Иордания мера - Jordan measure


Из Википедии, свободной энциклопедии

В математике , то мера Пеано-Жордана (также известный как содержание Jordan ) является расширением понятия размера ( длины , площади , объема ) до более сложных форм , чем, например, треугольник , диск , или параллелепипеда .

Оказывается, что для набора , чтобы Иордания измерения должно быть хорошо себя в определенном узком смысле. По этой причине, теперь чаще работать с мерой Лебега , которая является продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств. С исторической точки зрения, мера Джордан пришел первым, к концу девятнадцатого века. По историческим причинам, термин Иордания мера теперь хорошо установлена, несмотря на то , что она не является истинной мерой в ее современном определении, поскольку Иордания-измеримые множества не образуют а-алгебру. Например, одноэлементные множества в каждом есть мера Жордана 0, а , счетное объединение их, не Жордан-измеримо. По этой причине некоторые авторы предпочитают использовать термин содержание Джордана (см статьи по содержанию ) .

Мера Пеано-Жордана назван в честь его создателей, то французский математик Жордан , и итальянский математик Пеано .

Иордания мера «простых множеств»

Простой набор, по определению, объединение (возможно перекрывающихся) прямоугольников.
Простой набор сверху разложить в виде объединения непересекающихся прямоугольников.

Рассмотрим евклидово пространство R п . Начинают с учетом продуктов ограниченных интервалов

которые закрыты на левом конце и открыт на правом конце (полуинтервалов технический выбор, как мы увидим ниже, можно использовать закрытые или открытые интервалы , если предпочтительнее). Такой набор будет называться п - мерный прямоугольник , или просто прямоугольник . Один определяет меру Жордана такого прямоугольника , чтобы быть продуктом длин интервалов:

Далее, один считают простые наборы , иногда называемых polyrectangles , которые являются конечным объединением прямоугольников,

для любого к ≥1.

Никто не может определить меру Жордана S просто как сумма мер отдельных прямоугольников, поскольку такое представление S далеко не уникален, и может быть значительные совпадения между прямоугольниками.

К счастью, любой такой простой набор S может быть переписан в виде объединения другого конечного семейства прямоугольников, прямоугольники , которые этот раз взаимно пересекаются , а затем один определяет меру Жордан м ( S ) в виде суммы мер непересекающихся прямоугольников.

Можно показать , что это определение меры Жордана S не зависит от представления S в виде конечного объединения непересекающихся прямоугольников. Именно в «переписывании» шаг , что предположение прямоугольников выполнены из полуоткрытых интервалов используется.

Расширение более сложных наборов

Набор (представленный в картине области внутри синей кривой) Жордан измеримый, если и только если оно может быть хорошо аппроксимировано как изнутри, так и снаружи простых множества (их границы показаны в темно-зеленый и темно-розовом, соответственно) ,

Обратите внимание на то, что набор, который представляет собой произведение замкнутых интервалов,

это не просто набор, и ни один не является шаром . Таким образом, до сих пор множество Жордана измеримых множеств по - прежнему очень ограничено. Ключевым шагом затем определяя ограниченный набор будет Джордан измеримы , если она «хорошо аппроксимируется» простыми множествами, точно таким же образом , как функции по Риману , если она хорошо аппроксимируется кусочно-постоянными функциями.

Формально для ограниченного множества B , определить его внутреннюю меру Джордана , как

и его внешняя мера , как

где нижняя грань и верхняя грань берется по простых множеств S . Множество В называется Джордан измеримым , если внутренняя мера B равна внешней меры. Общая стоимость двух мер , то просто называется мерой Жордана B .

Оказывается , что все прямоугольники (открытые или закрытые), а также все шары, симплексов и т.д., Иордания измеримыми. Кроме того , если рассматривать две непрерывные функции , множество точек между графиками этими функциями Жордан измерима до тех пор , как множество ограниченно и общая область два функций Джордан измеримой. Любое конечное объединение и пересечение Жордана измеримых множеств Джордан измеримы, а также разница множество любых двух измеримых множеств Жордана. Компактное множество не обязательно Джордан измеримое. Например, жир множество Кантора не является. Его внутренняя мера Джордан исчезает, так как его дополнение является плотным ; Однако, его внешняя мера Джордан не обращается в нуль, так как он не может быть меньше (на самом деле, равно) его мера Лебега. Кроме того , ограниченное открытое множество не обязательно Джордан измеримое. Например, дополнение жира множества Кантора ( в пределах интервала) нет. Ограниченный набор Жордан измеримый , если и только если его индикаторная функция является интегрируема по Риман . [1]

Эквивалентна, для ограниченного множества B внутренней Жордана меры B является мера Лебега внутренней частью B и внешней меры Жордана является мерой Лебега закрытия . Отсюда следует , что ограниченное множество Жордану измеримым , если и только если его граница имеет нулевую меру Лебега. (Или , что эквивалентно, если граница имеет Джордана меру нуль, эквивалентность имеет место в силу компактности границы.)

Мера Лебега

Это последнее свойство существенно ограничивает типы множеств, Джордан измеримого. Например, множество рациональных чисел , содержащиеся в интервале [0,1] , то не Джордан измеримы, так как ее граница [0,1] , который не является Жордан меры нуля. Наглядно однако, множество рациональных чисел является «небольшим» набором, так как она является счетной , и он должен иметь «размер» ноль. Это действительно так, но только если заменить меру Жордана с мерой Лебега . Мера Лебега множества такая же , как его мера Жордана до тех пор , как этот набор имеет меру Жордана. Тем не менее, эта мера Лебега определяется для более широкого класса множеств, как множество рациональных чисел в интервале упомянутого выше, а также для множеств , которые могут быть неограниченными или фрактал . Кроме того , эта мера Лебега, в отличие от меры Жордана, является истинной мерой , то есть любое счетное объединение измеримых по Лебегу множеств измерим по Лебегу, а счетные объединения Иордании измеримых множеств не должны быть измеримой Джордан.

Рекомендации

  • Эммануэле DiBenedetto (2002). Реальный анализ . Базель, Швейцария: Birkhäuser. ISBN  0-8176-4231-5 .
  • Рихард Курант; Fritz Джон (1999). Введение Исчисление и анализ Том II / 1: Главы 1 - 4 (Classics в математике) . Berlin: Springer. ISBN  3-540-66569-2 .

внешняя ссылка