Функции пола и потолка - Floor and ceiling functions

В математике и информатике , то функция пола является функцией , которая принимает в качестве входного вещественного числа х , и дает в качестве вывода наибольшего целого числа меньше или равно х , обозначат этаж ( х ) или ⌊ х ⌋ . Точно так же функция потолка отображает x в наименьшее целое число, большее или равное x , обозначаемое ceil ( x ) или ⌈ x ⌉ .

Например, 2.4⌋ = 2 , ⌊ − 2.4⌋ = −3 , ⌈2.4⌉ = 3 и ⌈ − 2.4⌉ = −2 .

Неотъемлемая часть или целая часть от х , часто обозначается [ х ] , как правило , определяются как ⌊ х ⌋ , если х является неотрицательным, а ⌈ х ⌉ иначе. Например, [2,4] = 2 и [−2,4] = −2 . Операция усечения обобщает это до указанного числа цифр: усечение до нуля значащих цифр такое же, как и целая часть.

Некоторые авторы определяют целую часть как пол независимо от знака x , используя для этого различные обозначения.

Если n является целым числом, ⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = [ n ] = n .

Обозначение

Неотъемлемая часть или целая часть числа ( партии Специального entière в оригинале) была впервые определена в 1798 годом Лежандра в своем доказательстве формулы Лежандра .

Карл Фридрих Гаусс ввел обозначение квадратных скобок в своем третьем доказательстве квадратичной взаимности (1808). Это оставалось стандартом в математике до тех пор, пока Кеннет И. Айверсон в своей книге «Язык программирования» 1962 года не ввел названия «пол» и «потолок» и соответствующие обозначения и . Оба обозначения теперь используются в математике, хотя в этой статье мы будем следовать обозначениям Айверсона. ${\ Displaystyle [х]}$${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$${\ Displaystyle \ lceil х \ rceil}$

В некоторых источниках полужирный шрифт или двойные скобки используются для обозначения пола, а перевернутые скобки или] x [для потолка. Иногда используется для обозначения функции округления до нуля. ${\ Displaystyle [\! [х] \!]}$${\ Displaystyle] \!] х [\! [}$${\ Displaystyle [х]}$

Дробная часть является функцией пилообразной , обозначается для реального х и определяется по формуле ${\ Displaystyle \ {х \}}$

${\ displaystyle \ {x \} = x- \ lfloor x \ rfloor.}$

Для всех х ,

${\ Displaystyle 0 \ Leq \ {х \} <1.}$

Примеры

Икс	Пол ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$	Потолок ${\ Displaystyle \ lceil х \ rceil}$	Дробная часть ${\ Displaystyle \ {х \}}$
2	2	2	0
2,4	2	3	0,4
2,9	2	3	0,9
−2,7	−3	−2	0,3
−2	−2	−2	0

Верстка

Функции пола и потолка обычно набираются с помощью левой и правой квадратных скобок, где отсутствуют верхние (для функции пола) или нижние (для функции потолка) горизонтальные полосы ( для пола и потолка). Эти символы представлены в Юникоде: ${\ Displaystyle \ lfloor \, \ rfloor}$${\ Displaystyle \ lceil \, \ rceil}$

• U + 2308 ⌈ ЛЕВЫЙ ПОТОЛОК (HTML ⌈  · ⌈, ⌈ )
• U + 2309 ⌉ ПОТОЛОК ПРАВЫЙ (HTML ⌉  · ⌉, ⌉ )
• U + 230A ⌊ ЛЕВЫЙ ЭТАЖ (HTML ⌊  · ⌊, ⌊ )
• U + 230B ⌋ ПРАВЫЙ ЭТАЖ (HTML ⌋  · ⌋, ⌋ )

В Латекс системе наборной, эти символы могут быть определены с \lfloor, \rfloor, \lceilи \rceilкоманд в математическом режиме, и расширены по размеру с использованием \left\lfloor, \right\rfloor, \left\lceilи по \right\rceilмере необходимости.

