Модуль (математика) - Module (mathematics)

В математике , модуль является одним из основных алгебраических структур , используемых в абстрактной алгебре . Модуль над кольцом является обобщением понятия векторного пространства над полем , в котором скаляры являются элементами данного кольца , и операция называется скалярное умножение определяются между элементами кольца и элементами модуля. Модуль, выводящий свои скаляры из кольца R , называется R -модулем.

Подобно векторному пространству, модуль является аддитивной абелевой группой , а скалярное умножение распределительно по операции сложения между элементами кольца или модуля и совместимо с кольцевым умножением.

Модули очень тесно связаны с теорией представлений групп . Они также являются одним из центральных понятий коммутативной алгебры и гомологической алгебры и широко используются в алгебраической геометрии и алгебраической топологии .

Введение и определение

Мотивация

В векторном пространстве набор скаляров является полем и действует на векторы путем скалярного умножения в соответствии с некоторыми аксиомами, такими как закон распределения . В модуле скаляры должны быть только кольцом , поэтому концепция модуля представляет собой существенное обобщение. В коммутативной алгебре и идеалы, и фактор-кольца являются модулями, так что многие аргументы об идеалах или фактор-кольцах могут быть объединены в один аргумент о модулях. В некоммутативной алгебре различие между левыми идеалами, идеалами и модулями становится более явным, хотя некоторые теоретико-кольцевые условия могут быть выражены либо для левых идеалов, либо для левых модулей.

Большая часть теории модулей состоит из расширения как можно большего количества желательных свойств векторных пространств в область модулей над « хорошо управляемым » кольцом, например, в области главных идеалов . Однако модули могут быть немного сложнее векторных пространств; например, не все модули имеют базис , и даже те, которые имеют, свободные модули , не обязательно должны иметь уникальный ранг, если лежащее в основе кольцо не удовлетворяет условию инвариантного базисного числа , в отличие от векторных пространств, которые всегда имеют (возможно, бесконечное) базис, мощность которого тогда единственна. (Эти последние два утверждения требуют аксиомы выбора в целом, но не в случае конечномерных пространств или некоторых корректных бесконечномерных пространств, таких как пространства L ^p .)

Формальное определение

Предположим, что R - кольцо , а 1 - его мультипликативная единица. Левый R - модуль M состоит из абелевой группы ( М +) и операция ⋅: R × M → M , что для всех г , ев в R и х , у в М , мы имеем

${\ Displaystyle г \ CDOT (х + у) = г \ CDOT х + г \ CDOT у}$
${\ Displaystyle (г + s) \ CDOT х = г \ CDOT х + s \ CDOT х}$
${\ Displaystyle (RS) \ CDOT х = г \ CDOT (s \ CDOT х)}$
${\ displaystyle 1 \ cdot x = x.}$

Операция ⋅ называется скалярным умножением . Часто символ ⋅ опущен, но в этой статье мы используем и резервное сопоставление для умножения в R . Можно написать _R M, чтобы подчеркнуть, что M - левый R -модуль. Правой R - модуль M _R Аналогично определяется в терминах операции ⋅: М × R → M .

Авторы, которые не требуют, чтобы кольца были единичными, опускают условие 4 в приведенном выше определении; они назвали бы определенные выше структуры «унитальными левыми R- модулями». В этой статье, согласно глоссарию теории колец, все кольца и модули считаются унитальными.

(R, S) - бимодуль абелева группы вместе с обеими левой скалярным произведением ⋅ элементами R и правого скалярным умножением * элементами S , что делает его одновременно левый R - модуль и правый S - модуль, удовлетворяющее дополнительное условие для всех г в R , х в М и S в S . ${\ Displaystyle (г \ cdot х) \ ast s = r \ cdot (х \ ast s)}$

Если R является коммутативной , то левый R -модулями такие же , как правых R - модулей и просто называется R -модулями.

