Перевернутый маятник - Inverted pendulum

Балансировочная тележка, простая робототехническая система 1976 года. Тележка содержит сервосистему, которая отслеживает угол наклона стержня и перемещает тележку назад и вперед, чтобы удерживать ее в вертикальном положении.

Перевернутый маятник представляет собой маятник , который имеет свой центр масс выше его поворот точки. Он неустойчивый и без дополнительной помощи упадет. Его можно стабильно подвешивать в этом перевернутом положении, используя систему управления для отслеживания угла вехи и перемещения точки поворота по горизонтали назад под центр масс, когда она начинает падать, сохраняя ее в равновесии. Перевернутый маятник - классическая задача в динамике и теории управления, которая используется в качестве эталона для тестирования стратегий управления. Это часто реализуется с помощью точки поворота, установленной на тележке, которая может перемещаться горизонтально под управлением электронной сервосистемы, как показано на фотографии; это называется тележкой и шестом . Большинство приложений ограничивают маятник 1 степенью свободы , прикрепляя полюс к оси вращения . В то время как нормальный маятник устойчив, когда свешивается вниз, перевернутый маятник нестабилен по своей природе и должен активно уравновешиваться, чтобы оставаться в вертикальном положении; это можно сделать либо путем приложения крутящего момента в точке поворота, либо путем перемещения точки поворота по горизонтали в рамках системы обратной связи , изменения скорости вращения массы, установленной на маятнике на оси, параллельной оси поворота, и тем самым генерируя чистый крутящий момент на маятник или за счет вертикального колебания точки поворота. Простая демонстрация перемещения точки поворота в системе обратной связи достигается путем балансирования перевернутой метлы на конце пальца.

Второй тип перевернутого маятника - это измеритель наклона для высоких конструкций, который состоит из провода, прикрепленного к нижней части фундамента и прикрепленного к поплавку в масляной ванне в верхней части конструкции, в которой есть устройства для измерения движения нейтрали. положение поплавка от его исходного положения.

Обзор

Маятник с опорой, свисающей непосредственно под шарниром опоры, находится в устойчивой точке равновесия ; на маятник отсутствует крутящий момент, поэтому он останется неподвижным, и при смещении из этого положения будет испытывать восстанавливающий крутящий момент, который возвращает его в положение равновесия. Маятник с опорой в перевернутом положении, опирающийся на жесткий стержень непосредственно над шарниром, на 180 ° от своего устойчивого положения равновесия, находится в точке неустойчивого равновесия . В этот момент на маятник снова нет крутящего момента, но малейшее смещение от этого положения вызовет момент гравитации на маятнике, который разгонит его от равновесия, и он упадет.

Чтобы стабилизировать маятник в этом перевернутом положении, можно использовать систему управления с обратной связью , которая отслеживает угол маятника и перемещает положение точки поворота в сторону, когда маятник начинает падать, чтобы удерживать его в равновесии. Перевернутый маятник - классическая задача в теории динамики и управления и широко используется в качестве эталона для тестирования алгоритмов управления ( ПИД-регуляторы , представление в пространстве состояний , нейронные сети , нечеткое управление , генетические алгоритмы и т. Д.). Варианты решения этой проблемы включают в себя несколько звеньев, позволяющих управлять движением тележки при сохранении маятника, и уравновешивать систему тележки-маятника на качелях. Перевернутый маятник связан с ракетой или наведением ракеты, где центр тяжести расположен за центром сопротивления, вызывая аэродинамическую нестабильность. Понимание подобной проблемы может показать простая робототехника в виде балансировочной тележки. Балансировка перевернутой метлы на кончике пальца - это простая демонстрация, и проблема решается с помощью самобалансирующихся личных транспортеров, таких как Segway PT , самобалансирующийся ховерборд и самобалансирующийся одноколесный велосипед .

Другой способ стабилизации перевернутого маятника без какой-либо обратной связи или механизма управления - это быстрое колебание оси вращения вверх и вниз. Это называется маятником Капицы . Если колебание достаточно сильное (с точки зрения его ускорения и амплитуды), то перевернутый маятник может оправиться от возмущений поразительно нелогичным образом. Если ведущая точка движется в простом гармоническом движении , движение маятника описывается уравнением Матье .