Определение и свойства

Учитывая действительные числа x и y , целые числа k , m , n и набор целых чисел , пол и потолок могут быть определены уравнениями ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ Displaystyle \ lfloor x \ rfloor = \ max \ {m \ in \ mathbb {Z} \ mid m \ leq x \},}$

${\ displaystyle \ lceil x \ rceil = \ min \ {n \ in \ mathbb {Z} \ mid n \ geq x \}.}$

Поскольку в полуоткрытом интервале длины один находится ровно одно целое число , для любого действительного числа x существуют уникальные целые числа m и n, удовлетворяющие уравнению

${\ displaystyle x-1 <m \ leq x \ leq n <x + 1.}$

где  и  может также использоваться как определение пола и потолка. ${\ Displaystyle \ lfloor x \ rfloor = m}$${\ Displaystyle \ lceil х \ rceil = п}$

Эквивалентности

Эти формулы можно использовать для упрощения выражений, связанных с полом и потолком.

${\ displaystyle {\ begin {align} \ lfloor x \ rfloor = m & \; \; {\ mbox {тогда и только тогда, когда}} & m & \ leq x <m + 1, \\\ lceil x \ rceil = n & \; \; {\ mbox {тогда и только тогда, когда}} & n-1 & <x \ leq n, \\\ lfloor x \ rfloor = m & \; \; {\ mbox {тогда и только тогда, когда}} & x-1 & <m \ leq x, \\\ lceil x \ rceil = n & \; \; {\ mbox {тогда и только тогда, когда}} & x & \ leq n <x + 1. \ end {align}}}$

На языке теории порядка нижняя функция - это остаточное отображение , то есть часть связности Галуа : это верхнее сопряжение функции, которая вкладывает целые числа в действительные числа.

${\ displaystyle {\ begin {align} x <n & \; \; {\ mbox {тогда и только тогда}} & \ lfloor x \ rfloor & <n, \\ n <x & \; \; {\ mbox {if и только если}} & n & <\ lceil x \ rceil, \\ x \ leq n & \; \; {\ mbox {тогда и только тогда, когда}} & \ lceil x \ rceil & \ leq n, \\ n \ leq x & \; \; {\ mbox {тогда и только тогда, когда}} & n & \ leq \ lfloor x \ rfloor. \ end {align}}}$

Эти формулы показывают, как добавление целых чисел к аргументам влияет на функции:

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ lfloor x + n \ rfloor & = \ lfloor x \ rfloor + n, \\\ lceil x + n \ rceil & = \ lceil x \ rceil + n, \\\ {x + n \} & = \ {x \}. \ end {выровнено}}}$

Вышеупомянутое никогда не бывает верным, если n не является целым числом; однако для любых x и y выполняются следующие неравенства:

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor y \ rfloor & \ leq \ lfloor x + y \ rfloor \ leq \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor y \ rfloor +1, \\\ lceil x \ rceil + \ lceil y \ rceil -1 & \ leq \ lceil x + y \ rceil \ leq \ lceil x \ rceil + \ lceil y \ rceil. \ end {align}}}$

Отношения между функциями

Из определений ясно, что

${\ Displaystyle \ lfloor x \ rfloor \ leq \ lceil x \ rceil,}$   с равенством тогда и только тогда, когда x является целым числом, т. е.

