Законы формы -Laws of Form

«Законы формы» (далее LoF ) - это книга Дж. Спенсера-Брауна , опубликованная в 1969 году, которая пересекает границу между математикой и философией . LoF описывает три отдельные логические системы :

«Первичная арифметика» (описанная в главе 4 LoF ), модели которой включают булеву арифметику ;
«Первичная алгебра » (глава 6 LoF ), модели которой включают двухэлементную булеву алгебру (далее сокращенно 2 ), булеву логику и классическое исчисление высказываний ;
«Уравнения второй степени» (глава 11), интерпретация которых включает конечные автоматы и ограниченную рекурсивную арифметику Алонзо Чёрча (RRA).

«Граничная алгебра» - это термин Мегуайра (2011) для объединения первичной алгебры и первичной арифметики. Законы формы иногда в общих чертах относятся к «первичной алгебре», а также к LoF .

Книга

В предисловии говорится, что работа была впервые исследована в 1959 году, и Спенсер Браун цитирует Бертрана Рассела как поддерживающего его усилия. Он также благодарит JCP Miller из Университетского колледжа Лондона за помощь с корректурой и другие рекомендации. В 1963 году Спенсер Браун был приглашен Гарри Фростом , штатным преподавателем физических наук на факультете заочных исследований Лондонского университета, для чтения курса математики логики.

LoF возник в результате работы в области электронной инженерии, которую его автор провел примерно в 1960 году, и из последующих лекций по математической логике, которые он читал под эгидой программы расширения Лондонского университета . LoF появился в нескольких выпусках. Вторая серия изданий появилась в 1972 году с «Предисловием к первому американскому изданию», в котором подчеркивалось использование парадоксов самореференции. самым последним из них был немецкий перевод 1997 года, который никогда не выходил из печати.

Математика заполняет только около 55 пикселей и довольно элементарна. Но мистическая и декламационная проза LoF и его любовь к парадоксам делают его трудным для всех. Спенсер-Браун находился под влиянием Витгенштейна и Р. Д. Лэйнга . LoF также перекликается с рядом тем из произведений Чарльза Сандерса Пирса , Бертрана Рассела и Альфреда Норта Уайтхеда .

Вся книга написана оперативно, давая читателю инструкции вместо того, чтобы рассказывать ему, что «есть». В соответствии с интересом Дж. Спенсер-Брауна к парадоксам, единственное предложение, которое утверждает, что что-то есть, - это утверждение, в котором говорится, что такие утверждения не используются в этой книге. За исключением этого предложения, книгу можно рассматривать как пример E-Prime .

Прием

Якобы работа по формальной математике и философии, LoF стала чем-то вроде культовой классики : ее похвалил Хайнц фон Ферстер, когда он рецензировал ее для Whole Earth Catalog . Те, кто согласен, указывают на LoF как на воплощение загадочной «математики сознания », его алгебраический символизм, улавливающий (возможно, даже «самый») неявный корень познания : способность «различать». LoF утверждает, что первичная алгебра обнаруживает разительные связи между логикой , булевой алгеброй и арифметикой, а также философией языка и разума .

Банашевский (1977) утверждает, что первичная алгебра - это не что иное, как новые обозначения для булевой алгебры. Действительно, двухэлементная булева алгебра 2 может рассматриваться как предполагаемая интерпретация первичной алгебры. Но все же обозначения первичной алгебры:

Полностью использует двойственность, присущую не только булевым алгебрам, но и всем решеткам ;
Подчеркивает, как синтаксически различные утверждения в логике и 2 могут иметь идентичную семантику ;
Значительно упрощает вычисления булевой алгебры и доказательства в сентенциальной и силлогистической логике .

Более того, синтаксис первичной алгебры может быть расширен на формальные системы, отличные от 2 и сентенциальной логики, что приведет к граничной математике (см. § Связанные работы ниже).

LoF оказал влияние, в частности, на Хайнца фон Ферстера , Луи Кауфмана , Никласа Луманна , Умберто Матурана , Франсиско Варела и Уильяма Бриккена . Некоторые из этих авторов изменили первичную алгебру множеством интересных способов.

LoF утверждал, что некоторые хорошо известные математические гипотезы очень давних времен, такие как теорема о четырех цветах , Великая теорема Ферма и гипотеза Гольдбаха , могут быть доказаны с использованием расширений первичной алгебры. Спенсер-Браун в конце концов распространил предполагаемое доказательство теоремы о четырех цветах, но оно встретило скептицизм.

Форма (Глава 1)

Символ:

Также называемый «знаком» или «крестом», это основная черта Законов Формы. В неподражаемой и загадочной манере Спенсера-Брауна Знак символизирует корень познания , то есть дуалистический Знак указывает на способность отличать «это» от «всего остального, кроме этого».

