Теорема о перехвате - Intercept theorem

Теорема о перехвате , также известная как теорема Фалеса , основная теорема о пропорциональности или теорема о боковом разделителе, является важной теоремой в элементарной геометрии о соотношении различных отрезков прямой, которые образуются, если две пересекающиеся прямые пересекаются парой параллелей . Это эквивалентно теореме о соотношениях в подобных треугольниках . Традиционно его приписывают греческому математику Фалесу . Это было известно древним вавилонянам и египтянам, хотя первое известное доказательство появляется в « Элементах » Евклида .

Формулировка

Предположим, что S - точка пересечения двух прямых, а A, B - точки пересечения первой линии с двумя параллелями, так что B находится дальше от S, чем A, и аналогично C, D - точки пересечения второй линии с прямой. две параллели такие, что D дальше от S, чем C.

Отношения любых двух сегментов на первой линии равняется соотношений в соответствии сегментов на второй линии: , , ${\ Displaystyle | SA |: | AB | = | SC |: | CD |}$ ${\ displaystyle | SB |: | AB | = | SD |: | CD |}$ ${\ Displaystyle | SA |: | SB | = | SC |: | SD |}$
Отношение двух сегментов на одной прямой, начинающейся в точке S, равно отношению сегментов на параллелях: ${\ Displaystyle | SA |: | SB | = | SC |: | SD | = | AC |: | BD |}$
Верно и обратное к первому утверждению, т.е. если две пересекающиеся линии пересекаются двумя произвольными линиями и выполняется, то две пересекающиеся линии параллельны. Однако обратное второе утверждение неверно. ${\ Displaystyle | SA |: | AB | = | SC |: | CD |}$
Если у Вас есть больше чем две линии , пересекающиеся в S, то соотношение двух сегментов в параллельном равна отношению к сегментам в соответствии с другой параллельной: , ${\ displaystyle | AF |: | BE | = | FC |: | ED |}$ ${\ displaystyle | AF |: | FC | = | BE |: | ED |}$

Пример для случая трех линий приведен на втором рисунке ниже.

Первая теорема о пересечении показывает отношения сечений от линий, вторая - отношения сечений от прямых, а также сечений от параллелей, наконец, третья показывает отношения сечений от параллелей.

Связанные понятия

Подобие и похожие треугольники

Расположение двух одинаковых треугольников так, чтобы можно было применить теорему о перехвате

Теорема о перехвате тесно связана с подобием . Это эквивалентно концепции подобных треугольников , т. Е. Его можно использовать для доказательства свойств подобных треугольников, а аналогичные треугольники можно использовать для доказательства теоремы о перехвате. Сопоставляя одинаковые углы, вы всегда можете поместить два одинаковых треугольника друг в друга, чтобы получить конфигурацию, в которой применяется теорема о перехвате; и наоборот, конфигурация теоремы о перехвате всегда содержит два одинаковых треугольника.

Скалярное умножение в векторных пространствах

В нормированном векторном пространстве , то аксиомы относительно скалярного умножения (в частности , и ) убедиться , что теорема перехватывать имеет место. Надо ${\ displaystyle \ lambda \ cdot ({\ vec {a}} + {\ vec {b}}) = \ lambda \ cdot {\ vec {a}} + \ lambda \ cdot {\ vec {b}}}$ ${\ displaystyle \ | \ lambda {\ vec {a}} \ | = | \ lambda | \ cdot \ \ | {\ vec {a}} \ |}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ | \ lambda \ cdot {\ vec {a}} \ |} {\ | {\ vec {a}} \ |}} = {\ frac {\ | \ lambda \ cdot {\ vec {b}} \ |} {\ | {\ vec {b}} \ |}} = {\ frac {\ | \ lambda \ cdot ({\ vec {a}} + {\ vec {b}})) \ |} {\ | {\ vec {a}} + {\ vec {b}} \ |}} = | \ lambda |}$

Приложения

Алгебраическая формулировка конструкций циркуля и линейки

Есть три известные проблемы элементарной геометрии, которые были поставлены греками в терминах конструкций циркуля и линейки :