${\ displaystyle \ lceil x \ rceil - \ lfloor x \ rfloor = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} x \ in \ mathbb {Z} \\ 1 & {\ mbox {if}} x \ not \ in \ mathbb {Z} \ end {case}}}$

Фактически, для целых n функции пола и потолка идентичны :

${\ Displaystyle \ lfloor n \ rfloor = \ lceil n \ rceil = n.}$

Отрицание аргумента меняет пол и потолок и меняет знак:

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ lfloor x \ rfloor + \ lceil -x \ rceil & = 0 \\ - \ lfloor x \ rfloor & = \ lceil -x \ rceil \\ - \ lceil x \ rceil & = \ lfloor -x \ rfloor \ end {выровненный}}}$

а также:

${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor -x \ rfloor = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} x \ in \ mathbb {Z} \\ - 1 & {\ text {if}} x \ not \ in \ mathbb {Z}, \ end {case}}}$

${\ displaystyle \ lceil x \ rceil + \ lceil -x \ rceil = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} x \ in \ mathbb {Z} \\ 1 & {\ text {if}} x \ не \ in \ mathbb {Z}. \ end {cases}}}$

Отрицание аргумента дополняет дробную часть:

${\ displaystyle \ {x \} + \ {- x \} = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} x \ in \ mathbb {Z} \\ 1 & {\ text {if}} x \ не \ in \ mathbb {Z}. \ end {cases}}}$

Функции пола, потолка и дробной части идемпотентны :

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ Big \ lfloor} \ lfloor x \ rfloor {\ Big \ rfloor} & = \ lfloor x \ rfloor, \\ {\ Big \ lceil} \ lceil x \ rceil {\ Big \ rceil} & = \ lceil x \ rceil, \\ {\ Big \ {} \ {x \} {\ Big \}} & = \ {x \}. \ end {выровнено}}}$

Результатом вложенных функций пола или потолка является самая внутренняя функция:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ Big \ lfloor} \ lceil x \ rceil {\ Big \ rfloor} & = \ lceil x \ rceil, \\ {\ Big \ lceil} \ lfloor x \ rfloor {\ Big \ rceil} & = \ lfloor x \ rfloor \ end {выровнено}}}$

из-за свойства идентичности для целых чисел.

Коэффициенты

Если m и n - целые числа и n 0,

${\ displaystyle 0 \ leq \ left \ {{\ frac {m} {n}} \ right \} \ leq 1 - {\ frac {1} {| n |}}.}$

Если n - целое положительное число

${\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {x + m} {n}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {\ lfloor x \ rfloor + m} {n}} \ right \ rfloor,}$

${\ displaystyle \ left \ lceil {\ frac {x + m} {n}} \ right \ rceil = \ left \ lceil {\ frac {\ lceil x \ rceil + m} {n}} \ right \ rceil.}$

Если m положительно

${\ displaystyle n = \ left \ lceil {\ frac {n} {m}} \ right \ rceil + \ left \ lceil {\ frac {n-1} {m}} \ right \ rceil + \ dots + \ left \ lceil {\ frac {n-m + 1} {m}} \ right \ rceil,}$

${\ displaystyle n = \ left \ lfloor {\ frac {n} {m}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {n + 1} {m}} \ right \ rfloor + \ dots + \ left \ lfloor {\ frac {n + m-1} {m}} \ right \ rfloor.}$

При m = 2 из этого следует

${\ displaystyle n = \ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor + \ left \ lceil {\ frac {n} {2}} \ right \ rceil.}$

В более общем смысле, для положительного m (см . Личность Эрмита )

${\ displaystyle \ lceil mx \ rceil = \ left \ lceil x \ right \ rceil + \ left \ lceil x - {\ frac {1} {m}} \ right \ rceil + \ dots + \ left \ lceil x- { \ frac {m-1} {m}} \ right \ rceil,}$

${\ Displaystyle \ lfloor mx \ rfloor = \ left \ lfloor x \ right \ rfloor + \ left \ lfloor x + {\ frac {1} {m}} \ right \ rfloor + \ dots + \ left \ lfloor x + {\ frac {m-1} {m}} \ right \ rfloor.}$

Следующее можно использовать для преобразования полов в потолки и наоборот ( m положительное)

${\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {n} {m}} \ right \ rceil = \ left \ lfloor {\ frac {n + m-1} {m}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor { \ frac {n-1} {m}} \ right \ rfloor +1,}$

