Displaystyle д \ в (0,1)}$

${\ displaystyle \ operatorname {agm} (1, {\ sqrt {2}}) = {\ frac {\ pi} {\ varpi}}}$(из - за Гаусс , является постоянной лемнискатой )${\ displaystyle \ varpi}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} (n {\ bmod {k}}) = 1 - {\ frac {\ pi ^ {2}} {12}}}$(где - остаток от деления n на  k )${\ textstyle п {\ bmod {k}}}$

${\ displaystyle \ pi = \ lim _ {r \ to \ infty} {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ sum _ {x = -r} ^ {r} \; \ sum _ {y = -r} ^ {r} {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ leq r \\ 0 & {\ text {если }} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}> r \ end {case}}}$ (суммируя площадь круга)

${\ displaystyle \ pi = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {4} {n ^ {2}}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ sqrt {n ^ {2 } -k ^ {2}}}}$( Сумма Римана для оценки площади единичного круга)

${\ displaystyle \ pi = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {2 ^ {4n}} {n {2n \ choose n} ^ {2}}} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty } {\ frac {1} {n}} \ left ({\ frac {(2n) !!} {(2n-1) !!}} \ right) ^ {2}}$(по приближению Стирлинга )

${\ displaystyle a_ {0} = 1, \, a_ {n + 1} = \ left (1 + {\ frac {1} {2n + 1}} \ right) a_ {n}, \, \ pi = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n} ^ {2}} {n}}}$ (форма повторения приведенной выше формулы)

${\ displaystyle a_ {1} = 0, \, a_ {n + 1} = {\ sqrt {2 + a_ {n}}}, \, \ pi = \ lim _ {n \ to \ infty} 2 ^ { n} {\ sqrt {2-a_ {n}}}}$ (тесно связан с формулой Виэта)

${\ displaystyle a_ {1} = 1, \, a_ {n + 1} = a_ {n} + \ sin a_ {n}, \, \ pi = \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} }$ (кубическая сходимость)

${\ displaystyle a_ {0} = 2 {\ sqrt {3}}, \, b_ {0} = 3, \, a_ {n + 1} = \ operatorname {hm} (a_ {n}, b_ {n}) ), \, b_ {n + 1} = \ operatorname {gm} (a_ {n + 1}, b_ {n}), \, \ pi = \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n}}$( Архимеда алгоритм, см также среднее гармоническое и среднее геометрическое )

Смотрите также

• Список математических тождеств  - статья со списком в Википедии
• Списки тем по математике  - статья со списком в Википедии
• Список тригонометрических тождеств  - Равенства, включающие тригонометрические функции
• Список тем, связанных с π  - статья со списком Википедии
• Список представительств е

использованная литература

• Тот, Ласло (2020), «Трансцендентные бесконечные произведения, связанные с + -1 последовательностью Туэ-Морса» (PDF) , Журнал целочисленных последовательностей , 23 : 20.8.2, arXiv : 2009.02025.

дальнейшее чтение

• Питер Борвейн, Удивительное число Пи
• Казуя Като, Нобусигэ Курокава, Сайто Такеши: Теория чисел 1: Мечта Ферма. Американское математическое общество, Провиденс 1993, ISBN  0-8218-0863-X .