Примеры

Если К является полем , то К - векторные пространства (векторные пространства над K ) и K -модулями идентичны.
Если К является поле, а К [ х ] одномерному кольцу многочленов , то К [ х ] -модулю М является К - модуль с дополнительным действием й на М , что коммутирует с действием K на M . Другими слова, К [ х ] -модулю является K -векторного пространства М в сочетании с линейной картой от М до М . Применение структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов к этому примеру показывает существование рациональной и жордановой канонической формы.
Понятие Z -модуля согласуется с понятием абелевой группы. То есть каждая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел Z единственным образом. Для n > 0 пусть n ⋅ x = x + x + ... + x ( n слагаемых), 0 ⋅ x = 0 и (- n ) ⋅ x = - ( n ⋅ x ) . Такой модуль не обязательно должен иметь базис - его нет у групп, содержащих элементы кручения . (Например, в группе целых чисел по модулю 3 невозможно найти ни одного элемента, который удовлетворяет определению линейно независимого множества, поскольку, когда целое число, такое как 3 или 6, умножает элемент, результат равен 0. Однако, если конечное число field рассматривается как модуль над тем же конечным полем, взятым за кольцо, это векторное пространство и имеет базис.)
В десятичных дробях (включая отрицательные) образуют модуль над целыми числами. Только синглтоны являются линейно независимыми множествами, но нет синглтонов, которые могли бы служить основой, поэтому модуль не имеет ни базы, ни ранга.
Если R - любое кольцо, а n - натуральное число , то декартово произведение R ⁿ является как левым, так и правым R -модулем над R, если мы используем покомпонентные операции. Следовательно, когда n = 1 , R является R -модулем, где скалярное умножение - это просто умножение колец. Случай n = 0 дает тривиальный R -модуль {0}, состоящий только из его единицы. Модули этого типа называются свободными, и если R имеет инвариантное базисное число (например, любое коммутативное кольцо или поле), то число n является рангом свободного модуля.
Если M _n ( R ) - кольцо матриц размера n × n над кольцом R , M - модуль M _n ( R ), а e _i - матрица размера n × n с единицей в ( i , i ) -элементе (и нули в других местах), то е _я М представляет собой R - модуль, так как вновь _я т = е _я тты ∈ е _я М . Таким образом , М распадается в прямую сумму R -модулями, M = е ₁M ⊕ ... ⊕ е _н М . Наоборот, если дан R -модуль M ₀ , то M ₀^⊕ⁿ является M _n ( R ) -модулем. Фактически, категория R -модулей и категория M _n ( R ) -модулей эквивалентны . Частный случай состоит в том, что модуль M является просто R как модуль над собой, тогда R ⁿ является M _n ( R ) -модулем.
Если S - непустое множество , M - левый R -модуль, а M ^S - совокупность всех функций f : S → M , то со сложением и скалярным умножением в M ^S, поточечно определяемым как ( f + g ) ( s ) = f ( s ) + g ( s ) и ( rf ) ( s ) = rf ( s ) , M ^S - левый R -модуль. Случай правого R -модуля аналогичен. В частности, если R коммутативно то совокупность R-модуль гомоморфизмов ч : М → N (смотри ниже) представляет собой R - модуль (и на самом деле подмодуль из N ^M ).
Если X - гладкое многообразие , то гладкие функции от X до действительных чисел образуют кольцо C ^∞ ( X ). Множество всех гладких векторных полей , определенных на X образует модуль над C ^∞ ( X ), и так делает тензорные поля и дифференциальные формы на X . В более общем смысле, сечения любого векторного расслоения образуют проективный модуль над C ^∞ ( X ), и по теореме Свана каждый проективный модуль изоморфен модулю сечений некоторого расслоения; категория из C ^∞ ( X ) -модули и категория векторных расслоений над X являются эквивалентны .
Если R - любое кольцо и I - любой левый идеал в R , то I - левый R -модуль, и аналогично правые идеалы в R являются правыми R- модулями.
Если R - кольцо, мы можем определить противоположное кольцо R ^op, которое имеет тот же базовый набор и ту же операцию сложения, но противоположное умножение: если ab = c в R , то ba = c в R ^op . Тогда любой левый R -модуль M можно рассматривать как правый модуль над R ^op , а любой правый модуль над R можно считать левым модулем над R ^op .
Модули над алгеброй Ли - это (ассоциативная алгебра) модули над ее универсальной обертывающей алгеброй .
Если R и S - кольца с гомоморфизмом колец φ : R → S , то каждый S -модуль M является R -модулем, определяя rm = φ ( r ) m . В частности, сам S является таким R -модулем.