В LoF крест обозначает рисунок «различия» и может рассматриваться как обозначающий сразу следующее:

Акт проведения границы вокруг чего-либо, таким образом отделяя это от всего остального;
То, что становится отличным от всего, проводя границу;
Переход с одной стороны границы на другую.

Все три способа подразумевают действие со стороны когнитивной сущности (например, человека), проводящей различие. Как говорит LoF :

«Первая команда:

Проведите различие

вполне может быть выражено такими способами, как:

Пусть будет различие,

Найдите различие,

Смотрите различие,

Опишите различие,

Определите различие,

Или же:

Пусть будет проведено различие ». ( LoF , Примечания к главе 2)

Контрапунктом для отмеченного состояния является состояние Unmarked, которое является просто ничем, пустотой или невыразимой бесконечностью, представленной пробелом. Это просто отсутствие Креста. Никакого различия не проводилось и ничего не пересекалось. Отмеченное состояние и пустота - это два примитивных значения Законов Формы.

Крест можно рассматривать как обозначение различия между двумя состояниями: одно «рассматривается как символ», а другое не рассматривается. Из этого факта возникает любопытный резонанс с некоторыми теориями сознания и языка . Как это ни парадоксально, Форма одновременно является Наблюдателем и Наблюдаемым, а также является творческим актом проведения наблюдения. LoF (исключая заднюю часть) закрывается словами:

... первое различие, Знак и наблюдатель не только взаимозаменяемы, но и идентичны по форме.

К. С. Пирс пришел к аналогичному выводу в 1890-х годах; см. § Сопутствующие работы .

Первичная арифметика (глава 4)

Синтаксис первичной арифметики происходит следующим образом . Есть всего два атомарных выражения :

Пустой Крест ;
Пустая страница полностью или частично («пустота»).

Есть два индуктивных правила:

Крест может быть написан поверх любого выражения;
Любые два выражения могут быть объединены .

В семантике первичной арифметики не может быть , не более чем единственное явное определение в LOF : «Различение совершенно воздержание».

Пусть «немаркированное состояние» будет синонимом пустоты. Пусть пустой Крест обозначает «отмеченное состояние». Перекрестие означает переход от одного значения, неотмеченного или отмеченного состояния, к другому. Теперь мы можем сформулировать «арифметические» аксиомы A1 и A2, которые лежат в основе первичной арифметики (и, следовательно, всех законов формы):

«А1. Закон призвания». Двойной вызов из состояния неотличим от однократного вызова. Дважды провести различие - тот же эффект, что и один раз. Например, сказать «Да будет свет», а затем снова сказать «Да будет свет» - все равно, что сказать это один раз. Формально:

{\ Displaystyle \ =}

«A2. Закон пересечения». После перехода из немаркированного состояния в отмеченное, повторное пересечение («повторное пересечение»), начиная с отмеченного состояния, возвращает человека в немаркированное состояние. Следовательно, обратный переход аннулирует пересечение. Формально:

{\ Displaystyle \ =}

И в A1, и в A2 выражение справа от '=' содержит меньше символов, чем выражение слева от '='. Это предполагает, что каждое первичное арифметическое выражение может быть упрощено повторным применением A1 и A2 до одного из двух состояний: отмеченного или немаркированного состояния. Это действительно так, и результатом является «упрощение» выражения. Две фундаментальные метатеоремы первичной арифметики утверждают, что:

Каждое конечное выражение имеет уникальное упрощение. (T3 в LoF );
Начиная с начального отмеченного или немаркированного состояния, «усложнение» выражения конечным числом повторных применений A1 и A2 не может привести к выражению, упрощение которого отличается от начального состояния. (Т4 в LoF ).

Таким образом, соотношение из логической эквивалентности разделов все первичные арифметические выражения в двух классов эквивалентности : те , которые упрощают к кресту, и те , которые упрощают в пустоту.

A1 и A2 имеют свободные аналоги в свойствах последовательных и параллельных электрических цепей, а также в других способах построения диаграмм процессов, включая блок-схемы. A1 соответствует параллельному соединению, а A2 - последовательному соединению, при том понимании, что различение соответствует изменению способа соединения двух точек в цепи, а не просто добавлению проводки.

Первичная арифметика аналогична следующим формальным языкам математики и информатики :

Дейк язык порядка 1 с нулевым алфавитом;
Простейший контекстно-свободный язык в иерархии Хомского ;
Система перезаписи, которая сильно нормализует и сливается .

Фраза «исчисление показаний» в LoF является синонимом «первичной арифметики».