${\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {n} {m}} \ right \ rfloor = \ left \ lceil {\ frac {n-m + 1} {m}} \ right \ rceil = \ left \ lceil { \ frac {n + 1} {m}} \ right \ rceil -1,}$

Для всех m и n строго положительных целых чисел:

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} \ left \ lfloor {\ frac {km} {n}} \ right \ rfloor = {\ frac {(m-1) (n-1) + \ gcd (m, n) -1} {2}},}$

которая при положительных и взаимно простых m и n сводится к

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} \ left \ lfloor {\ frac {km} {n}} \ right \ rfloor = {\ frac {1} {2}} (m-1 ) (n-1).}$

Поскольку правая часть общего случая симметрична по m и n , отсюда следует, что

${\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {m} {n}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {2m} {n}} \ right \ rfloor + \ dots + \ left \ lfloor {\ frac {(n-1) m} {n}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {n} {m}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {2n} {m} } \ right \ rfloor + \ dots + \ left \ lfloor {\ frac {(m-1) n} {m}} \ right \ rfloor.}$

В более общем смысле, если m и n положительны,

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ left \ lfloor {\ frac {x} {n}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {m + x} {n}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {2m + x} {n}} \ right \ rfloor + \ dots + \ left \ lfloor {\ frac {(n-1) m + x} {n}} \ right \ rfloor \ \ = & \ left \ lfloor {\ frac {x} {m}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {n + x} {m}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {2n + x} {m}} \ right \ rfloor + \ cdots + \ left \ lfloor {\ frac {(m-1) n + x} {m}} \ right \ rfloor. \ End {align}}}$

Иногда это называют законом взаимности .

Вложенные подразделения

Для положительного целого числа n и произвольных действительных чисел m , x :

${\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {\ lfloor x / m \ rfloor} {n}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {x} {mn}} \ right \ rfloor}$

${\ displaystyle \ left \ lceil {\ frac {\ lceil x / m \ rceil} {n}} \ right \ rceil = \ left \ lceil {\ frac {x} {mn}} \ right \ rceil.}$

Продолжение и расширение серий

Ни одна из функций , описанных в этой статье , не являются непрерывными , но все они кусочно - линейными : функции , и имеют разрывы в целых числах. ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$${\ Displaystyle \ lceil х \ rceil}$${\ Displaystyle \ {х \}}$

${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$  является полунепрерывно сверху и     и   ниже полунепрерывными. ${\ Displaystyle \ lceil х \ rceil}$${\ Displaystyle \ {х \}}$

Поскольку ни одна из функций, обсуждаемых в этой статье, не является непрерывной, ни одна из них не имеет разложения в степенной ряд . Поскольку пол и потолок не периодичны, они не имеют равномерно сходящихся разложений в ряд Фурье . Функция дробной части имеет разложение в ряд Фурье

${\ displaystyle \ {x \} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (2 \ pi kx)} {k}}}$

для x не целое число.

В точках разрыва ряд Фурье сходится к значению, которое является средним его пределов слева и справа, в отличие от функций пола, потолка и дробной части: для фиксированного y и кратного x y данный ряд Фурье сходится к y / 2, а не к x  mod  y  = 0. В точках непрерывности ряд сходится к истинному значению.

Используя формулу floor (x) = x - {x}, получаем

${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor = x - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac { \ sin (2 \ pi kx)} {k}}}$

для x не целое число.

Приложения

Оператор мода

Для целого х и положительного целого числа у , в операции по модулю , обозначенном х мод у , дает значение остатка , когда х делится на у . Это определение может быть расширено до вещественных x и y , y 0, по формуле

${\ displaystyle x {\ bmod {y}} = xy \ left \ lfloor {\ frac {x} {y}} \ right \ rfloor.}$

Тогда из определения функции пола следует, что эта расширенная операция удовлетворяет многим естественным свойствам. Примечательно, что x mod y всегда находится между 0 и y , т. Е.

