Язык математики - Language of mathematics

Язык математики является система , которая используется математиками общаться математические идеи между собой, и отличается от естественных языков в том , что он стремится общаться абстрактные, логические идеи с точностью и однозначностью.

Этот язык состоит из субстрата некоторого естественного языка (например, английского ), использующего технические термины и грамматические соглашения, характерные для математического дискурса (см. Математический жаргон ). Он также дополнен узкоспециализированной символической записью математических формул .

Подобно естественным языкам, дискурс, использующий язык математики, может использовать шкалу регистров . Исследовательские статьи в академических журналах являются источниками для подробных теоретических дискуссий об идеях, касающихся математики и ее значения для общества.

Что такое язык?

Вот несколько определений языка :

  • Систематические средства общения с помощью звуков или условных символов.
  • Система слов, используемых в определенной дисциплине
  • Система абстрактных кодов, которые представляют предшествующие события и концепции.
  • Код, который мы все используем, чтобы выражать себя и общаться с другими - Глоссарий терминов по речевой и языковой терапии
  • Множество (конечное или бесконечное) предложений, каждое из которых имеет конечную длину и построено из конечного набора элементов - Ноам Хомский .

Эти определения описывают язык с точки зрения следующих компонентов:

  • Словарь символов или слов
  • Грамматика , состоящая из правил , как эти символы могут быть использованы
  • «Синтаксис» или пропозициональная структура, которая помещает символы в линейные структуры.
  • «Дискурс» или «повествование», состоящий из цепочек синтаксических предложений.
  • Сообщество людей , которые используют и понимают эти символы
  • Диапазон значений, которые могут быть переданы с помощью этих символов.

Каждый из этих компонентов также присутствует в языке математики.

Словарь математики

Математическая нотация ассимилировала символы из многих различных алфавитов (например, греческий , иврит , латинский ) и шрифты (например, курсив , каллиграфия, жирный шрифт на доске ). Он также включает символы, специфичные для математики, такие как

Математическая система обозначений занимает центральное место в современной математике. Хотя алгебра из Аль-Хореого не использовать такие символы, то решить уравнения , используя многие другие правила , чем используются сегодня с символической записью, и были большие трудности работы с несколькими переменными (которые через символическое обозначение может быть просто обозначаемой как и т.д.) .

Иногда формулы невозможно понять без письменного или устного объяснения, но часто их бывает достаточно. В других случаях их может быть трудно прочитать вслух или информация теряется при переводе в слова, например, когда задействованы несколько факторов в скобках или когда манипулируют сложной структурой, такой как матрица .

Как и любая другая дисциплина, математика также имеет свой собственный бренд технической терминологии . В некоторых случаях слово в общем употреблении может иметь другое и конкретное значение в математике (например, в случаях « группа» , « кольцо », « поле », « категория », « термин » и « фактор »). Дополнительные примеры см. В разделе « Математическая терминология» .

В других случаях специальные термины, такие как « тензор », « фрактал » и « функтор », были созданы исключительно для использования в математике. Математические утверждения имеют свою собственную умеренно сложную таксономию, подразделяющуюся на аксиомы , гипотезы , предложения , теоремы , леммы и следствия . В математике есть стандартные фразы, употребляемые в определенных значениях, например, « если и только если », « необходимо и достаточно » и « без потери общности ». Такие фразы известны как математический жаргон .

Словарь математики также имеет визуальные элементы. Диаграммы неформально используются на классных досках, а также более формально используются в опубликованных работах. При правильном использовании диаграммы легче отображают схематическую информацию. Диаграммы также могут помочь визуально и помочь в интуитивных вычислениях. Иногда, как в наглядном доказательстве , диаграмма может даже служить полным обоснованием предложения. Система условных обозначений диаграмм может развиться в математическую нотацию, такую ​​как случай графической нотации Пенроуза для тензорных произведений.

Грамматика математики

Математическая нотация, используемая для формул, имеет собственную грамматику , не зависящую от конкретного естественного языка, но совместно используемую математиками во всем мире независимо от их родных языков. Сюда входят соглашения о том, что формулы пишутся преимущественно слева направо , даже если система письма основного языка - справа налево, и что латинский алфавит обычно используется для простых переменных и параметров . Формула, такая как

понимается как китайскими, так и сирийскими математиками.

Такие математические формулы могут быть частью речи во фразе на естественном языке или даже выступать в роли полноценного предложения. Например, приведенная выше формула, неравенство , может рассматриваться как предложение или независимое предложение, в котором символ больше или равно играет роль символического глагола . В осторожной речи это можно прояснить, произнося «≥» как «больше или равно», но в неформальном контексте математики могут сократить это до «больше или равно» и все же обращаться с этим грамматически как с глаголом. Хорошим примером является название книги. Почему E = mc 2 ? ; здесь знак равенства играет роль инфинитива .