Потребовалось более 2000 лет, прежде чем все три из них были окончательно продемонстрированы в 19 веке с помощью данных инструментов, с использованием алгебраических методов, которые стали доступными в тот период времени. Чтобы переформулировать их в алгебраических терминах с использованием расширений полей , необходимо сопоставить полевые операции с конструкциями компаса и линейки (см. Число, которое можно построить ). В частности, важно гарантировать, что для двух данных сегментов линии можно построить новый сегмент, длина которого равна произведению длин двух других. Точно так же нужно иметь возможность построить для отрезка прямой длины новый отрезок длины . Теорема о перехвате может использоваться, чтобы показать, что в обоих случаях такая конструкция возможна. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a ^ {- 1}}$

Строительство продукта	Построение инверсии

Разделение отрезка линии с заданным соотношением

Чтобы разделить произвольный линейный сегмент в пропорции, нарисуйте произвольный угол в A одной ногой. На другой ноге постройте равноудаленные точки, затем проведите линию через последнюю точку и B и параллельную линию через m- ю точку. Эта параллельная линия делится в желаемом соотношении. На графике справа показано разделение линейного сегмента в соотношении. ${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$ ${\ displaystyle m: n}$ ${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$ ${\ displaystyle m + n}$ ${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$ ${\ displaystyle 5: 3}$

Измерения и обследование

Высота пирамиды Хеопса

мерные части

вычисление C и D

Согласно некоторым историческим источникам, греческий математик Фалес применил теорему о перехвате, чтобы определить высоту пирамиды Хеопса . Следующее описание иллюстрирует использование теоремы о перехвате для вычисления высоты пирамиды. Однако в нем не упоминается оригинальная работа Фалеса, которая была утеряна.

Фалес измерил длину основания пирамиды и высоту своего столба. Затем в то же время дня он измерил длину тени пирамиды и длину тени столба. Это дало следующие данные:

высота столба (A): 1,63 м
тень столба (B): 2 м
длина основания пирамиды: 230 м
тень пирамиды: 65 м

Из этого он вычислил

{\ displaystyle C = 65 ~ {\ text {m}} + {\ frac {230 ~ {\ text {m}}} {2}} = 180 ~ {\ text {m}}}

Зная A, B и C, он теперь мог применить теорему о перехвате для вычисления

{\ displaystyle D = {\ frac {C \ cdot A} {B}} = {\ frac {1.63 ~ {\ text {m}} \ cdot 180 ~ {\ text {m}}} {2 ~ {\ text {m}}}} = 146,7 ~ {\ text {m}}}

Измерение ширины реки

Теорема о перехвате может использоваться для определения расстояния, которое нельзя измерить напрямую, например, ширины реки или озера, высоты высоких зданий и т. Д. На графике справа показано измерение ширины реки. Сегменты , , измеряются и используются для вычисления расстояния хотели . ${\ displaystyle \| CF \|}$ ${\ displaystyle \| CA \|}$ ${\ displaystyle \| FE \|}$ ${\ displaystyle \| AB \| = {\ frac {\| AC \|\| FE \|} {\| FC \|}}}$

Параллельные линии в треугольниках и трапециях

Теорема о перехвате может использоваться, чтобы доказать, что определенная конструкция дает параллельную прямую (отрезок) s.

Если середины двух сторон треугольника соединены, то полученный отрезок параллелен третьей стороне треугольника (теорема о средней точке треугольников).	Если середины двух непараллельных сторон трапеции соединены, то полученный отрезок прямой параллелен двум другим сторонам трапеции.

Доказательство

Элементарное доказательство теоремы использует треугольники одинаковой площади для вывода основных утверждений о соотношениях (п.1). Затем следуют другие утверждения, применяя первое утверждение и противоречие.