Подмодули и гомоморфизмы

Пусть М есть левый R - модуль и N является подгруппой из M . Тогда Н является подмодулем (или более явно R подмодуль) , если для любого п в N и любого г в R , произведение г ⋅ п (или п ⋅ г для правого R - модуля) находится в N .

Если Х является любым подмножеством из R - модуля, то подмодуль , натянутый на X определяется как где N пробегает подмодули M , которые содержат X , или явно , что важно при определении тензорных произведений. ${\ textstyle \ langle X \ rangle = \, \ bigcap _ {N \ supseteq X} N}$ ${\ textstyle \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {k} r_ {i} x_ {i} \ mid r_ {i} \ in R, x_ {i} \ in X \ right \}}$

Множество подмодулей данного модуля M , вместе с двумя бинарными операциями + и ∩, образует решетку , которая удовлетворяет модульный закон : С учетом подмодули U , N ₁ , N ₂ из М такое , что N ₁ ⊂ N ₂ , то следующие два подмодуля равны: ( N ₁ + U ) ∩ N ₂ = N ₁ + ( U ∩ N ₂ ) .

Если М и Н оставляют R - модулей, то отображение F : M → N является гомоморфизм R -модулей , если для любого т , п в М и г , ев в R ,

{\ Displaystyle е (г \ CDOT м + s \ CDOT п) = г \ CDOT F (т) + s \ CDOT F (п)}

.

Это, как и любой гомоморфизм математических объектов, просто отображение, которое сохраняет структуру объектов. Другое название для гомоморфизма R - модулей является R - линейное отображение .

Биективен модульный гомоморфизм F : M → N называется модулем изоморфизма , и два модуля M и N называются изоморфными . Два изоморфных модуля идентичны для всех практических целей, различаются только обозначениями их элементов.

Ядро модуля гомоморфизм F : M → N является подмодулем М , состоящим из всех элементов, которые посылаются к нулю е , и изображения из F является подмодулем N , состоящий из значений F ( т ) для всех элементов т из M . Известные по группам и векторным пространствам теоремы об изоморфизме верны и для R -модулей.

Для кольца R множество всех левых R -модулей вместе с их модульными гомоморфизмами образует абелеву категорию , обозначаемую R - Mod (см. Категорию модулей ).

Типы модулей

Конечно порожденный: R - модуля М имеет конечное число образующих , если существует конечное число элементов х ₁ , ..., х _п в М таким образом, что каждый элемент М представляет собой линейная комбинация этих элементов с коэффициентами из кольца R .
Циклический: Модуль называется циклическим модулем, если он порождается одним элементом.
Бесплатно: Свободный R - модуль является модулем , который имеет основу, или , что эквивалентно, который изоморфна прямой сумме копий кольца R . Эти модули очень похожи на векторные пространства.
Проективный: Проективные модули являются прямыми слагаемыми свободных модулей и обладают многими из желаемых свойств.
Инъективный: Инъективные модули определяются двойственно проективным модулям.
Плоский: Модуль называется плоским , если принимать тензорное произведение его с любой точной последовательностью из R -модулей сохраняют точность.
Без кручения: Модуль называется без кручения, если он вкладывается в свой алгебраический двойственный.
Простой: Простой модуль S представляет собой модуль , который не {0} и чьи только подмодули {0} и S . Простые модули иногда называют неприводимыми .
Полупростой: Полупростой модуль является прямой суммой (конечной или нет) простых модулей. Исторически эти модули еще называют полностью сводимыми .
Неразложимый: Неразложимый модуль является ненулевой модуль , который не может быть записан в виде прямой суммы двух ненулевых подмодулей. Каждый простой модуль неразложим, но есть неразложимые модули, которые не являются простыми (например, унифицированные модули ).
Верный: Точный модуль М является тот , где действие каждого г ≠ 0 в R на M является нетривиальным (т.е. г ⋅ х ≠ 0 для некоторых х в М ). Эквивалентно, то аннуляторный из М является нулевой идеал .
Без кручения: Модуль без кручения - это модуль над кольцом, такой, что 0 - единственный элемент, аннулируемый регулярным элементом (не делителем нуля ) кольца, что эквивалентно влечет или . ${\ displaystyle rm = 0}$ ${\ displaystyle r = 0}$ ${\ displaystyle m = 0}$
Нётерян: Нетерово модуль представляет собой модуль , который удовлетворяет восходящая состояние цепи на подмодулях, то есть, каждая возрастающая цепочка подмодулей становится стационарной после конечного числа шагов. Эквивалентно каждый подмодуль конечно порожден.
Артиниан: Артины модуль представляет собой модуль , который удовлетворяет нисходящая условию цепи на подмодулях, то есть, каждая убывающая цепочка подмодулей становится стационарной после того, как конечное числом шагов.
Оценено: Градуированный модуль представляет собой модуль с разложением в прямую сумму М = ⨁ _х М _х над градуированным кольцом R = ⨁ _х R _х , таких , что Р _х М _у ⊂ M _{х + у} для всех х и у .
Униформа: Равномерный модуль является модулем , в котором все пары ненулевых подмодуля имеют ненулевое пересечение.