Понятие канона

Для LoF характерно понятие «канон». Хотя LoF не определяет канон, следующие два отрывка из Примечаний к гл. 2 подходят:

Более важные структуры командования иногда называют канонами . Это способы, которыми руководящие предписания группируются в созвездия и, таким образом, никоим образом не являются независимыми друг от друга. Канон отличается тем, что находится вне (то есть, описывает) строящуюся систему, но команда строить (например, «провести различие»), даже если она может иметь центральное значение, не является каноном. Канон - это приказ или набор приказов, которые разрешают или разрешают, но не создают или создают.

... основная форма математической коммуникации - это не описание, а предписание ... Музыка - похожая форма искусства, композитор даже не пытается описать набор звуков, которые он имеет в виду, а тем более набор чувств, вызванных ими. , но записывает набор команд, которые, если исполнитель им подчиняется, могут привести к воспроизведению для слушателя первоначального опыта композитора.

Эти отрывки относятся к различию в металогике между объектным языком , формальным языком обсуждаемой логической системы, и метаязыком , языком (часто естественным), отличным от объектного языка, используемым для объяснения и обсуждения объектного языка. Первая цитата, кажется, утверждает, что каноны являются частью метаязыка. Вторая цитата, кажется, утверждает, что утверждения на объектном языке, по сути, являются командами, адресованными читателю автором. Оба утверждения не верны в стандартной металогике.

Первичная алгебра (глава 6)

Синтаксис

Для любого допустимого первичного арифметического выражения вставьте в одно или несколько мест любое количество латинских букв с необязательными числовыми индексами; результат - формула первичной алгебры . Буквы, используемые таким образом в математике и логике , называются переменными . Переменная первичной алгебры указывает место, где можно записать примитивное значение или его дополнение . Несколько экземпляров одной и той же переменной обозначают несколько местоположений одного и того же примитивного значения.

Правила логической эквивалентности

Знак '=' может связывать два логически эквивалентных выражения; в результате получается уравнение . Под «логически эквивалентным» понимается то, что два выражения имеют одинаковое упрощение. Логическая эквивалентность - это отношение эквивалентности над множеством формул первичной алгебры, управляемое правилами R1 и R2. Пусть «C» и «D» будут формулами, каждая из которых содержит хотя бы один экземпляр подформулы A :

R1 , Замена равных . Заменить один или несколько экземпляров А в С помощью B , что приводит к Е . Если A = B , то C = E .
R2 , Равномерная замена . Заменить все экземпляры A в C и D с B . С становится E и D становится F . Если C = D , то Е = F . Обратите внимание, что A = B не требуется.

R2 очень часто используется в демонстрациях первичной алгебры (см. Ниже), почти всегда молча. Эти правила обычно используются в логике и большей части математики, почти всегда бессознательно.

Первичная алгебра состоит из уравнений , то есть, пара формул , связанных инфиксом «=». R1 и R2 позволяют преобразовать одно уравнение в другое. Следовательно, первичная алгебра является эквациональной формальной системой, как и многие алгебраические структуры , включая булеву алгебру , которые являются многообразиями . Эквациональная логика была распространена до Principia Mathematica (например, Peirce, ^1,2,3 Johnson 1892) и имеет современных сторонников (Gries and Schneider 1993).

Обычная математическая логика состоит из тавтологических формул, передаваемых турникетом с префиксом . Чтобы обозначить, что формула первичной алгебры A является тавтологией , просто напишите « A = ». Если заменить '=' в R1 и R2 на биконусное , полученные правила сохранятся в традиционной логике. Однако традиционная логика в основном полагается на правило modus ponens ; таким образом, обычная логика важна . Эквационально-поненциальная дихотомия выделяет многое из того, что отличает математическую логику от остальной математики.

Инициалы

Исходный является первичной алгеброй уравнения проверяемым с помощью процедуры принятия и как таковой не аксиома . LoF кладет инициалы:

J1:

А

знак равно

Отсутствие чего-либо справа от знака "=" является преднамеренным.

J2:

А

B

C

знак равно

AC

до н.э

.

J2 является знаком дистрибутивным законом о пропозициональной логике и булевой алгебре .

Другой набор инициалов, более удобный для вычислений:

J0:

А

знак равно

А.

J1a:

А

знак равно

.

C2:

А

AB

знак равно

А

B

.

Именно благодаря С2 , что основная алгебра является решеткой . В силу J1a это решетка с дополнениями , верхняя граница которой равна . По J0 , является соответствующим нижней границей и единичный элемент . J0 также является алгебраической версией A2 и проясняет смысл псевдонимов с пустой страницей.

T13 в LoF обобщает C2 следующим образом. Любую формулу первичной алгебры (или сентенциональной логики) B можно рассматривать как упорядоченное дерево с ветвями . Потом:

Т13 : а подформула может быть скопирован по желанию в любую глубину B больше , чем у А , до тех пор , как и его копия находятся в одной и той же ветви B . Кроме того, учитывая несколько экземпляров A в одной ветви B , все экземпляры, кроме самых мелких, являются избыточными.

