Закон косинусов Ламберта - Lambert's cosine law

В оптике , Закон Ламберта говорит о том , что интенсивность излучения или сила света наблюдается от идеала диффузно отражающей поверхности или идеальный диффузный радиатор прямо пропорционален к косинусу угла & thetas между направлением падающего света и нормали к поверхности; I = I ₀ cos ( θ ) . Этот закон также известен как закон излучения косинуса или закон излучения Ламберта . Он назван в честь Иоганна Генриха Ламберта из его книги «Фотометрия» , опубликованной в 1760 году.

Поверхность, которая подчиняется закону Ламберта, называется ламбертовской и демонстрирует ламбертовское отражение . Такая поверхность имеет такое же сияние, если смотреть под любым углом. Это означает, например, что для человеческого глаза он имеет такую же видимую яркость (или яркость ). Он имеет такое же сияние, потому что, хотя излучаемая мощность от данного элемента площади уменьшается на косинус угла излучения, телесный угол, охватываемый поверхностью, видимой для наблюдателя, уменьшается на ту же самую величину. Поскольку соотношение между мощностью и телесным углом постоянно, яркость (мощность на единицу телесного угла на единицу площади проекции источника) остается неизменной.

Ламбертовские рассеиватели и радиаторы

Когда элемент площади излучается в результате освещения внешним источником, освещенность (энергия или фотоны / время / площадь), попадающая на этот элемент площади, будет пропорциональна косинусу угла между источником освещения и нормалью. Затем ламбертовский рассеиватель будет рассеивать этот свет по тому же закону косинуса, что и ламбертовский излучатель. Это означает, что, хотя яркость поверхности зависит от угла от нормали к источнику освещения, она не будет зависеть от угла от нормали к наблюдателю. Например, если бы Луна была ламбертовским рассеивателем, можно было бы ожидать, что ее рассеянная яркость заметно уменьшится по направлению к терминатору из-за увеличения угла, под которым солнечный свет падает на поверхность. Тот факт, что он не уменьшается, показывает, что Луна не является ламбертовским рассеивателем и на самом деле имеет тенденцию рассеивать больше света в наклонных углах, чем ламбертовский рассеиватель.

Излучение ламбертовского излучателя зависит не от количества падающего излучения, а скорее от излучения, исходящего от самого излучающего тела. Например, если бы Солнце было ламбертовским излучателем, можно было бы ожидать увидеть постоянную яркость по всему солнечному диску. Тот факт, что солнце демонстрирует потемнение к краям в видимой области, показывает, что это не ламбертовский излучатель. Черное тело является примером ламбертовского радиатора.

Детали эффекта равной яркости

Рисунок 1: Скорость излучения (фотонов / с) в нормальном и нестандартном направлениях. Число фотонов в секунду, направленных в любой клин, пропорционально его площади.

Рисунок 2: Наблюдаемая интенсивность (фотоны / (с · м ² · ср)) для нормального и необычного наблюдателя; dA ₀ - площадь апертуры наблюдения, а dΩ - телесный угол, образующий апертуру с точки зрения элемента излучающей области.

Ситуация для ламбертовской поверхности (излучающая или рассеивающая) проиллюстрирована на рисунках 1 и 2. Для концептуальной ясности мы будем мыслить в терминах фотонов, а не энергии или световой энергии . Каждый клин в окружности представляет собой равный угол dΩ произвольно выбранного размера, и для ламбертовской поверхности количество фотонов в секунду, испускаемых в каждый клин, пропорционально площади клина.

Длина каждого клина равна произведению диаметра окружности и cos ( θ ). Максимальная скорость излучения фотонов на единицу телесного угла происходит вдоль нормали и уменьшается до нуля при θ = 90 °. С математической точки зрения, яркость по нормали составляет I фотонов / (с · м ² · ср), а количество фотонов в секунду, излучаемых в вертикальный клин, составляет I dΩ dA . Число фотонов, излучаемых в клин под углом θ в секунду, равно I cos ( θ ) dΩ dA .

Рисунок 2 представляет то, что видит наблюдатель. Наблюдатель, находящийся непосредственно над элементом площади, будет видеть сцену через апертуру площади dA _0, а элемент площади dA будет иметь (телесный) угол dΩ ₀ , который является частью общего углового поля зрения наблюдателя сцена. Поскольку размер клина dΩ был выбран произвольно, для удобства мы можем предположить без ограничения общности, что он совпадает с телесным углом, образуемым апертурой, если "смотреть" из геометрического места элемента излучающей области dA. Таким образом, нормальный наблюдатель будет записывать такое же излучение I dΩ dA фотонов в секунду, полученное выше, и измеряет яркость

{\ displaystyle I_ {0} = {\ frac {I \, d \ Omega \, dA} {d \ Omega _ {0} \, dA_ {0}}}}

фотоны / (с · м ² · ср).