Уравнения движения

В уравнении движения перевернутых маятников зависят от того, что ограничения размещены на движении маятника. Перевернутые маятники могут быть созданы в различных конфигурациях, что приводит к ряду уравнений движения, описывающих поведение маятника.

Стационарная точка поворота

В конфигурации, где точка поворота маятника зафиксирована в пространстве, уравнение движения аналогично уравнению для не перевернутого маятника . Уравнение движения ниже предполагает отсутствие трения или любого другого сопротивления движению, жесткий безмассовый стержень и ограничение на двумерное движение.

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} - {g \ over \ ell} \ sin \ theta = 0}

Где - угловое ускорение маятника, - это стандартная сила тяжести на поверхности Земли, - это длина маятника, и - это угловое смещение, измеренное от положения равновесия. ${\ displaystyle {\ ddot {\ theta}}}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle \ ell}$ ${\ displaystyle \ theta}$

При добавлении к обеим сторонам он будет иметь тот же знак, что и член углового ускорения:

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} = {g \ over \ ell} \ sin \ theta}

Таким образом, перевернутый маятник будет ускоряться от вертикального неустойчивого равновесия в первоначально смещенном направлении, и ускорение обратно пропорционально длине. Высокие маятники падают медленнее, чем короткие.

Вывод с использованием крутящего момента и момента инерции:

Схематический рисунок перевернутого маятника на тележке. Стержень считается безмассовым. Масса тележки и острие на конце стержня обозначены буквами M и m. Шток имеет длину l.

Предполагается, что маятник состоит из точечной массы массой , прикрепленной к концу безмассового жесткого стержня длиной , прикрепленной к точке поворота на конце, противоположном точечной массе. ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle \ ell}$

Чистый крутящий момент системы должен равняться моменту инерции, умноженному на угловое ускорение:

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} _ {\ mathrm {net}} = я {\ ddot {\ theta}}}

Крутящий момент от силы тяжести, обеспечивающий чистый крутящий момент:

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} _ {\ mathrm {net}} = mg \ ell \ sin \ theta \, \!}

Где - угол, отсчитываемый от перевернутого положения равновесия. ${\ displaystyle \ theta \}$

Полученное уравнение:

{\ Displaystyle I {\ ddot {\ theta}} = mg \ ell \ sin \ theta \, \!}

Момент инерции точечной массы:

{\ displaystyle I = mR ^ {2}}

В случае перевернутого маятника радиус длина стержня, . ${\ displaystyle \ ell}$

Подставляя в ${\ Displaystyle I = м \ ell ^ {2}}$

{\ displaystyle m \ ell ^ {2} {\ ddot {\ theta}} = mg \ ell \ sin \ theta \, \!}

Масса и делится с каждой стороны, в результате чего: ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} = {g \ over \ ell} \ sin \ theta}

Перевернутый маятник на тележке

Перевернутый маятник на тележке состоит из массы на вершине шеста длиной, повернутой на горизонтально движущемся основании, как показано на соседнем изображении. Тележка ограничена линейным движением, и на нее действуют силы, приводящие к движению или препятствующие ему. ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle \ ell}$

Основы стабилизации

Суть стабилизации перевернутого маятника можно качественно резюмировать в три этапа.

Простая система стабилизации, используемая на тележке с бокалом для вина наверху.

1. Если угол наклона вправо, тележка должна ускоряться вправо и наоборот. ${\ displaystyle \ theta}$

2. Положение тележки относительно центра гусеницы стабилизируется за счет небольшой модуляции нулевого угла (угловая ошибка, которую система управления пытается обнулить) положением тележки, то есть нулевым углом, где он мал. Это заставляет веху слегка наклоняться к центру гусеницы и стабилизироваться в центре гусеницы, где угол наклона точно вертикальный. Любое смещение датчика наклона или наклона гусеницы, которое в противном случае могло бы вызвать нестабильность, переводится в стабильное смещение положения. Дополнительное добавленное смещение дает управление положением. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle = \ theta + kx}$ ${\ displaystyle k}$