Утверждение 1

Так как высоты и равны. Поскольку у этих треугольников одна и та же базовая линия, их площади идентичны. Так что у нас есть и, следовательно, тоже. Это дает ${\ Displaystyle CA \ parallel BD}$ ${\ Displaystyle \ треугольник CDA}$ ${\ Displaystyle \ треугольник CBA}$ ${\ Displaystyle \| \ треугольник CDA \| = \| \ треугольник CBA \|}$ ${\ Displaystyle \| \ треугольник SCB \| = \| \ треугольник SDA \|}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\| \ треугольник SCA \|} {\| \ треугольник CDA \|}} = {\ frac {\| \ треугольник SCA \|} {\| \ треугольник CBA \|}}}$ а также ${\ Displaystyle {\ frac {\| \ треугольник SCA \|} {\| \ треугольник SDA \|}} = {\ frac {\| \ треугольник SCA \|} {\| \ треугольник SCB \|}}}$ Добавление формулы для площади треугольника ( ) преобразует это в ${\ displaystyle {\ tfrac {{\ text {baseline}} \ cdot {\ text {altitude}}} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\| SC \|\| AF \|} {\| CD \|\| AF \|}} = {\ frac {\| SA \|\| EC \|} {\| AB \|\| EC \|}}}$ а также ${\ displaystyle {\ frac {\| SC \|\| AF \|} {\| SD \|\| AF \|}} = {\ frac {\| SA \|\| EC \|} {\| SB \|\| EC \|}}}$ Отмена общих факторов приводит к: (а) и (б) ${\ displaystyle \, {\ frac {\| SC \|} {\| CD \|}} = {\ frac {\| SA \|} {\| AB \|}}}$ ${\ displaystyle \, {\ frac {\| SC \|} {\| SD \|}} = {\ frac {\| SA \|} {\| SB \|}}}$ Теперь используйте (b) для замены и в (a): ${\ displaystyle \| SA \|}$ ${\ displaystyle \| SC \|}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ frac {\| SA \|\| SD \|} {\| SB \|}} {\| CD \|}} = {\ frac {\ frac {\| SB \|\| SC \|} {\| SD \|}} {\| AB \|}}}$ Повторное использование (b) упрощает до: (c) ${\ displaystyle \, {\ frac {\| SD \|} {\| CD \|}} = {\ frac {\| SB \|} {\| AB \|}}}$ ${\ Displaystyle \, \ квадрат}$

Утверждение 2

Проведите дополнительную параллель к точке A. Эта параллель пересекает точку G. Тогда имеем и в силу утверждения 1 и, следовательно, ${\ displaystyle SD}$ ${\ displaystyle BD}$ ${\ Displaystyle \| AC \| = \| DG \|}$ ${\ displaystyle {\ frac {\| SA \|} {\| SB \|}} = {\ frac {\| DG \|} {\| BD \|}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\| SA \|} {\| SB \|}} = {\ frac {\| AC \|} {\| BD \|}}}$ ${\ Displaystyle \ квадрат}$

Утверждение 3

Предположим и не параллельны. Затем параллельная линия до сквозного пересекается в . Поскольку верно, мы имеем, а с другой стороны из утверждения 1 имеем . Таким образом, и находятся на одной стороне и имеют одинаковое расстояние до , что означает . Это противоречие, поэтому предположение не могло быть верным, что означает и действительно параллельные ${\ displaystyle AC}$ ${\ displaystyle BD}$ ${\ displaystyle AC}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle SA}$ ${\ displaystyle B_ {0} \ neq B}$ ${\ Displaystyle \| SB \|: \| SA \| = \| SD \|: \| SC \|}$ ${\ displaystyle \| SB \| = {\ frac {\| SD \|\| SA \|} {\| SC \|}}}$ ${\ displaystyle \| SB_ {0} \| = {\ frac {\| SD \|\| SA \|} {\| SC \|}}}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B_ {0}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle B = B_ {0}}$ ${\ displaystyle AC}$ ${\ displaystyle BD}$ ${\ Displaystyle \ квадрат}$

Утверждение 4

Утверждение 4 можно показать, применив теорему о перехвате для двух прямых.

Примечания

^ ^a ^b Никаких оригинальных работ Фалеса не сохранилось. Все исторические источники, приписывающие ему теорему о перехвате или связанные с ним знания, были написаны спустя столетия после его смерти. Диоген Лаэртий и Плиний описывают, что, строго говоря, не требует теоремы о перехвате, но может полагаться только на простое наблюдение, а именно на то, что в определенный момент дня длина тени объекта будет соответствовать его высоте. Лаэртий цитирует высказывание философа Иеронима (3 век до н.э.) о Фалесе: « Иероним говорит, что [Фалес] измерял высоту пирамид по отбрасываемой ими тени, делая наблюдение в тот час, когда наша тень имеет такую же длину, как и мы сами (т.е. как наш собственный рост). ». Плиний пишет: « Фалес открыл, как получить высоту пирамид и всех других подобных объектов, а именно, измерив тень от объекта в то время, когда тело и его тень равны по длине ». Однако Плутарх дает отчет, который может указывать на то, что Фалес знал теорему о перехвате или, по крайней мере, ее частный случай: « ... без проблем или помощи какого-либо инструмента [он] просто установил палку на конце тени, отбрасываемой пирамида и, таким образом образовав два треугольника путем пересечения солнечных лучей, ... показал, что пирамида имеет такое же отношение к палке, как тень [пирамиды] к тени [палки] ». (Источник: Фалес биография в MacTutor , то ( в переводе) оригинальные произведения Плутарха и Лаэртском являются: Moralia, Обед из семи мудрецов , 147A и житий Видных Философов , Глава 1. Фалес, пункт 27 )
Перейти ↑ Kazarinoff, Nicholas D. (2003) [1970], Ruler and the Round , Dover, p. 3, ISBN 0-486-42515-0
^ Кунц, Эрнст (1991). Алгебра (на немецком языке). Vieweg. С. 5–7. ISBN 3-528-07243-1.
^ Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012). Геометрия по ее истории . Springer. С. 7 . ISBN 978-3-642-29163-0.( Интернет-копия , стр. 7, в Google Книгах )
^ Шупп, Х. (1977). Elementargeometrie (на немецком языке). Ето Шенинг. С. 124–126. ISBN 3-506-99189-2.

