Число Якобсталя - Jacobsthal number

В математике числа Якобсталя представляют собой целочисленную последовательность, названную в честь немецкого математика Эрнста Якобсталя . Как и соответствующие числа Фибоначчи , они представляют собой особый тип последовательности Люка, для которой P  = 1 и Q  = −2, и определяются аналогичным рекуррентным соотношением : проще говоря, последовательность начинается с 0 и 1, затем каждая следующая Число находится путем добавления числа перед ним к удвоенному числу перед ним. Первые числа Якобсталя: ${\ displaystyle U_ {n} (P, Q)}$

0 , 1 , 1, 3 , 5 , 11 , 21 , 43 , 85 , 171 , 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525,… (последовательность A001045 в OEIS )

Якобсталя простое это число Якобсталя , что также премьер . Первые простые числа Якобсталя:

3, 5, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651, 201487636602438195784363, +845100400152152934331135470251, 56713727820156410577229101238628035243, ... (последовательность A049883 в OEIS )

Числа Якобсталя

Числа Якобсталя определяются рекуррентным соотношением:

${\ displaystyle J_ {n} = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} n = 0; \\ 1 & {\ mbox {if}} n = 1; \\ J_ {n-1} + 2J_ {n-2} & {\ mbox {if}} n> 1. \\\ end {case}}}$

Следующее число Якобсталя также дается формулой рекурсии:

${\ Displaystyle J_ {п + 1} = 2J_ {п} + (- 1) ^ {п} \ ,,}$

или по:

${\ Displaystyle J_ {n + 1} = 2 ^ {n} -J_ {n}. \,}$

Первой формуле рекурсии выше также удовлетворяют степени двойки.

Число Якобсталя в определенной точке последовательности может быть вычислено непосредственно с использованием уравнения в замкнутой форме:

${\ displaystyle J_ {n} = {\ frac {2 ^ {n} - (- 1) ^ {n}} {3}}.}$

Производящая функция для чисел Якобсталя является

${\ displaystyle {\ frac {x} {(1 + x) (1-2x)}}.}$

Сумма обратных чисел Якобсталя составляет приблизительно 2,7186, что немного больше, чем e .

Числа Якобсталя могут быть расширены до отрицательных индексов с помощью рекуррентного соотношения или явной формулы, что дает

${\ Displaystyle J _ {- n} = (- 1) ^ {n + 1} J_ {n} / 2 ^ {n}}$(см. OEIS :  A077925 )

Имеет место следующее тождество

${\ displaystyle 2 ^ {n} (J _ {- n} + J_ {n}) = 3J_ {n} ^ {2}}$(см. OEIS :  A139818 )

Числа Якобсталя – Лукаса

Числа Якобстала – Лукаса представляют дополнительную последовательность Лукаса . Они удовлетворяют тому же рекуррентному соотношению, что и числа Якобсталя, но имеют разные начальные значения: ${\ displaystyle V_ {n} (1, -2)}$

${\ displaystyle j_ {n} = {\ begin {case} 2 & {\ mbox {if}} n = 0; \\ 1 & {\ mbox {if}} n = 1; \\ j_ {n-1} + 2j_ {n-2} & {\ mbox {if}} n> 1. \\\ end {case}}}$

Следующее число Якобстала – Лукаса также удовлетворяет:

${\ displaystyle j_ {n + 1} = 2j_ {n} -3 (-1) ^ {n}. \,}$

Число Якобсталя – Лукаса в определенной точке последовательности может быть вычислено непосредственно с использованием уравнения в замкнутой форме:

${\ displaystyle j_ {n} = 2 ^ {n} + (- 1) ^ {n}. \,}$

Первые числа Якобсталя – Лукаса:

2 , 1 , 5 , 7 , 17 , 31 , 65 , 127 , 257 , 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16385, 32767, 65537 , 131071, 262145, 524287, 1048577,… (последовательность A014551 в OEIS ) .

Якобсталя Продолговатые числа

Первые продолговатые числа Якобсталя: 0, 1, 3, 15, 55, 231, 903, 3655, 14535, 58311,… (последовательность A084175 в OEIS )

${\ displaystyle Jo_ {n} = J_ {n} J_ {n + 1}}$

использованная литература