если y положительно,

${\ displaystyle 0 \ leq x {\ bmod {y}} <y,}$

и если y отрицательно,

${\ displaystyle 0 \ geq x {\ bmod {y}}> y.}$

Квадратичная взаимность

Третье доказательство квадратичной взаимности Гаусса , модифицированное Эйзенштейном, состоит из двух основных шагов.

Пусть p и q - различные положительные нечетные простые числа, и пусть

${\ displaystyle m = {\ frac {p-1} {2}},}$ ${\ displaystyle n = {\ frac {q-1} {2}}.}$

Во-первых, лемма Гаусса используется, чтобы показать, что символы Лежандра задаются формулами

${\ displaystyle \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {q} {p}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor { \ frac {2q} {p}} \ right \ rfloor + \ dots + \ left \ lfloor {\ frac {mq} {p}} \ right \ rfloor}}$

а также

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {p} {q}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor { \ frac {2p} {q}} \ right \ rfloor + \ dots + \ left \ lfloor {\ frac {np} {q}} \ right \ rfloor}.}$

Второй шаг - использовать геометрический аргумент, чтобы показать, что

${\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {q} {p}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {2q} {p}} \ right \ rfloor + \ dots + \ left \ lfloor {\ frac {mq} {p}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {p} {q}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {2p} {q}} \ right \ rfloor + \ точки + \ left \ lfloor {\ frac {np} {q}} \ right \ rfloor = mn.}$

Объединение этих формул дает квадратичную взаимность в виде

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {mn} = (- 1) ^ {{\ frac {p-1} {2}} {\ frac {q-1} {2}}}.}$

Существуют формулы, которые используют floor для выражения квадратичного характера малых чисел по модулю нечетных простых чисел p :

${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {p + 1} {4}} \ right \ rfloor},}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {p + 1} {6}} \ right \ rfloor}.}$

Округление

Для произвольного действительного числа , округление до ближайшего целого числа с галстуком преломлением к положительной бесконечности задаются ; округление в сторону отрицательной бесконечности дается как . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ text {rpi}} (x) = \ left \ lfloor x + {\ tfrac {1} {2}} \ right \ rfloor = \ left \ lceil {\ tfrac {\ lfloor 2x \ rfloor} {2 }} \ right \ rceil}$${\ displaystyle {\ text {rni}} (x) = \ left \ lceil x - {\ tfrac {1} {2}} \ right \ rceil = \ left \ lfloor {\ tfrac {\ lceil 2x \ rceil} { 2}} \ right \ rfloor}$

Если разрыв связи отличается от 0, тогда функция округления равна , и округление в сторону четности может быть выражено с помощью более громоздкого выражения, которое является приведенным выше выражением для округления в сторону положительной бесконечности за вычетом показателя целостности для . ${\ displaystyle {\ text {ri}} (x) = \ operatorname {sgn} (x) \ left \ lfloor | x | + {\ tfrac {1} {2}} \ right \ rfloor}$${\ Displaystyle \ lfloor x \ rceil = \ left \ lfloor x + {\ tfrac {1} {2}} \ right \ rfloor + \ left \ lceil {\ tfrac {2x-1} {4}} \ right \ rceil - \ left \ lfloor {\ tfrac {2x-1} {4}} \ right \ rfloor -1}$${\ displaystyle {\ text {rpi}} (х)}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {2x-1} {4}}}$

Количество цифр

Количество цифр в базе b положительного целого числа k равно

${\ displaystyle \ lfloor \ log _ {b} {k} \ rfloor + 1 = \ lceil \ log _ {b} {(k + 1)} \ rceil.}$

Факторы факториалов

Пусть n - натуральное число, а p - положительное простое число. Показатель наибольшей степени числа p , делящего n ! дается версией формулы Лежандра

${\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {n} {p}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {n} {p ^ {2}}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor { \ frac {n} {p ^ {3}}} \ right \ rfloor + \ dots = {\ frac {n- \ sum _ {k} a_ {k}} {p-1}}}$

где это способ записи n в базе p . Это конечная сумма, поскольку этажи равны нулю при p ^k > n . ${\ textstyle п = \ сумма _ {k} a_ {k} p ^ {k}}$

Битти последовательность

Последовательность Битти показывает, как каждое положительное иррациональное число приводит к разделению натуральных чисел на две последовательности с помощью функции пола.