3. Нормальный маятник, подверженный движению точки поворота, такой как груз, поднимаемый краном, имеет пиковый отклик на радианной частоте маятника . Чтобы предотвратить неконтролируемое раскачивание, частотный спектр движения оси должен быть подавлен вблизи . Перевернутый маятник требует того же подавляющего фильтра для достижения стабильности. ${\ displaystyle \ omega _ {p} = {\ sqrt {g / \ ell}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {p}}$

Обратите внимание, что, как следствие стратегии модуляции нулевого угла, обратная связь по положению является положительной, то есть внезапная команда перемещения вправо вызовет начальное движение тележки влево, за которым следует движение вправо, чтобы сбалансировать маятник. Взаимодействие неустойчивости маятника и нестабильности положительной обратной связи по положению для создания устойчивой системы - это особенность, которая делает математический анализ интересной и сложной задачей.

Из уравнений Лагранжа

Уравнения движения могут быть получены с помощью уравнений Лагранжа . Мы ссылаемся на рисунок справа, где - угол маятника длины по отношению к вертикальному направлению, а действующие силы - это сила тяжести и внешняя сила F в направлении оси x. Определите как позицию тележки. ${\ Displaystyle \ тета (т)}$ ${\ displaystyle l}$ ${\ Displaystyle х (т)}$

Кинетика системы: ${\ displaystyle T}$

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} Mv_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} mv_ {2} ^ {2},}

где - скорость тележки, - скорость точечной массы . и может быть выражено через x , записав скорость как первую производную положения; ${\ displaystyle v_ {1}}$ ${\ displaystyle v_ {2}}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle v_ {1}}$ ${\ displaystyle v_ {2}}$ ${\ displaystyle \ theta}$

{\ displaystyle v_ {1} ^ {2} = {\ dot {x}} ^ {2},}

{\ displaystyle v_ {2} ^ {2} = \ left ({\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} {\ left (x- \ ell \ sin \ theta \ right) )} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} {\ left (\ ell \ cos \ theta \ right)} \ right ) ^ {2}.}

Упрощение выражения для приводит к: ${\ displaystyle v_ {2}}$

{\ displaystyle v_ {2} ^ {2} = {\ dot {x}} ^ {2} -2 \ ell {\ dot {x}} {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta + \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}.}

Кинетическая энергия теперь определяется как:

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ left (M + m \ right) {\ dot {x}} ^ {2} -m \ ell {\ dot {x}} {\ dot { \ theta}} \ cos \ theta + {\ frac {1} {2}} m \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}.}

Обобщенные координаты системы есть и , каждая имеет обобщенную силу. На оси обобщенная сила может быть вычислена через ее виртуальную работу. ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle Q_ {x}}$

{\ displaystyle Q_ {x} \ delta x = F \ delta x, \ quad Q_ {x} = F,}

на оси обобщенная сила также может быть вычислена через ее виртуальную работу ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle Q _ {\ theta}}$

{\ displaystyle Q _ {\ theta} \ delta \ theta = mgl \ sin \ theta \ delta \ theta, \ quad Q _ {\ theta} = mgl \ sin \ theta.}

Согласно уравнениям Лагранжа , уравнения движения:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ partial {T} \ over \ partial {\ dot {x}}} - {\ partial {T} \ over \ частичный x} = F,}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ partial {T} \ over \ partial {\ dot {\ theta}}} - {\ partial {T} \ over \ partial \ theta} = mgl \ sin \ theta,}

подстановка в эти уравнения и упрощение приводит к уравнениям, описывающим движение перевернутого маятника: ${\ displaystyle T}$

{\ displaystyle \ left (M + m \ right) {\ ddot {x}} - m \ ell {\ ddot {\ theta}} \ cos \ theta + m \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2 } \ sin \ theta = F,}

{\ displaystyle \ ell {\ ddot {\ theta}} - g \ sin \ theta = {\ ddot {x}} \ cos \ theta.}

Эти уравнения нелинейны, но поскольку цель системы управления - удерживать маятник в вертикальном положении, уравнения можно линеаризовать . ${\ Displaystyle \ тета \ приблизительно 0}$

Из уравнений Эйлера-Лагранжа

Обобщенные силы могут быть как письменные , так как потенциальная энергия и , ${\ displaystyle V_ {x}}$ ${\ displaystyle V _ {\ theta}}$

Обобщенные силы	Потенциальная энергия
${\ displaystyle Q_ {x} = F}$	${\ displaystyle V_ {x} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} F {\ dot {x}} \ {\ rm {d}} t}$
${\ Displaystyle Q _ {\ theta} = mgl \ sin \ theta}$	${\ Displaystyle V _ {\ theta} = mgl \ cos \ theta}$

Согласно принципу Даламбера , обобщенные силы и потенциальная энергия связаны:

{\ displaystyle Q_ {j} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}} } - {\ frac {\ partial V} {\ partial q_ {j}}} \ ,,}

Однако при определенных обстоятельствах потенциальная энергия недоступна, доступны только обобщенные силы.

