Изопериметрическая точка - Isoperimetric point

Изопериметрическая точка.svg

В геометрии изопериметрическая точка - это особая точка, связанная с плоским треугольником . Этот термин был первоначально введен Г. Р. Велдкампом в статье, опубликованной в American Mathematical Monthly в 1985 году для обозначения точки P на плоскости треугольника ABC, обладающей тем свойством, что треугольники PBC , PCA и PAB имеют изопериметры, т. Е. собственность, которая

PB + BC + CP = ПК + CA + AP = PA + AB + BP .

Изопериметрические точки по Вельдкампу существуют только для треугольников, удовлетворяющих определенным условиям. Изопериметрическая точка треугольника ABC по Вельдкампу, если она существует, имеет следующие трилинейные координаты .

(сек ( A / 2) cos ( B / 2) cos ( C / 2) - 1, сек ( B / 2) cos ( C / 2) cos ( A / 2) - 1, сек ( C / 2) cos ( A / 2) cos ( B / 2) - 1)

Данному треугольнику ABC можно сопоставить точку P, имеющую трилинейные координаты, указанные выше. Эта точка представляет собой треугольник центр и Кларк Kimberling «s Энциклопедию Triangle центров (ETC) это называется изопериметрической точка треугольника ABC . Он обозначен как центр треугольника X (175). Точка X (175) не обязательно должна быть изопериметрической точкой треугольника ABC в смысле Вельдкампа. Однако если существует изопериметрическая точка треугольника ABC по Вельдкампу, то она будет идентична точке X (175).

Точка P с тем свойством, что треугольники PBC , PCA и PAB имеют одинаковый периметр, была изучена еще в 1890 году в статье Эмиля Лемуана .

Существование изопериметрической точки по Вельдкампу

Треугольник ABC, в котором центр треугольника X (175) не является изопериметрической точкой в ​​смысле Вельдкампа.

Пусть ABC - произвольный треугольник. Пусть стороны этого треугольника равны a , b и c . Пусть его описанный радиус равен R, а внутренний радиус равен r . Необходимое и достаточное условие существования изопериметрической точки по Вельдкампу можно сформулировать следующим образом.

Треугольник ABC имеет изопериметрическую точку по Вельдкампу тогда и только тогда, когда a + b + c > 4 R + r .

Для всех остроугольных треугольников ABC мы имеем a + b + c > 4 R + r , и поэтому все остроугольные треугольники имеют изопериметрические точки в смысле Вельдкампа.

Характеристики

Обозначим через P центр треугольника X (175) треугольника ABC .

  • P лежит на прямой, соединяющей центр и точку Жергонна треугольника ABC .
  • Если P - изопериметрическая точка треугольника ABC в смысле Вельдкампа , то вневписанные окружности треугольников PBC , PCA , PAB попарно касаются друг друга, а P - их радикальный центр.
  • Если P - изопериметрическая точка треугольника ABC по Вельдкампу, то периметры треугольников PBC , PCA , PAB равны 2 Δ / | (4 R + r - ( a + b + c )) | где Δ - площадь, R - радиус описанной окружности, r - внутренний радиус, а a , b , c - длины сторон треугольника ABC .

Дерзкие круги

Внутренняя и внешняя окружности Содди в случае, когда внешняя точка Содди является изопериметрической точкой в ​​смысле Велдкампа.
Внутренняя и внешняя окружности Содди в случае, когда внешняя точка Содди не является изопериметрической точкой в ​​смысле Велдкампа.

Дан треугольник ABC, можно нарисовать окружности в плоскости треугольника ABC с центрами в точках A , B и C так , чтобы они касались друг друга внешне. В общем, можно нарисовать две новые окружности так, чтобы каждая из них касалась трех окружностей с центрами A , B , C. (Одна из окружностей может выродиться в прямую.) Эти окружности представляют собой окружности Содди треугольника ABC . Круг с меньшим радиусом - это внутренний круг Содди, а его центр называется внутренней точкой Содди или внутренним центром Содди треугольника ABC . Круг с большим радиусом - это внешний круг Содди, а его центр называется внешней точкой Содди или внешним центром Содди треугольника ABC .

Центр треугольника X (175), изопериметрическая точка по Кимберлингу, является внешней точкой Содди треугольника ABC .

Рекомендации

внешняя ссылка