Постоянная Эйлера (γ)

Существуют формулы для постоянной Эйлера γ = 0,57721 56649 ..., которые включают пол и потолок, например

${\ displaystyle \ gamma = \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left ({1 \ over \ lfloor x \ rfloor} - {1 \ over x} \ right) \, dx,}$

${\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ left \ lceil {\ frac {n } {k}} \ right \ rceil - {\ frac {n} {k}} \ right),}$

а также

${\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ left \ lfloor \ log _ {2} k \ right \ rfloor} {k} } = {\ tfrac {1} {2}} - {\ tfrac {1} {3}} + 2 \ left ({\ tfrac {1} {4}} - {\ tfrac {1} {5}} + {\ tfrac {1} {6}} - {\ tfrac {1} {7}} \ right) +3 \ left ({\ tfrac {1} {8}} - \ cdots - {\ tfrac {1} { 15}} \ right) + \ cdots}$

Дзета-функция Римана (ζ)

Функция дробной части также появляется в интегральных представлениях дзета-функции Римана . Несложно доказать (используя интегрирование по частям), что если - любая функция с непрерывной производной на отрезке [ a , b ], ${\ Displaystyle \ фи (х)}$

${\ displaystyle \ sum _ {a <n \ leq b} \ phi (n) = \ int _ {a} ^ {b} \ phi (x) \, dx + \ int _ {a} ^ {b} \ left (\ {x \} - {\ tfrac {1} {2}} \ right) \ phi '(x) \, dx + \ left (\ {a \} - {\ tfrac {1} {2}} \ right ) \ phi (a) - \ left (\ {b \} - {\ tfrac {1} {2}} \ right) \ phi (b).}$

Сдача в реальной части в ы больше 1 и позволяя и Ь целые числа, и позволяя б к бесконечности дает ${\ Displaystyle \ phi (п) = {п} ^ {- s}}$

${\ displaystyle \ zeta (s) = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {{\ frac {1} {2}} - \ {x \}} {x ^ {s + 1} }} \, dx + {\ frac {1} {s-1}} + {\ frac {1} {2}}.}$

Эта формула действительна для всех s с действительной частью больше -1 (кроме s = 1, где есть полюс) и в сочетании с разложением Фурье для { x } может использоваться для расширения дзета-функции на всю комплексную плоскость. и доказать его функциональное уравнение.

При s = σ + it в критической полосе 0 < σ <1,

${\ displaystyle \ zeta (s) = s \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- \ sigma \ omega} (\ lfloor e ^ {\ omega} \ rfloor -e ^ {\ omega} ) e ^ {- это \ omega} \, d \ omega.}$

В 1947 году ван дер Поль использовал это представление для создания аналогового компьютера для поиска корней дзета-функции.

Формулы для простых чисел

Функция пола появляется в нескольких формулах, характеризующих простые числа. Например, поскольку равно 1, если m делит n , и 0 в противном случае, следует, что положительное целое число n является простым тогда и только тогда, когда${\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {n} {m}} \ right \ rfloor - \ left \ lfloor {\ frac {n-1} {m}} \ right \ rfloor}$

${\ displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (\ left \ lfloor {\ frac {n} {m}} \ right \ rfloor - \ left \ lfloor {\ frac {n-1}) {m}} \ right \ rfloor \ right) = 2.}$