После получения лагранжиана мы также можем использовать уравнение Эйлера – Лагранжа для решения уравнений движения: ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = TV}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac { \ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}} \ right) = 0}

,

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ theta}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ theta}}}} \ right) = 0}

.

Единственная разница заключается в том, следует ли включать обобщенные силы в потенциальную энергию или записывать их явно, поскольку в правой части все они приводят к одним и тем же уравнениям в финале. ${\ displaystyle V_ {j}}$ ${\ displaystyle Q_ {j}}$

Из второго закона Ньютона

Часто бывает полезно использовать второй закон Ньютона вместо уравнений Лагранжа, потому что уравнения Ньютона дают силы реакции в стыке между маятником и тележкой. Эти уравнения приводят к двум уравнениям для каждого тела; один в направлении x, а другой - в направлении y. Уравнения движения тележки показаны ниже, где LHS - это сумма сил, действующих на тело, а RHS - ускорение.

{\ Displaystyle F-R_ {x} = M {\ ddot {x}}}

{\ Displaystyle F_ {N} -R_ {y} -Mg = 0}

В приведенных выше уравнениях и - силы реакции в соединении. нормальная сила, приложенная к тележке. Это второе уравнение зависит только от силы вертикальной реакции, поэтому уравнение можно использовать для определения нормальной силы. Первое уравнение можно использовать для определения горизонтальной силы реакции. Чтобы завершить уравнения движения, необходимо вычислить ускорение точечной массы, прикрепленной к маятнику. Положение точечной массы может быть задано в инерциальных координатах как ${\ displaystyle R_ {x}}$ ${\ displaystyle R_ {y}}$ ${\ displaystyle F_ {N}}$

{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {P} = (x- \ ell \ sin \ theta) {\ hat {x}} _ {I} + \ ell \ cos \ theta {\ hat {y}} _{Я}}

Взяв две производные, получаем вектор ускорения в инерциальной системе отсчета.

{\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {P / I} = ({\ ddot {x}} + \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ sin \ theta - \ ell {\ ddot {\ theta}} \ cos \ theta) {\ hat {x}} _ {I} + (- \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ cos \ theta - \ ell {\ ddot {\ theta}} \ sin \ theta) {\ hat {y}} _ {I}}

Затем, используя второй закон Ньютона, можно записать два уравнения в направлении оси x и оси y. Обратите внимание, что силы реакции положительны по отношению к маятнику и отрицательны по отношению к тележке. Это связано с третьим законом Ньютона.

{\ Displaystyle R_ {x} = м ({\ ddot {x}} + \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ sin \ theta - \ ell {\ ddot {\ theta}} \ cos \ тета)}

{\ displaystyle R_ {y} -mg = m (- \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ cos \ theta - \ ell {\ ddot {\ theta}} \ sin \ theta)}

Первое уравнение позволяет еще одним способом вычислить горизонтальную силу реакции в случае, если приложенная сила неизвестна. Второе уравнение можно использовать для определения силы вертикальной реакции. Первое уравнение движения получается, подставляя в которое дает ${\ displaystyle F}$ ${\ Displaystyle F-R_ {x} = M {\ ddot {x}}}$ ${\ Displaystyle R_ {x} = м ({\ ddot {x}} + \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ sin \ theta - \ ell {\ ddot {\ theta}} \ cos \ тета)}$

{\ displaystyle \ left (M + m \ right) {\ ddot {x}} - m \ ell {\ ddot {\ theta}} \ cos \ theta + m \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2 } \ sin \ theta = F}