Наблюдатель под углом θ к нормали будет видеть сцену через ту же апертуру области dA ₀ (по-прежнему соответствующую клину dΩ ), и с этого наклонного обзора элемент площади dA укорочен и образует (телесный) угол dΩ ₀ cos ( θ ). Этот наблюдатель будет регистрировать I cos ( θ ) dΩ dA фотонов в секунду и, таким образом, будет измерять яркость

{\ displaystyle I_ {0} = {\ frac {I \ cos (\ theta) \, d \ Omega \, dA} {d \ Omega _ {0} \, \ cos (\ theta) \, dA_ {0} }} = {\ frac {I \, d \ Omega \, dA} {d \ Omega _ {0} \, dA_ {0}}}}

фотоны / (с · м ² · ср),

что то же самое, что и нормальный наблюдатель.

Связь пиковой силы света и светового потока

В общем, сила света точки на поверхности зависит от направления; для ламбертовской поверхности это распределение определяется законом косинуса с максимальной силой света в нормальном направлении. Таким образом , когда Lambertian предположение справедливо, то мы можем вычислить общий световой поток , от пиковой интенсивности светового , путем интегрирования закона косинуса: ${\ displaystyle F_ {tot}}$ ${\ displaystyle I_ {max}}$

{\ Displaystyle F_ {tot} = \ int \ limits _ {0} ^ {2 \ pi} \, \ int \ limits _ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos (\ theta) I_ {max} \ , \ sin (\ theta) \, \ operatorname {d} \ theta \, \ operatorname {d} \ phi}

{\ displaystyle = 2 \ pi \ cdot I_ {max} \ int \ limits _ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \, \ operatorname {d} \ theta}

{\ displaystyle = 2 \ pi \ cdot I_ {max} \ int \ limits _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ sin (2 \ theta)} {2}} \, \ operatorname {d } \ theta}

так что

{\ displaystyle F_ {tot} = \ pi \, \ mathrm {sr} \ cdot I_ {max}}

где - определитель матрицы Якоби для единичной сферы , и понимая, что это световой поток на стерадиан . Точно так же пиковая интенсивность будет от общего излучаемого светового потока. Для ламбертовских поверхностей один и тот же коэффициент связывает яркость со световой эмиссией , интенсивность излучения с лучистым потоком и яркость с лучистой эмиссией . Радианы и стерадианы, конечно, безразмерны, поэтому "rad" и "sr" включены только для ясности. ${\ Displaystyle \ грех (\ тета)}$ ${\ displaystyle I_ {max}}$ ${\ Displaystyle 1 / (\ пи \, \ mathrm {sr})}$ ${\ displaystyle \ pi \, \ mathrm {sr}}$

Пример: поверхность с яркостью, скажем, 100 кд / м ² (= 100 нит, типичный монитор ПК), если это идеальный излучатель Ламберта, будет иметь световое излучение 100 * π лм / м ² . Если его площадь составляет 0,1 м ² (монитор размером ~ 19 дюймов), то общий излучаемый свет или световой поток будет 31,4 лм.

Смотрите также

использованная литература

^ RCA Electro-Optics Handbook, стр.18далее
^ Современная оптическая инженерия, Уоррен Дж. Смит, McGraw-Hill, стр. 228, 256
^ Педротти и Педротти (1993). Введение в оптику . Прентис Холл . ISBN 0135015456.
^ Ламберт, Иоганн Генрих (1760). Photometria, sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae . Эберхард Клетт.
^ Инкропера и ДеВитт, Основы тепломассообмена , 5-е изд., Стр.710.

[RCAEOH-1] RCA Electro-Optics Handbook, стр.18далее

[SmithW-2] Современная оптическая инженерия, Уоррен Дж. Смит, McGraw-Hill, стр. 228, 256

[3] Педротти и Педротти (1993). Введение в оптику . Прентис Холл . ISBN 0135015456.

[4] Ламберт, Иоганн Генрих (1760). Photometria, sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae . Эберхард Клетт.

[5] Инкропера и ДеВитт, Основы тепломассообмена , 5-е изд., Стр.710.

Languages

In other projects