Можно также дать формулы для получения простых чисел. Например, пусть p _n будет n -м простым числом, и для любого целого числа r > 1 определите действительное число α суммой

${\ displaystyle \ alpha = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} p_ {m} r ^ {- m ^ {2}}.}$

потом

${\ displaystyle p_ {n} = \ left \ lfloor r ^ {n ^ {2}} \ alpha \ right \ rfloor -r ^ {2n-1} \ left \ lfloor r ^ {(n-1) ^ {2 }} \ alpha \ right \ rfloor.}$

Аналогичный результат состоит в том, что существует число θ = 1,3064 ... ( постоянная Миллса ) со свойством, что

${\ Displaystyle \ left \ lfloor \ theta ^ {3} \ right \ rfloor, \ left \ lfloor \ theta ^ {9} \ right \ rfloor, \ left \ lfloor \ theta ^ {27} \ right \ rfloor, \ точки }$

все простые.

Также существует число ω = 1,9287800 ... со свойством, что

${\ Displaystyle \ left \ lfloor 2 ^ {\ omega} \ right \ rfloor, \ left \ lfloor 2 ^ {2 ^ {\ omega}} \ right \ rfloor, \ left \ lfloor 2 ^ {2 ^ {2 ^ { \ omega}}} \ right \ rfloor, \ dots}$

все простые.

Пусть π ( x ) будет количеством простых чисел, меньших или равных x . Это прямой вывод из теоремы Вильсона, что

${\ displaystyle \ pi (n) = \ sum _ {j = 2} ^ {n} \ left \ lfloor {\ frac {(j-1)! + 1} {j}} - \ left \ lfloor {\ frac {(j-1)!} {j}} \ right \ rfloor \ right \ rfloor.}$

Также, если n ≥ 2,

${\ displaystyle \ pi (n) = \ sum _ {j = 2} ^ {n} \ left \ lfloor {\ frac {1} {\ sum _ {k = 2} ^ {j} \ left \ lfloor \ left \ lfloor {\ frac {j} {k}} \ right \ rfloor {\ frac {k} {j}} \ right \ rfloor}} \ right \ rfloor.}$

Ни одна из формул в этом разделе не имеет практического применения.

Решенные проблемы

Рамануджан представил эти задачи в Журнал Индийского математического общества .

Если n - натуральное число, докажите, что

1. ${\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ tfrac {n} {3}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ tfrac {n + 2} {6}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ tfrac {n + 4} {6}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ tfrac {n + 3} {6}} \ правый \ rfloor,}$
2. ${\ displaystyle \ left \ lfloor {\ tfrac {1} {2}} + {\ sqrt {n + {\ tfrac {1} {2}}}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ tfrac {1} {2}} + {\ sqrt {n + {\ tfrac {1} {4}}}} \ right \ rfloor,}$
3. ${\ displaystyle \ left \ lfloor {\ sqrt {n}} + {\ sqrt {n + 1}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ sqrt {4n + 2}} \ right \ rfloor.}$

Нерешенная проблема

Изучение проблемы Варинга привело к нерешенной проблеме:

Существуют ли такие натуральные числа k ≥ 6, что

${\ displaystyle 3 ^ {k} -2 ^ {k} \ left \ lfloor \ left ({\ tfrac {3} {2}} \ right) ^ {k} \ right \ rfloor> 2 ^ {k} - \ левый \ lfloor \ left ({\ tfrac {3} {2}} \ right) ^ {k} \ right \ rfloor -2}$ ?

Малер доказал, что таких k может быть только конечное число ; никто не известен.

Компьютерные реализации

В большинстве языков программирования простейший метод преобразования числа с плавающей запятой в целое - это не пол или потолок, а усечение . Причина этого историческая, поскольку первые машины использовали дополнение до единиц, а усечение было проще реализовать (пол проще в дополнении до двух ). FORTRAN был определен так, чтобы требовать такого поведения, и поэтому почти все процессоры реализуют преобразование таким образом. Некоторые считают это неудачным историческим дизайнерским решением, которое привело к ошибкам при обработке отрицательных смещений и графики на отрицательной стороне источника.