использованная литература

Шупп, Х. (1977). Elementargeometrie (на немецком языке). Ето Шенинг. С. 124–126. ISBN 3-506-99189-2.
Леппиг, Манфред (1981). Lernstufen Mathematik (на немецком языке). Жирарде. С. 157–170. ISBN 3-7736-2005-5.
Агрикола, Илька ; Фридрих, Томас (2008). Элементарная геометрия . AMS. С. 10–13, 16–18. ISBN 0-8218-4347-8.( Интернет-копия , стр. 10, в Google Книгах )
Стиллвелл, Джон (2005). Четыре столпа геометрии . Springer. п. 34 . ISBN 978-0-387-25530-9.( Интернет-копия , стр. 34, в Google Книгах )
Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012). Геометрия по ее истории . Springer. стр. 3 -7. ISBN 978-3-642-29163-0.( Интернет-копия , стр. 3, в Google Книгах )

внешние ссылки

Теорема о перехвате в PlanetMath
Александр Богомольный: Теоремы Фалеса и, в частности , теорема Фалеса в разрезе узла

[mactutor-1] Никаких оригинальных работ Фалеса не сохранилось. Все исторические источники, приписывающие ему теорему о перехвате или связанные с ним знания, были написаны спустя столетия после его смерти. Диоген Лаэртий и Плиний описывают, что, строго говоря, не требует теоремы о перехвате, но может полагаться только на простое наблюдение, а именно на то, что в определенный момент дня длина тени объекта будет соответствовать его высоте. Лаэртий цитирует высказывание философа Иеронима (3 век до н.э.) о Фалесе: « Иероним говорит, что [Фалес] измерял высоту пирамид по отбрасываемой ими тени, делая наблюдение в тот час, когда наша тень имеет такую же длину, как и мы сами (т.е. как наш собственный рост). ». Плиний пишет: « Фалес открыл, как получить высоту пирамид и всех других подобных объектов, а именно, измерив тень от объекта в то время, когда тело и его тень равны по длине ». Однако Плутарх дает отчет, который может указывать на то, что Фалес знал теорему о перехвате или, по крайней мере, ее частный случай: « ... без проблем или помощи какого-либо инструмента [он] просто установил палку на конце тени, отбрасываемой пирамида и, таким образом образовав два треугольника путем пересечения солнечных лучей, ... показал, что пирамида имеет такое же отношение к палке, как тень [пирамиды] к тени [палки] ». (Источник: Фалес биография в MacTutor , то ( в переводе) оригинальные произведения Плутарха и Лаэртском являются: Moralia, Обед из семи мудрецов , 147A и житий Видных Философов , Глава 1. Фалес, пункт 27 )

[2] Перейти ↑ Kazarinoff, Nicholas D. (2003) [1970], Ruler and the Round , Dover, p. 3, ISBN 0-486-42515-0

[Kunz-3] Кунц, Эрнст (1991). Алгебра (на немецком языке). Vieweg. С. 5–7. ISBN 3-528-07243-1.

[Ostermann-4] Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012). Геометрия по ее истории . Springer. С. 7 . ISBN 978-3-642-29163-0.( Интернет-копия , стр. 7, в Google Книгах )

[Schupp-5] Шупп, Х. (1977). Elementargeometrie (на немецком языке). Ето Шенинг. С. 124–126. ISBN 3-506-99189-2.

Languages

In other projects