Хотя доказательство T13 потребует индукции , интуиция, лежащая в основе этого утверждения, должна быть ясной.

C2 или его эквивалент называется:

«Генерация» в LoF ;
«Исключение» у Джонсона (1892);
«Проникновение» в творчестве Уильяма Бриккена.

Возможно, первый экземпляр аксиомы или правила с силой C2 было «Правило (De) Итерация», сочетающее в себе T13 и AA = A , из Пирса «ы экзистенциальные графов .

LoF утверждает, что конкатенация по умолчанию может считаться коммутирующей и ассоциативной , и, следовательно, ее не нужно явно предполагать или демонстрировать. (Пирс сделал аналогичное утверждение о своих экзистенциальных графах .) Пусть точка будет временным обозначением для установления группировки. Эта конкатенация коммутирует и связывает затем может быть продемонстрирована с помощью:

Исходный AC.D = CD.A и следствие AA = A (Бирн, 1946). Этот результат верен для всех решеток , поскольку AA = A является простым следствием закона поглощения , который выполняется для всех решеток;
Инициалы AC.D = AD.C и J0 . Поскольку J0 выполняется только для решеток с нижней границей, этот метод верен только для ограниченных решеток (которые включают первичную алгебру и 2 ). Коммутативность тривиальна; просто установите A = . Ассоциативность: AC.D = CA.D = CD.A = A.CD .

Продемонстрировав ассоциативность, точку можно отбросить.

Инициалы в Meguire (2011): AC.D = CD.A , называемый B1 ; B2 , J0 выше; B3 , J1a выше; и B4 , C2. По конструкции эти инициалы очень похожи на аксиомы для абелевой группы , G1-G3 ниже.

Теория доказательств

Первичная алгебра содержит три вида доказанных утверждений:

Следствие - это уравнение первичной алгебры, подтвержденное демонстрацией . Демонстрация состоит из последовательности шагов , каждый из которых оправдывается первоначальным или ранее продемонстрированным следствием.
Теорема - это утверждение на метаязыке, подтвержденное доказательством , т. Е. Аргумент, сформулированный на метаязыке, который принимается обученными математиками и логиками.
Исходный , определенный выше. Демонстрации и доказательства используют инициал, как если бы это была аксиома.

Различие между следствием и теоремой справедливо для всех формальных систем, включая математику и логику, но обычно не делается явным. Процедура демонстрации или принятия решения может быть проведена и проверена с помощью компьютера. Доказательство из теоремы не может быть.

Пусть A и B - формулы первичной алгебры . Демонстрация A = B может происходить двумя способами:

Пошагово модифицируйте A, пока не будет получено B , или наоборот;
Simplify как и в . Это известно как «расчет».

После того, как = B было продемонстрировано, = B может быть вызван , чтобы оправдать действия , описанные в последующих демонстрациях. демонстрации и вычисления первичной алгебры часто требуют не более чем J1a , J2 , C2 и следствий ( C3 в LoF ), ( C1 ) и AA = A ( C5 ).

Следствие , C7 ' в LoF , позволяет использовать алгоритм , описанный в LoF в доказательстве T14, который преобразует произвольную формулу первичной алгебры в эквивалентную формулу, глубина которой не превышает двух. Результатом является нормальная форма , аналог первичной алгебры конъюнктивной нормальной формы . LoF (T14–15) доказывает первичный алгебраический аналог известной теоремы булевой алгебры о том, что каждая формула имеет нормальную форму.

Пусть быть подформула некоторой формулы B . В сочетании с С3 , J1A можно рассматривать как условие закрытия для расчетов: В является тавтологией тогда и только тогда , когда и ( ) оба появляются в глубину 0 из B . Связанное условие появляется в некоторых версиях естественной дедукции . Демонстрация расчетом часто немного больше, чем:

Многократный вызов T13 для удаления повторяющихся подформул;
Удаление любых подформул, имеющих форму .

Последний шаг вычисления всегда вызывает J1a .

LoF включает элегантные новые доказательства следующей стандартной метатеории :

Полнота : всеследствия первичной алгебры демонстрируются с инициалов (T17).
Независимость : J1 не может быть продемонстрирован от J2 и наоборот (T18).

О том, что сентенциальная логика завершена, говорят в каждом первом университетском курсе математической логики . Но университетские курсы по булевой алгебре редко упоминают полноту 2 .

Интерпретации

Если состояния Marked и Unmarked читаются как логические значения 1 и 0 (или True и False ), первичная алгебра интерпретирует 2 (или смысловую логику ). LoF показывает, как первичная алгебра может интерпретировать силлогизм . Каждая из этих интерпретаций обсуждается в подразделе ниже. Расширение основной алгебры так , чтобы он мог интерпретировать стандартную логику первого порядка еще предстоит сделать, но пирсовские «s бета экзистенциальные графики показывают , что это расширение возможно.

