Снежинка Коха - Koch snowflake

Первые четыре итерации снежинки Коха
Первые семь итераций в анимации
Увеличение кривой Коха
Кох антиснежинка
Первые четыре итерации
Шестая итерация

Снежинки Коха (также известные как кривой Кох , Koch звезда , или остров Кох ) является фрактальным кривой и один из самых ранних фрактал были описаны. Он основан на кривой Коха, появившейся в 1904 году в статье шведского математика Хельге фон Коха «На непрерывной кривой без касательных, построенной из элементарной геометрии» .

Снежинка Коха может быть построена итеративно, в последовательности этапов. Первый этап представляет собой равносторонний треугольник, и каждый последующий этап формируется путем добавления внешних изгибов к каждой стороне предыдущего этапа, образуя меньшие равносторонние треугольники. Области, ограниченные последовательными этапами построения снежинки, сходятся к8/5раз больше площади исходного треугольника, а периметры последовательных стадий неограниченно увеличиваются. Следовательно, снежинка охватывает конечную площадь, но имеет бесконечный периметр .

Строительство

Снежинку Коха можно построить, начав с равностороннего треугольника , а затем рекурсивно изменив каждый отрезок линии следующим образом:

  1. разделите отрезок линии на три отрезка равной длины.
  2. нарисуйте равносторонний треугольник, у которого средний сегмент из шага 1 является его основанием и направлен наружу.
  3. удалите линейный сегмент, являющийся основанием треугольника из шага 2.

Первая итерация этого процесса дает очертание гексаграммы .

Снежинка Коха - это предел, к которому приблизились, поскольку вышеуказанные шаги выполняются бесконечно. Кривая Коха, первоначально описанная Хельге фон Кохом , построена с использованием только одной из трех сторон исходного треугольника. Другими словами, три кривые Коха образуют снежинку Коха.

Представление номинально плоской поверхности на основе кривой Коха можно аналогичным образом создать путем многократного сегментирования каждой линии в виде пилообразного узора сегментов с заданным углом.

Фрактальная шероховатая поверхность, построенная из нескольких итераций кривой Коха

Характеристики

Периметр снежинки Коха

Каждая итерация умножает количество сторон снежинки Коха на четыре, поэтому количество сторон после n итераций определяется как:

Если исходный равносторонний треугольник имеет стороны длиной s , длина каждой стороны снежинки после n итераций равна:

обратная степень, кратная трем исходной длине. Периметр снежинки после n итераций равен:

Кривая Коха имеет бесконечную длину , потому что общая длина кривой увеличивается в раз4/3с каждой итерацией. Каждая итерация создает в четыре раза больше сегментов линии, чем в предыдущей итерации, причем длина каждого из них составляет1/3длину отрезков на предыдущем этапе. Следовательно, длина кривой после n итераций будет (4/3) n умножить на периметр исходного треугольника и не ограничен, поскольку n стремится к бесконечности.

Предел периметра

Поскольку количество итераций стремится к бесконечности, предел периметра равен:

с тех пор |4/3|  > 1.

An пер 4/пер. 3-мерная мера существует, но пока не рассчитана. Придуманы только верхняя и нижняя границы.

Площадь снежинки Коха

На каждой итерации новый треугольник добавляется с каждой стороны предыдущей итерации, поэтому количество новых треугольников, добавленных на итерации n, составляет:

Площадь каждого нового треугольника, добавленного на итерации, равна 1/9площади каждого треугольника, добавленного на предыдущей итерации, поэтому площадь каждого треугольника, добавленного на итерации n, составляет:

где 0 является площадь исходного треугольника. Таким образом, общая новая площадь, добавленная на итерации n, составляет:

Общая площадь снежинки после n итераций составляет:

Сворачивание геометрической суммы дает:

Пределы площади

Предел площади составляет:

с тех пор |4/9|  <1.

Таким образом, площадь снежинки Коха равна 8/5площади исходного треугольника. Выражаясь через длину стороны s исходного треугольника, это:

Твердая революция

Объем тела вращения снежинки Коха вокруг оси симметрии исходного равностороннего треугольника единичной стороны равен

Прочие свойства

Снежинка Коха самовоспроизводится с шестью меньшими копиями, окружающими одну большую копию в центре. Следовательно, это irrep-7 irrep-плитка (см Rep-плитка для обсуждения).

Фрактальной размерности кривой Коха являетсяпер 4/пер. 3 ≈ 1,26186. Это больше , чем у линии (= 1) , но меньше , чем у Пеано «ы заполняющей пространство кривой (= 2).

Кривая Коха всюду непрерывна , но нигде не дифференцируема .

Тесселяция самолета

Тесселяция двух размеров снежинки Коха

Можно построить мозаику на плоскости копиями снежинок Коха двух разных размеров. Однако такая тесселяция невозможна с использованием снежинок только одного размера. Поскольку каждую снежинку Коха в тесселяции можно разделить на семь меньших снежинок двух разных размеров, также можно найти тесселяцию, в которой одновременно используется более двух размеров. Для облицовки плоскости можно использовать снежинки Коха и антиснежинки Коха одинакового размера.