Математические формулы можно озвучивать (т. Е. Произносить вслух). Систему озвучивания формул необходимо изучить, и она зависит от основного естественного языка. Например, при использовании английского языка выражение « ƒ ( x )» обычно произносится как «eff of eks», где вставка предлога «of» не предполагается самой нотацией. Выражение « », с другой стороны, обычно произносится как «ди-почему-ди-экс» с полным отсутствием дроби , которая в других контекстах часто произносится как «сверх». Название книги Почему E = mc 2 ? произносится вслух: Почему ee равно em see-square? .

Для математического дискурса - как формального, так и неформального - характерно использование включающего первого лица множественного числа «мы» для обозначения: «аудитория (или читатель) вместе с говорящим (или автором)».

Типографские условные обозначения

Как и в случае с разговорным математическим языком, в письменном или печатном математическом дискурсе математические выражения, содержащие символический глагол, например , обычно рассматриваются как придаточные (зависимые или независимые) в предложениях или как полные предложения, и математики и математики расценивают их как таковые. физики-теоретики. В частности, это верно как для встроенных, так и для отображаемых выражений. Напротив, авторы других естественнонаучных дисциплин могут стараться избегать использования уравнений в предложениях и могут обращаться с отображаемыми выражениями так же, как с рисунками или схемами.

Например, математик мог бы написать:

Если и сходящиеся последовательности вещественных чисел, и , , то , определенно для всех положительных целых чисел с помощью , сходится, и
.

В этом утверждении " " (в котором читается как "ay en" или, возможно, более формально, как "последовательность ay en") и " " рассматриваются как существительные, в то время как " " (читай: предел as n имеет тенденцию до бесконечности равно 'большой A'), " " и " " читаются как независимые предложения, а " " читается как "уравнение равно плюсу ".

Более того, предложение заканчивается после отображаемого уравнения, на что указывает точка после " ". С точки зрения правил набора текста, в широком смысле, стандартные математические функции, такие как sin и операции, такие как + , а также символы пунктуации, включая различные скобки , задаются латинским шрифтом , а переменные латинского алфавита - курсивом . С другой стороны, матрицы, векторы и другие объекты, состоящие из компонентов, иногда выделяются полужирным шрифтом (в основном в элементарных текстах), а иногда и курсивом (в основном в сложных текстах).

(Есть некоторые разногласия относительно того, следует ли выделять курсивом стандартные константы, такие как e , π и i = (–1) 1/2 , или «d» в dy / dx . Греческие буквы верхнего регистра почти всегда вводятся римский, в то время как строчные буквы часто выделяются курсивом.)

Также существует ряд соглашений, или, точнее, традиций, для той части алфавита, из которой выбираются имена переменных. Например, i , j , k , l , m , n обычно зарезервированы для целых чисел, w и z часто используются для комплексных чисел, а a , b , c , α, β, γ используются для действительных чисел. Буквы x , y , z часто используются для поиска неизвестных или в качестве аргументов функции, в то время как a , b , c используются для коэффициентов, а f , g , h в основном используются как имена функций. Эти соглашения не являются жесткими правилами, но вместо этого являются предложениями, которые необходимо соблюдать, чтобы улучшить читаемость и обеспечить интуитивное понимание природы данного объекта, так что человеку не нужно ни запоминать, ни проверять введение математического объекта.

Определения сигнализируются такими словами, как «мы звоним», «мы говорим» или «мы имеем в виду», или такими утверждениями, как «[ объект ] есть [ слово, которое необходимо определить ], если [ условие ]» (например, «Набор закрыт если он содержит все свои предельные точки. "). В качестве специального соглашения слово «если» в таком определении следует интерпретировать как « тогда и только тогда, когда ».

Теоремы обычно имеют заголовок или метку, выделенную жирным шрифтом, и могут даже идентифицировать их создателя (например, « Теорема 1.4 (Вейль). »). Сразу же следует формулировка теоремы, которая, в свою очередь, обычно выделяется курсивом. Доказательство теоремы обычно четко разграничивается, начиная со слова Доказательство , в то время как конец доказательства обозначается надгробием («∎ или □») или другим символом, либо буквами QED .

Языковое сообщество математиков

Математика используется математиками , которые образуют глобальное сообщество, состоящее из говорящих на многих языках. Он также используется студентами-математиками. Поскольку математика является частью начального образования почти во всех странах, почти все образованные люди в некоторой степени знакомы с чистой математикой. В современной математике очень мало культурных зависимостей или барьеров. Существуют международные математические соревнования, такие как Международная математическая олимпиада , и международное сотрудничество между профессиональными математиками является обычным явлением.

