Целочисленная функция - Integer-valued function

Функция пола на действительных числах. Его разрывы изображены контурами белых дисков с синими кружками.

В математике целочисленная функция - это функция , значения которой являются целыми числами . Другими словами, это функция, которая присваивает целое число каждому члену своего домена .

Функции пола и потолка являются примерами целочисленных функций действительной переменной , но целочисленные функции для действительных чисел и в целом (неотвязных) топологических пространств не особенно полезны. Любая такая функция на связном пространстве либо имеет разрывы, либо постоянна . С другой стороны, на дискретных и других полностью несвязных пространствах целочисленные функции имеют примерно такое же значение, как и действительные функции на недискретных пространствах.

Любая функция с натуральными или неотрицательными целыми значениями является частным случаем целочисленной функции.

Примеры

Integer-значных функций , определенных на области всех действительных чисел включают пол и потолок функции, в функции Дирихле , в знаковую функцию и ступенчатую функцию Хевисайда ( за исключением , возможно , при 0).

Целочисленные функции, определенные в области неотрицательных действительных чисел, включают функцию квадратного корня целого числа и функцию подсчета простых чисел .

Алгебраические свойства

На произвольном множестве X целочисленные функции образуют кольцо с поточечными операциями сложения и умножения , а также алгебру над кольцом Z целых чисел. Поскольку последнее является упорядоченным кольцом , функции образуют частично упорядоченное кольцо :

${\ Displaystyle е \ leq g \ quad \ iff \ quad \ forall x: f (x) \ leq g (x).}$

Использует

Теория графов и алгебра

Целочисленные функции широко используются в теории графов . Они также имеют аналогичное использование в геометрической теории групп , где функция длины представляет понятие нормы , а слово метрика представляет понятие метрики .

Целочисленные многочлены важны в теории колец .

Математическая логика и теория вычислимости

В математической логике такие понятия, как примитивно-рекурсивная функция и μ-рекурсивная функция, представляют собой целочисленные функции нескольких естественных переменных или, другими словами, функции на N ⁿ . Гёделевская нумерация , определенная на правильно построенных формулах некоторого формального языка , является функцией с естественными значениями.

Теория вычислимости по существу основана на натуральных числах и натуральных (или целочисленных) функциях на них.

Теория чисел

В теории чисел многие арифметические функции являются целочисленными.

Компьютерная наука

В компьютерном программировании многие функции возвращают значения целочисленного типа из-за простоты реализации.

Смотрите также

• Целочисленный полином
• Полунепрерывность
• Ранг # Математика
• Оценка # По математике