Побитового сдвига вправо на целое число со стороны такой же , как . Деление на степень 2 часто записывается как сдвиг вправо, но не для оптимизации, как можно было бы предположить, а потому, что требуется минимум отрицательных результатов. Если предположить, что такие сдвиги являются «преждевременной оптимизацией», и замена их разделением может привести к поломке программного обеспечения. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {x} {2 ^ {n}}} \ right \ rfloor}$

Многие языки программирования (включая C , C ++ , C # , Java , PHP , R и Python ) предоставляют стандартные функции для пола и потолка, обычно называемые floorи ceil, или реже ceiling. Язык, который APL использует ⌊xдля обозначения пола. Язык программирования J , продолжение APL, предназначенный для использования стандартных символов клавиатуры, используется <.для пола и >.потолка. АЛГОЛ использует entierдля пола.

Программное обеспечение для работы с электронными таблицами

Большинство программ для работы с электронными таблицами поддерживают те или иные ceilingфункции. Хотя детали в разных программах различаются, большинство реализаций поддерживают второй параметр - кратное, до которого необходимо округлить данное число. Например, ceiling(2, 3)округление 2 до ближайшего кратного 3 дает 3. Однако определение того, что означает «округление», различается от программы к программе.

В Microsoft Excel использовалась почти полная противоположность стандартной нотации: INTдля пола, что FLOORозначает «округление к нулю» и « CEILINGокругление от нуля». Это продолжилось до формата файла Office Open XML . Excel 2010 теперь следует стандартному определению.

Формат файла OpenDocument , используемый OpenOffice.org , Libreoffice и другими, следует математическому определению потолка для своей ceilingфункции с дополнительным параметром для совместимости с Excel. Например, CEILING(-4.5)возвращает −4.

Смотрите также

• Кронштейн (математика)
• Целочисленная функция
• Ступенчатая функция

Заметки

Рекомендации

• JWS Cassels (1957), Введение в диофантово приближение , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 45 , Cambridge University Press
• Крэндалл, Ричард; Померанс, Карл (2001), Простые числа: вычислительная перспектива , Нью-Йорк: Springer , ISBN 0-387-94777-9
• Грэм, Рональд Л .; Knuth, Donald E .; Паташник, Орен (1994), Concrete Mathematics , Reading Ma .: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
• Харди, GH; Райт, EM (1980), Введение в теорию чисел (пятое издание) , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853171-5
• Николас Дж. Хайэм, Справочник по математическим наукам , SIAM. ISBN  0-89871-420-6 , стр. 25
• ИСО / МЭК . ISO / IEC 9899 :: 1999 (E): Языки программирования - C (2-е изд.), 1999; Раздел 6.3.1.4, с. 43.
• Айверсон, Кеннет Э. (1962), язык программирования , Wiley
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Берлин: Springer , ISBN 3-540-66957-4
• Рамануджан, Шриниваса (2000), Сборник статей , Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6
• Рибенбойм, Пауло (1996), Новая книга рекордов простых чисел , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-94457-5
• Майкл Салливан. Precalculus , 8-е издание, стр. 86
• Титчмарш, Эдвард Чарльз; Хит-Браун, Дэвид Родни («Роджер») (1986), Теория дзета-функции Римана (2-е изд.), Оксфорд: Oxford UP, ISBN 0-19-853369-1

Внешние ссылки

• «Этажная функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Штефан Порубски, «Целочисленные функции округления» , Интерактивный информационный портал по алгоритмической математике , Институт компьютерных наук Чешской академии наук, Прага, Чешская Республика, дата обращения 24 октября 2008 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция пола» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Функция потолка" . MathWorld .