При проверке это уравнение идентично результату метода Лагранжа. Чтобы получить второе уравнение, уравнение движения маятника должно быть помечено единичным вектором, который всегда проходит перпендикулярно маятнику и обычно обозначается как координата x рамы тела. В инерциальных координатах этот вектор может быть записан с помощью простого двумерного преобразования координат

{\ displaystyle {\ hat {x}} _ {B} = \ cos \ theta {\ hat {x}} _ {I} + \ sin \ theta {\ hat {y}} _ {I}}

Уравнение движения маятника, записанное в векторной форме, есть . Обозначение точек с обеих сторон дает следующее на левой стороне (обратите внимание, что транспонирование аналогично скалярному произведению) ${\ displaystyle \ sum {\ vec {F}} = m {\ vec {a}} _ {P / I}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {B}}$

{\ displaystyle ({\ hat {x}} _ {B}) ^ {T} \ sum {\ vec {F}} = ({\ hat {x}} _ {B}) ^ {T} (R_ { x} {\ hat {x}} _ {I} + R_ {y} {\ hat {y}} _ {I} -mg {\ hat {y}} _ {I}) = ({\ hat {x }} _ {B}) ^ {T} (R_ {p} {\ hat {y}} _ {B} -mg {\ hat {y}} _ {I}) = - mg \ sin \ theta}

В приведенном выше уравнении используется взаимосвязь между компонентами сил реакции корпуса и компонентами сил реакции инерционной системы координат. Предположение о том, что стержень, соединяющий точечную массу с тележкой, не имеет массы, означает, что этот стержень не может передавать нагрузку, перпендикулярную стержню. Таким образом, компоненты сил реакции инерционной рамы могут быть записаны просто так, что означает, что стержень может передавать нагрузки только вдоль оси самого стержня. Это приводит к другому уравнению, которое можно использовать для определения натяжения самого стержня. ${\ displaystyle R_ {p} {\ hat {y}} _ {B}}$

{\ displaystyle R_ {p} = {\ sqrt {R_ {x} ^ {2} + R_ {y} ^ {2}}}}

Правая часть уравнения вычисляется аналогичным образом с помощью точек с ускорением маятника. Результат (после некоторого упрощения) показан ниже. ${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {B}}$

{\ displaystyle m ({\ hat {x}} _ {B}) ^ {T} ({\ vec {a}} _ {P / I}) = m ({\ ddot {x}} \ cos \ theta - \ ell {\ ddot {\ theta}})}

Объединение LHS с RHS и деление на m дает

{\ displaystyle \ ell {\ ddot {\ theta}} - g \ sin \ theta = {\ ddot {x}} \ cos \ theta}

что опять же идентично результату метода Лагранжа. Преимущество использования метода Ньютона заключается в том, что проявляются все силы реакции, гарантирующие, что ничто не будет повреждено.

Варианты

Достижение устойчивости перевернутого маятника стало общей инженерной задачей для исследователей. Существуют различные варианты перевернутого маятника на тележке, от стержня на тележке до многосегментного перевернутого маятника на тележке. В другом варианте стержень перевернутого маятника или сегментированный стержень помещается на конец вращающегося узла. В обоих случаях (тележка и вращающаяся система) перевернутый маятник может падать только в плоскости. Перевернутые маятники в этих проектах могут потребоваться либо для поддержания баланса только после достижения положения равновесия, либо для достижения равновесия самостоятельно. Другая платформа - двухколесный балансировочный перевернутый маятник. Двухколесная платформа может вращаться на месте, обеспечивая большую маневренность. Еще одна вариация уравновешивает одну точку. Волчок , Моноцикл или перевернутый маятник на вершине сферического шара все баланса на одной точке.

Чертеж, показывающий, как может быть построен маятник Капицы: двигатель вращает кривошип с высокой скоростью, кривошипно вибрирует вверх и вниз плечо рычага, к которому маятник прикреплен с помощью оси.