Двухэлементная булева алгебра 2

Первичная алгебра элегантное минималистское обозначение для двух элементов булевой алгебры 2 . Позволять:

Одно из логических объединений (+) или встреч (×) интерпретировать конкатенацию ;
Дополнение из А интерпретировать
0 (1) интерпретировать пустую метку, если соединение (встреча) интерпретирует конкатенацию (поскольку двоичная операция, применяемая к нулевым операндам, может рассматриваться как равная элементу идентичности этой операции; или, другими словами, операнд, который является Отсутствующий может рассматриваться как действующий по умолчанию как элемент идентичности).

Если join (встреча) интерпретирует AC , то meet (объединение) интерпретирует . Следовательно, первичная алгебра и 2 изоморфны, но для одной детали: дополнение первичной алгебры может быть нулевым, и в этом случае оно обозначает примитивное значение. По модулю этой детали 2 представляет собой модель первичной алгебры. Первичная арифметика предлагает следующую арифметическую аксиоматизацию числа 2 : 1 + 1 = 1 + 0 = 0 + 1 = 1 = ~ 0 и 0 + 0 = 0 = ~ 1. ${\ Displaystyle {\ overline {{\ overline {A |}} \ \ {\ overline {C |}} {\ Big |}}}}$

Набор является булевой домен или носитель . На языке универсальной алгебры , то основная алгебра является алгебраической структурой типа . Выразительная достаточность из инсульта Шеффера указует на первичную алгебре также будет алгеброй типа . В обоих случаях идентичны J1a, J0, C2 и ACD = CDA . Так как первичная алгебра и 2 являются изоморфными , 2 можно рассматривать как алгебры типа . Это описание 2 проще, чем обычное, а именно алгебра типа . ${\ Displaystyle \ B = \ {}$ ${\ displaystyle,}$ ${\ Displaystyle \ \}}$ ${\ displaystyle \ langle B, - \ -, {\ overline {- \ |}}, {\ overline {\ \ |}} \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle 2,1,0 \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle B, {\ overline {- \ - \ |}}, {\ overline {\ \ |}} \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle 2,0 \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle B, +, \ lnot, 1 \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle 2,1,0 \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle B, +, \ times, \ lnot, 1,0 \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle 2,2,1,0,0 \ rangle}$

Две возможные интерпретации двойственны друг другу в булевом смысле. (В булевой алгебре замена AND ↔ OR и 1 ↔ 0 по всему уравнению дает одинаково допустимое уравнение.) Тождества остаются неизменными независимо от того, какая интерпретация выбрана, поэтому преобразования или способы вычисления остаются теми же; только интерпретация каждой формы будет разной. Пример: J1a есть . Интерпретируя сопоставление как ИЛИ и как 1, это означает, что верно. Интерпретируя сопоставление как AND и как 0, это означает, что также истинно (и двойственное ). ${\ displaystyle \ neg A \ lor A = 1}$ ${\ displaystyle \ neg A \ land A = 0}$ ${\ displaystyle \ neg A \ lor A = 1}$

Предложения логика

Пусть пустая страница обозначает Ложь , а крест - НЕТ . Тогда первичная арифметика имеет следующее сентенциальное прочтение:

= Ложь

= Истина = не Ложь

= Неверно = Неверно

Первичная алгебра интерпретирует сентенциальные логику следующим образом . Буква представляет собой любое данное сентенциональное выражение. Таким образом:

интерпретирует Not A

интерпретирует A или B

трактует Not A или B , или если А Тогда B .

интерпретирует Not (Not A or Not B)

или нет (если А, то не Б)

или А и В .

а

б

а

б

,

а

б

ab

как интерпретировать A тогда и только тогда , когда В или А эквивалентна к В .

Таким образом, любое выражение в сентенциальной логике имеет перевод в первичную алгебру . Точно так же первичная алгебра интерпретирует сентенциальную логику. При присвоении каждой переменной состояния Marked или Unmarked, этот первичный перевод алгебры сводится к первичному арифметическому выражению, которое можно упростить. Повторение этого упражнения для всех возможных присвоений двух примитивных значений каждой переменной покажет, является ли исходное выражение тавтологическим или выполнимым . Это пример процедуры принятия решения , более или менее в духе обычных таблиц истинности. Учитывая некоторую формулу первичной алгебры, содержащую N переменных, эта процедура принятия решения требует упрощения 2 ^N первичных арифметических формул. О менее утомительной процедуре принятия решения, более в духе «анализа истинности» Куайна , см. Meguire (2003).