Последовательность Туэ – Морзе и графика черепахи

Графика черепахи - это кривая, которая создается, если автомат запрограммирован с помощью последовательности. Если элементы последовательности Туэ – Морзе используются для выбора состояний программы:

  • Если t ( n ) = 0 , продвинемся на одну единицу,
  • Если t ( n ) = 1 , повернуть против часовой стрелки на уголπ/3,

полученная кривая сходится к снежинке Коха.

Представление как система Линденмайера

Кривая Коха может быть выражена следующей системой перезаписи ( система Линденмайера ):

Алфавит  : F
Константы  : +, -
Аксиома  : F
Правила производства :
F → F + F - F + F

Здесь F означает «тянуть вперед», - означает «повернуть направо на 60 °», а + означает «повернуть налево на 60 °».

Чтобы создать снежинку Коха, можно использовать F - F - F (равносторонний треугольник) в качестве аксиомы.

Варианты кривой Коха

Следуя концепции фон Коха, было разработано несколько вариантов кривой Коха, учитывающих прямые углы ( квадратичные ), другие углы ( Чезаро ), окружности и многогранники и их расширения в более высокие измерения (Sphereflake и Kochcube, соответственно).

Вариант ( размер , угол ) Иллюстрация Строительство
≤1D, угол 60-90 °
Фрактал Чезаро (85 °)
Фрактал Чезаро - это вариант кривой Коха с углом от 60 ° до 90 °.
Первые четыре итерации антиснежинки Cesàro (четыре изгиба 60 °, расположенные в квадрате 90 °)
≈1,46D, угол 90 °
Квадратичная кривая типа 1
Первые две итерации
1.5D, угол 90 °
Квадратичная кривая типа 2
Колбаса Минковского
Первые две итерации. Его фрактальная размерность равна3/2 и находится точно на полпути между размерностью 1 и 2. Поэтому его часто выбирают при изучении физических свойств нецелочисленных фрактальных объектов.
≤2D, угол 90 °
Третья итерация
Остров Минковского
Четыре квадратичные кривые типа 2, расположенные в квадрате
≈1.37D, угол 90 °
Квадратичная чешуйка
4 квадратичные кривые типа 1, расположенные в виде многоугольника: первые две итерации. Известная как « Колбаса Минковского », ее фрактальная размерность равнапер. 3/ln 5 = 1,36521.
≤2D, угол 90 °
Квадратичный антифлейк
Анти кривого крестика , квадратичный чешуйчатый тип 1, с кривыми , обращены внутрь , а не наружу ( Vicsek фрактальным )
≈1,49D, угол 90 °
Квадратичный крест
Еще одна вариация. Его фрактальная размерность равнапер 3.33/ln 5 = 1,49.
≤2D, угол 90 °
Квадратный остров
Квадратичная кривая, итерации 0, 1 и 2; измерениепер 18/пер 6≈1,61
≤2D, угол 60 °
поверхность фон Коха
Первые три итерации естественного продолжения кривой Коха в двух измерениях.
≤2D, угол 90 °
Первая (синий блок), вторая (плюс зеленые блоки), третья (плюс желтые блоки) и четвертая (плюс прозрачные блоки) итерации квадратичного фрактала Коха типа 1
Продолжение квадратичной кривой типа 1. На рисунке слева показан фрактал после второй итерации.
Анимация квадратичной поверхности
.
≤3D, любое
Кривая Коха в 3D
Трехмерный фрактал, построенный из кривых Коха. Форму можно рассматривать как трехмерное расширение кривого в том же смысле , что Серпинские пирамиды и Менгер губку можно считать расширения треугольника Серпинского и ковра Серпинского . Версия кривой, используемая для этой формы, использует углы 85 °.

Квадраты можно использовать для создания подобных фрактальных кривых. Начиная с единичного квадрата и добавляя к каждой стороне на каждой итерации квадрат с размером, равным одной трети квадратов на предыдущей итерации, можно показать, что как длина периметра, так и общая площадь определяются геометрической прогрессией. Прогрессия для площади сходится к 2, в то время как прогрессия для периметра расходится до бесконечности, так что, как и в случае снежинки Коха, у нас есть конечная площадь, ограниченная бесконечной фрактальной кривой. Результирующая область заполняет квадрат с тем же центром, что и исходная, но в два раза больше площади и вращается наπ/4 радиан, периметр соприкасается, но никогда не перекрывает себя.

Общая площадь покрытия на n- й итерации составляет:

а общая длина периметра составляет:

который приближается к бесконечности с увеличением n .

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки

Внешнее видео
значок видео Кох Снежинка Фрактал
- Ханская академия