Маятник капицы

Перевернутый маятник, в котором стержень быстро колеблется вверх и вниз, может быть устойчивым в перевернутом положении. Это называется маятником Капицы в честь русского физика Петра Капицы, который впервые проанализировал его. Уравнение движения маятника, соединенного с безмассовым колеблющимся основанием, выводится так же, как и для маятника на тележке. Положение точечной массы теперь определяется следующим образом:

{\ displaystyle \ left (- \ ell \ sin \ theta, y + \ ell \ cos \ theta \ right)}

а скорость находится путем взятия первой производной от положения:

{\ displaystyle v ^ {2} = {\ dot {y}} ^ {2} -2 \ ell {\ dot {y}} {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta + \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}.}

Графики перевернутого маятника на колебательной основе. Первый график показывает реакцию маятника на медленное колебание, второй - реакцию на быстрое колебание.

Лагранжиан для этой системы можно записать в виде:

{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {y}} ^ {2} -2 \ ell {\ dot {y}} {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta + \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ right) -mg \ left (y + \ ell \ cos \ theta \ right)}

а уравнение движения следует из:

{\ displaystyle {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ partial {L} \ over \ partial {\ dot {\ theta}}} - {\ partial {L} \ over \ partial \ theta } = 0}

в результате чего:

{\ displaystyle \ ell {\ ddot {\ theta}} - {\ ddot {y}} \ sin \ theta = g \ sin \ theta.}

Если y представляет собой простое гармоническое движение , следующее дифференциальное уравнение имеет вид: ${\ Displaystyle у = А \ грех \ омега т}$

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} - {g \ over \ ell} \ sin \ theta = - {A \ over \ ell} \ omega ^ {2} \ sin \ omega t \ sin \ theta.}

Это уравнение не имеет элементарных решений в замкнутой форме, но его можно исследовать различными способами. Это близко аппроксимируется уравнением Матье , например, когда амплитуда колебаний мала. Анализ показывает, что маятник остается вертикальным при быстрых колебаниях. Первый график показывает, что при медленных колебаниях маятник быстро падает при отклонении от вертикального положения. Через короткое время угол превышает 90 °, что означает, что маятник упал на землю. Если колебание происходит быстро, маятник может оставаться стабильным в вертикальном положении. Второй график показывает, что при отклонении от вертикального положения маятник начинает колебаться вокруг вертикального положения ( ). Отклонение от вертикального положения остается небольшим, и маятник не опрокидывается. ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle \ theta = 0}$

Примеры

Возможно, наиболее распространенным примером стабилизированного перевернутого маятника является человек . Человек, стоящий вертикально, действует как перевернутый маятник, опираясь на стопы, и без постоянных небольших мышечных изменений он упадет. Нервная система человека содержит бессознательную систему управления с обратной связью , чувство равновесия или восстанавливающий рефлекс , который использует проприоцептивную информацию от глаз, мышц и суставов, а также ориентировочную информацию от вестибулярной системы, состоящей из трех полукружных каналов во внутреннем ухе , и два отолитовых органа, чтобы постоянно вносить небольшие изменения в скелетные мышцы, чтобы удерживать нас в вертикальном положении. Ходьба, бег или балансирование на одной ноге предъявляют дополнительные требования к этой системе. Определенные заболевания, а также алкогольное или наркотическое опьянение могут нарушить этот рефлекс, вызывая головокружение и нарушение равновесия , а также неспособность стоять в вертикальном положении. Тест на трезвость используется полицией для водителей испытания на влияние алкоголя или наркотиков, проверяет этот рефлекс на обесценение.

Некоторые простые примеры включают балансировку веников или измерителей вручную.

Перевернутый маятник использовался в различных устройствах, и попытка уравновесить перевернутый маятник представляет собой уникальную инженерную проблему для исследователей. Перевернутый маятник был центральным компонентом в конструкции нескольких ранних сейсмометров из-за присущей ему нестабильности, приводящей к измеримой реакции на любое возмущение.

Модель перевернутого маятника использовалась в некоторых современных личных транспортерах , таких как двухколесные самобалансирующиеся самокаты и одноколесные электрические одноколесные велосипеды . Эти устройства кинематически нестабильны и используют сервосистему с электронной обратной связью, чтобы удерживать их в вертикальном положении.

Приведение маятника на тележке в его состояние перевернутого маятника считается традиционной игрушечной задачей / эталоном оптимального управления.

Траектория вертикального поворота каретки с фиксированным временем, минимизирующая квадрат силы

Смотрите также

дальнейшее чтение

Франклин; и другие. (2005). Управление с обратной связью динамических систем , 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Languages

In other projects