Шварц (1981) доказал, что первичная алгебра эквивалентна - синтаксически , семантически и теоретически доказательством - классическому исчислению высказываний . Точно так же можно показать, что первичная алгебра синтаксически эквивалентна выражениям, построенным обычным способом из классических значений истинности истина и ложь , логических связок НЕ, ИЛИ, И и круглых скобок.

Интерпретация немаркированного состояния как ложного полностью произвольна; это состояние также может быть прочитано как Истина . Все, что требуется, - это изменить интерпретацию конкатенации с ИЛИ на И. IF A THEN B теперь переводится как вместо . В более общем смысле, первичная алгебра « самодвойственна », что означает, что любая формула первичной алгебры имеет два сентенциальных или булевых значения , каждое из которых является двойственным по отношению к другому. Еще одно следствие самодвойственности - неуместность законов Де Моргана ; эти законы заложены в синтаксис первичной алгебры с самого начала.

Теперь проясняется истинная природа различия между первичной алгеброй, с одной стороны, и 2 и сентенциональной логикой, с другой. В последних формализмах дополнение / отрицание, действующее на «ничто», не является хорошо сформированным. Но пустой Крест - это хорошо сформированное выражение первичной алгебры , обозначающее отмеченное состояние, примитивное значение. Следовательно, непустой крест - это оператор , а пустой крест - это операнд, потому что он обозначает примитивное значение. Таким образом, первичная алгебра показывает, что прежде различные математические концепции оператора и операнда на самом деле представляют собой просто разные грани одного фундаментального действия, проведения различия.

Силлогизмы

Приложение 2 LoF показывает, как переводить традиционные силлогизмы и сориты в первичную алгебру . Правильный силлогизм - это просто такой силлогизм, перевод первичной алгебры которого упрощается до пустого Креста. Пусть A * обозначает литерал , т. Е. Либо A, либо , безразлично. Тогда каждый силлогизм, который не требует, чтобы один или несколько терминов считались непустыми, является одной из 24 возможных перестановок обобщения Барбары , эквивалентная первичной алгебре . Эти 24 возможных перестановки включают 19 силлогистических форм, признанных действительными в аристотелевской и средневековой логике . Этот первичный алгебраический перевод силлогистической логики также предполагает, что первичная алгебра может интерпретировать монадическую и терминологическую логику , и что первичная алгебра имеет сходство с логическими схемами терминов Куайна (1982: Часть II). ${\ displaystyle {\ overline {A |}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {A ^ {*} \ B |}} \ \ {\ overline {{\ overline {B |}} \ C ^ {*} {\ Big |}}} \ A ^ {*} \ C ^ {*}}$

Пример расчета

Следующее вычисление нетривиальной теоремы Лейбница о Praeclarum иллюстрирует демонстративную силу первичной алгебры . Пусть C1 будет = A , C2 будет , C3 будет , J1a будет , и пусть OI будет означать, что переменные и подформулы были переупорядочены таким образом, чтобы это допускали коммутативность и ассоциативность. ${\ displaystyle {\ overline {{\ overline {A |}} {\ Big |}}}}$ ${\ Displaystyle A \ {\ overline {A \ B |}} = A \ {\ overline {B |}}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ \ |}} \ A = {\ overline {\ \ |}}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {A |}} \ A = {\ overline {\ \ |}}}$

[( P → R ) ∧ ( Q → S )] → [( P ∧ Q ) → ( R ∧ S )].

Praeclarum Theorema .

п

р

Q

S

п

Q

р

S

.

перевод первичной алгебры

п

р

Q

S

п

Q

р

S

.

C1.

п

р

Q

S

п

Q

р

S

.

C1.

п

р

Q

S

Q

р

S

.

OI.

п

р

Q

S

Q

р

S

.

C2.

п

р

Q

S

р

S

.

OI.

п

р

Q

S

р

S

.

C2.

п

Q

S

р

S

.

OI.

п

Q

S

р

S

.

C2.

п

Q

S

р

S

.

C1.

п

Q

S

р

.

OI.

п

Q

B

р

.

J1a.

B

п

Q

р

.

OI.

B

C3.

{\ displaystyle \ square}

Отношение к магмам

Первичной алгебра воплощает в себе точку , отмеченную Хантингтон в 1933 году: Булева алгебра требует, в дополнение к одной одноместной операции , один, а не два, бинарных операций . Отсюда редко упоминаемый факт, что булевы алгебры - это магмы . (Магмы назывались группоидами, пока последний термин не был присвоен теорией категорий .) Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что первичная алгебра является коммутативной :

Полугруппа, потому что сопоставление первичной алгебры коммутирует и объединяет ;
Моноид с единичным элементом в силу J0 .