Лаконичное выражение

Сила математики заключается в экономии средств выражения идей, часто служащих науке. Горацио Берт Уильямс обратил внимание на влияние этой компактной формы на физику:

Учебники физики семидесяти пяти лет назад были намного больше, чем сейчас. И это несмотря на огромные дополнения к нашему знанию предмета. Но эти старые книги были объемными из-за подробных описаний явлений, которые мы теперь понимаем как то, что математик назвал бы частными случаями, понимаемыми в общих принципах.

В математике сам по себе , краткость глубока:

При написании статей, которые, вероятно, будут прочитаны только профессиональными математиками, авторы нередко пропускают так много промежуточных шагов, чтобы сжать свои статьи, так что заполнение пробелов даже при усердном использовании бумаги и карандаша может превратиться в немалую работу, особенно для подходя к теме впервые.

Уильямс цитирует Ампера как ученого, который обобщил свои открытия с помощью математики:

Гладкая и лаконичная демонстрация не обязательно должна быть задумана в этой законченной форме ... Мы вряд ли можем поверить, что Ампер открыл закон действия посредством эксперимента, который он описывает. Мы начинаем подозревать, что на самом деле, как он сам говорит нам, что он открыл закон каким-то способом, который он нам не продемонстрировал, и что, когда он впоследствии создал прекрасную демонстрацию, он удалил все следы строительных лесов, с помощью которых он поднял его.

Значение математики заключается в том, что логические процессы в разуме были систематизированы математикой:

Математика - это одновременно и свод истины, и особый язык, язык, более тщательно определенный и более абстрагированный, чем наше обычное средство мысли и выражения. Кроме того, он отличается от обычных языков в этой важной особенности: на него действуют правила манипулирования. После того, как утверждение преобразовано в математическую форму, им можно манипулировать в соответствии с этими правилами, и каждая конфигурация символов будет представлять факты в гармонии с теми, которые содержатся в исходном утверждении, и в зависимости от них. Теперь это очень близко к тому, что мы понимаем как действие структур мозга при выполнении интеллектуальных действий с символами обычного языка. Таким образом, в некотором смысле математик смог усовершенствовать устройство, с помощью которого часть работы логического мышления выполняется за пределами центральной нервной системы с тем контролем, который необходим для манипулирования символами в соответствии с правилами.

Эссе Уильямса было лекцией Гиббса, подготовленной для ученых в целом, и он был особенно обеспокоен тем, чтобы ученые-биологи не остались позади:

Не только химик и физик, но и биолог должен уметь читать математические статьи, если он не хочет быть отрезанным от возможности понимания важных коммуникаций в его собственной области науки. И здесь ситуация хуже, чем с неумением читать на иностранном языке. Работа на иностранном языке может быть переведена, но во многих случаях невозможно выразить с помощью символов обычного языка содержание математической статьи таким образом, чтобы передать знание логического процесса, с помощью которого были сделаны выводы. .

Значения математики

Математика используется для передачи информации по широкому кругу различных предметов. Вот три основные категории:

Математика может передавать множество значений, которые столь же широки (хотя и отличаются от), что и естественный язык. Как говорит английский математик Р.Л.Шварценбергер :

Мое собственное мнение, которое я разделяю со многими своими коллегами, заключается в том, что математика - это язык. Подобно английскому, латинскому или китайскому, есть определенные концепции, для которых математика особенно хорошо подходит: было бы так же глупо пытаться написать любовное стихотворение на языке математики, как и доказывать фундаментальную теорему алгебры, используя английский язык. .

Альтернативные виды

Некоторые определения языка, такие как ранние версии определения «конструктивных особенностей» Чарльза Хоккета , подчеркивают устную природу языка. Математика не может считаться языком в соответствии с этими определениями, поскольку это в первую очередь письменная форма общения (чтобы понять, почему, попробуйте прочитать уравнения Максвелла вслух). Однако эти определения также дисквалифицируют жестовые языки , которые теперь признаются как языки сами по себе, независимо от разговорного языка.

Другие лингвисты считают, что между математикой и языком нельзя проводить достоверное сравнение, потому что они слишком разные:

Математика может показаться одновременно и большим, и меньшим, чем языком, поскольку, будучи ограниченными в своих языковых возможностях, она также, похоже, включает в себя форму мышления, имеющую что-то общее с искусством и музыкой. - Форд и Торф (1988)

Смотрите также

использованная литература

Библиография

  • Найт, Изабель Ф. (1968). Геометрический дух: аббат де Кондильяк и французское Просвещение . Нью-Хейвен: издательство Йельского университета.
  • RLE Schwarzenberger (2000), Язык геометрии , опубликовано в сборнике математического спектра , Applied Probability Trust.
  • Алан Форд и Ф. Дэвид Пит (1988), Роль языка в науке , Основы физики, том 18.
  • Кей О'Халлоран (2004) Математический дискурс: язык, символизм и визуальные образы , Continuum ISBN  0826468578
  • Чарльз Уэллс (2017) Языки математики от abstractmath.org

внешние ссылки