Дальнейшие понятия

Отношение к теории представлений

Представление группы G над полем k - это модуль над групповым кольцом k [ G ].

Если M - левый R -модуль, то действие элемента r в R определяется как отображение M → M, которое отправляет каждый x в rx (или xr в случае правого модуля) и обязательно является группой эндоморфизм абелевой группы ( M , +) . Множество всех групповых эндоморфизмов M обозначается End _Z ( M ) и образует кольцо при сложении и композиции , и отправка кольцевого элемента r из R в его действие фактически определяет кольцевой гомоморфизм из R в End _Z ( M ).

Такое кольцо гомоморфизм R → End _Z ( M ) называется представлением из R над абелевой группой М ; альтернативный и эквивалентный способ определения левых R -модулей состоит в том, чтобы сказать, что левый R -модуль является абелевой группой M вместе с представлением R над ней. Такое представление $R \to Конец Z (М)$ также может называться кольцевой действие из $R$ на $M$ .

Представление называется верным , если и только если отображение R → End _Z ( M ) является инъективным . В терминах модулей это означает, что если r - элемент R такой, что rx = 0 для всех x в M , то r = 0 . Каждая абелева группа является верным модулем над целыми числами или над некоторым модульным арифметической Z / п Z .

Обобщения

Кольцо R соответствует предаддитивной категории R с одним объектом . При таком понимании левый R -модуль является просто ковариантным аддитивным функтором из R в категорию Ab абелевых групп , а правые R -модули являются контравариантными аддитивными функторами. Это говорит о том, что, если C является любой предаддитивна категории, ковариантный аддитивный функтор из C в Ab следует рассматривать как обобщенный левый модуль над C . Эти функторы образуют категорию функторов C - Mod, которая является естественным обобщением категории модулей R - Mod .

Модули над коммутативными кольцами можно обобщить в другом направлении: возьмем окольцованное пространство ( X , O _X ) и рассмотрим пучки O _X -модулей (см. Пучок модулей ). Они образуют категорию O _X - Mod и играют важную роль в современной алгебраической геометрии . Если X имеет только одну точку, то это категория модулей в старом смысле над коммутативным кольцом O _X ( X ).

Можно также рассматривать модули над полукольцом . Модули над кольцами - абелевы группы, а модули над полукольцами - это только коммутативные моноиды . Большинство приложений модулей по-прежнему возможно. В частности, для любого полукольца S матрицы над S образуют полукольцо, над которым наборы элементов из S являются модулем (только в этом обобщенном смысле). Это позволяет дальнейшее обобщение концепции векторного пространства, включая полукольца из теоретической информатики.

Над почти кольцами можно рассматривать почти-кольцевые модули, неабелево обобщение модулей.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Ф. В. Андерсон и К. Р. Фуллер: Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике, Vol. 13, 2-е изд., Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1992, ISBN 0-387-97845-3 , ISBN 3-540-97845-3
Натан Джейкобсон . Структура колец . Публикации коллоквиума, Vol. 37, 2-е изд., Книжный магазин AMS, 1964, ISBN 978-0-8218-1037-8

внешние ссылки

"Модуль" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Почему изучать модули кольца - это хорошая идея? на MathOverflow
модуль в nLab

Languages

In other projects