Группы также требуют унарной операции , называемой обратной , групповой аналог логического дополнения . Позвольте обозначить обратный к . Обозначим через единичный элемент группы . Тогда группы и первичная алгебра имеют одинаковые сигнатуры , а именно, они обе являются алгебрами типа 〈2,1,0〉. Следовательно, первичная алгебра является граничной алгеброй . Аксиомы абелевой группы в граничных обозначениях таковы: ${\ displaystyle \ langle - \ -, {\ overline {- \ |}}, {\ overline {\ \ |}} \ rangle}$

G1 . abc = acb (предполагается ассоциация слева);
G2 .
G3 . .

Из G1 и G2 можно вывести коммутативность и ассоциативность конкатенации, как указано выше. Обратите внимание, что G3 и J1a идентичны. G2 и J0 будут идентичны, если = заменить A2 . Это определяющее арифметическое тождество теории групп в граничных обозначениях.

Первичная алгебра отличается от абелевой группы двумя способами:

Из A2 следует, что ≠ . Если бы первичная алгебра была группой , = было бы, и одно из a = или a = a должно было бы быть следствием первичной алгебры . Обратите внимание, что и являются взаимными дополнениями к первичной алгебре , как того требует теория групп, так что это верно как для теории групп, так и для первичной алгебры ; ${\ Displaystyle {\ overline {\ {\ overline {\ {\ overline {\ \ |}} \ {\ Big |}}} \ {\ Bigg |}}} = {\ overline {\ \ |}}}$
C2 наиболее четко отделяет первичную алгебру от других магм, потому что C2 позволяет продемонстрировать закон поглощения, который определяет решетки , и закон распределения, центральный для булевой алгебры .

И A2, и C2 следуют из того, что B является упорядоченным множеством .

Уравнения второй степени (Глава 11)

Глава 11 LoF вводит уравнения второй степени , составленные из рекурсивных формул, которые можно рассматривать как имеющие «бесконечную» глубину. Некоторые рекурсивные формулы упрощаются до отмеченного или немаркированного состояния. Другие «колеблются» бесконечно между двумя состояниями в зависимости от того, четная или нечетная заданная глубина. В частности, определенные рекурсивные формулы можно интерпретировать как колеблющиеся между истинным и ложным в течение последовательных интервалов времени, и в этом случае считается, что формула имеет «мнимое» значение истинности. Таким образом, поток времени можно ввести в первичную алгебру .

Терни (1986) показывает, как эти рекурсивные формулы могут быть интерпретированы с помощью Ограниченной рекурсивной арифметики (RRA) Алонзо Черча . Черч представил RRA в 1955 году как аксиоматическую формализацию конечных автоматов . Терни (1986) представляет общий метод перевода уравнений второй степени в RRA Черча, иллюстрируя его метод с использованием формул E1 , E2 и E4 в главе 11 LoF . Этот перевод на RRA проливает свет на имена, которые Спенсер-Браун дал E1 и E4 , а именно «память» и «счетчик». Таким образом, RRA формализует и разъясняет представление LoF о мнимой ценности истины.

Связанных с работой

Готфрид Лейбниц в меморандумах, опубликованных не ранее конца 19 - начала 20 веков, изобрел булеву логику . Его обозначение было изоморфно из LOF : конкатенация читать вместе , и «не- ( X )» читается как дополнение в X . Признание новаторской роли Лейбница в алгебраической логике было предсказано Льюисом (1918) и Решером (1954). Но полной оценки достижений Лейбница нужно было дождаться работы Вольфганга Ленцена, опубликованной в 1980-х годах и рассмотренной в Lenzen (2004).

Чарльз Сандерс Пирс (1839–1914) предвосхитил первичную алгебру в трех направлениях работы:

В двух статьях, написанных им в 1886 году, была предложена логическая алгебра, использующая только один символ, ленту , почти идентичный Кресту LoF . Семантика стримера идентична семантике Креста, за исключением того, что Пирс никогда не писал стримера, под которым ничего не было. Отрывок из одной из этих статей был опубликован в 1976 году, но они не были опубликованы полностью до 1993 года.
В статье энциклопедии 1902 года Пирс обозначил булеву алгебру и сентенциальную логику в манере этой статьи, за исключением того, что он использовал два стиля скобок, переключаясь между '(', ')' и '[', ']' с каждым приращением в глубина формулы.
Синтаксис его альфа - экзистенциальных графов просто конкатенация , читать вместе , и приложение к нему овалами, читается как отрицание . Если первичная алгебра конкатенация читается как совместно , то эти графы изоморфны к первичной алгебре (Кауфман 2001).

По иронии судьбы, LoF цитирует т. 4 Сборника статей Пирса , источник формализмов в (2) и (3) выше. (1) - (3) были практически неизвестны в то время, когда (1960-е) и в месте написания (UK) LoF . Семиотика Пирса , о которой LoF умалчивает, еще может пролить свет на философские аспекты LoF .

Кауфман (2001) обсуждает другую нотацию, аналогичную LoF , в статье 1917 года Жана Никода , ученика Бертрана Рассела .

Вышеупомянутые формализмы, как и первичная алгебра , представляют собой все примеры граничной математики , т. Е. Математики, синтаксис которой ограничен буквами и скобками (ограничивающими элементами ). Такой минималистский синтаксис - это «граничная нотация». В граничной записи не используются символы инфиксных , префиксных или постфиксных операторов. Очень известные фигурные скобки ('{', '}') теории множеств можно рассматривать как граничные обозначения.

Работа Лейбница, Пирса и Никода не связана с метатеорией, как они писали перед знаменательной статьей Эмиля Поста 1920 года (которую цитирует LoF ), доказывающей полноту сентенциональной логики , и до того, как Гильберт и Лукасевич показали, как доказать независимость аксиом, используя модели .

Крейг (1979) утверждал, что мир и то, как люди воспринимают этот мир и взаимодействуют с ним, имеет богатую булеву структуру. Крейг был ортодоксальным логиком и знатоком алгебраической логики .

Когнитивная наука второго поколения появилась в 1970-х, после того, как был написан LoF . О когнитивной науке и ее значении для булевой алгебры, логики и теории множеств см. Lakoff (1987) (см. Статьи указателя в разделе «Примеры схем изображений: контейнер») и Lakoff and Núñez (2001). Ни одна из книг не цитирует LoF .

Биологи и ученые-когнитивисты Умберто Матурана и его ученик Франсиско Варела обсуждают LoF в своих трудах, которые определяют «различие» как фундаментальный познавательный акт. Психолог из Беркли и когнитивист Элеонора Рош много писала о тесно связанном с этим понятии категоризации.

Другие формальные системы с возможным сродством к первичной алгебре включают:

Мереология, которая обычно имеет решетчатую структуру, очень похожую на структуру булевой алгебры. В течение нескольких авторов, мереологии просто модель из булевой алгебры и , следовательно , первичной алгебры , а также.
Мереотопология , которая по своей сути богаче булевой алгебры;
Система Уайтхеда (1934), фундаментальным примитивом которой является «индикация».

Первичная арифметика и алгебра - это минималистский формализм для сентенциальной логики и булевой алгебры. Другие минималистские формализмы, обладающие силой теории множеств, включают:

Лямбда - исчисление ;
Комбинаторная логика с двумя ( S и K ) или даже одним ( X ) примитивными комбинаторами;
Математическая логика выполнена с помощью всего лишь трех примитивных понятий: одно связующее, И-НЕ (чей перевод первичной алгебры - или, двойственно ), универсальная квантификация и одна бинарная атомарная формула , обозначающая членство в множестве . Это система Куайна (1951). ${\ displaystyle {\ overline {A \ \ B \ |}}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {A |}} \ \ {\ overline {B |}}}$
В бета - экзистенциальные графики , с одним бинарным предикатом , обозначающим набор членов. Это еще предстоит изучить. В альфа - графики , упомянутые выше , являются частным случаем бета - графов.

Смотрите также

Заметки

Внешние ссылки

Законы формы , архив веб-сайта Ричарда Шоупа.
Выступления Спенсера-Брауна в Эсалене, 1973 г. Самореферентные формы вводятся в разделе, озаглавленном «Степень уравнений и теория типов».
Луи Х. Кауфман , " Алгебра ящиков, граничная математика, логика и законы формы ".
Кисель, Матиас, « несистематический , но легко понять , введение в Законы Формы . »
В Закономерности формы Форума , где первичная алгебра и связанные с ними формализм были обсуждены с 2002 года.
Встреча Моше Кляйна с GSB
Маркированный знак , поэтапное введение в идеи законов формы
Исчисление BF и квадратный корень отрицания Луи Кауфмана и Артура Коллингса; он расширяет законы формы, добавляя воображаемое логическое значение. (Воображаемые логические значения представлены в главе 11 книги « Законы формы» .)
Курс «Законы формы» - бесплатный онлайн-курс, знакомящий людей с основной частью текста «Законов формы» Леона Конрада, последнего ученика Спенсер-Брауна, который изучал работу с автором.

Languages

In other projects

Законы формы -Laws of Form

СОДЕРЖАНИЕ

Книга

Прием

Форма (Глава 1)

Первичная арифметика (глава 4)

Понятие канона

Первичная алгебра (глава 6)

Синтаксис

Правила логической эквивалентности

Инициалы

Теория доказательств

Интерпретации

Двухэлементная булева алгебра 2

Предложения логика

Силлогизмы

Пример расчета

Отношение к магмам

Уравнения второй степени (Глава 11)

Связанных с работой

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

Внешние ссылки