Бесконечный импульсный отклик - Infinite impulse response

Бесконечная импульсная характеристика ( БИХ ) - это свойство, применяемое ко многим линейным неизменным во времени системам , которые отличаются наличием импульсной характеристики, которая не становится точно нулевой после определенной точки, а продолжается бесконечно. Это контрастирует с системой с конечной импульсной характеристикой (FIR), в которой импульсная характеристика действительно становится точно нулевой время от времени для некоторого конечного значения , таким образом, имеющего конечную продолжительность. Типичными примерами линейных систем, не зависящих от времени, являются большинство электронных и цифровых фильтров . Системы с этим свойством известны как БИХ-системы или БИХ-фильтры .

На практике импульсная характеристика даже БИХ-систем обычно приближается к нулю, и ею можно пренебречь после определенного момента. Однако физические системы, которые вызывают реакции IIR или FIR, различны, и в этом заключается важность различия. Например, аналоговые электронные фильтры, состоящие из резисторов, конденсаторов и / или катушек индуктивности (и, возможно, линейных усилителей), обычно являются БИХ-фильтрами. С другой стороны, фильтры с дискретным временем (обычно цифровые фильтры), основанные на линии задержки с ответвлениями, не использующие обратной связи , обязательно являются КИХ-фильтрами. Конденсаторы (или катушки индуктивности) в аналоговом фильтре обладают «памятью», и их внутреннее состояние никогда полностью не расслабляется после импульса (в предположении классической модели конденсаторов и катушек индуктивности, где квантовые эффекты игнорируются). Но в последнем случае, после того, как импульс достиг конца линии задержки, система больше не запоминает этот импульс и возвращается в свое исходное состояние; его импульсная характеристика за пределами этой точки точно равна нулю.

Реализация и дизайн

Хотя почти все аналоговые электронные фильтры являются БИХ-фильтрами, цифровые фильтры могут быть БИХ или КИХ. Наличие обратной связи в топологии фильтра с дискретным временем (такой как блок-схема, показанная ниже) обычно создает БИХ-отклик. Г домен Передаточная функция из фильтра IIR содержит нетривиальный знаменатель, описывающую эти термины обратной связи. С другой стороны, передаточная функция КИХ-фильтра имеет только числитель, как показано в приведенной ниже общей форме. Все коэффициенты с (члены обратной связи) равны нулю, и фильтр не имеет конечных полюсов .

Передаточные функции аналоговых электронных фильтров с БИХ-фильтрами были тщательно изучены и оптимизированы с учетом их амплитудных и фазовых характеристик. Эти функции непрерывного фильтра описаны в области Лапласа . Желаемые решения могут быть перенесены на случай фильтров с дискретным временем, передаточные функции которых выражены в области z, с помощью определенных математических методов, таких как билинейное преобразование , импульсная инвариантность или метод согласования полюсов и нуля . Таким образом , цифровые БИХ - фильтры могут быть основаны на хорошо известных решений для аналоговых фильтров , таких как фильтр Чебышева , Баттерворта фильтр , и эллиптического фильтра , наследуя характеристики этих решений.

Вывод передаточной функции

Цифровые фильтры часто описываются и реализуются в терминах разностного уравнения, которое определяет, как выходной сигнал соотносится с входным сигналом:

где:

  • это порядок фильтра с прямой связью
  • коэффициенты прямого фильтра
  • это порядок фильтра обратной связи
  • коэффициенты фильтра обратной связи
  • входной сигнал
  • это выходной сигнал.

Более сжатая форма разностного уравнения:

который при перестановке становится:

Чтобы найти передаточную функцию фильтра, мы сначала используем Z-преобразование каждой стороны приведенного выше уравнения, где мы используем свойство временного сдвига, чтобы получить:

Мы определяем передаточную функцию как:

Учитывая, что в большинстве конструкций БИХ-фильтров коэффициент равен 1, передаточная функция БИХ-фильтра принимает более традиционную форму:

Блок-схема простого БИХ-фильтра
Пример блок-схемы БИХ-фильтра. Блок представляет собой блок задержки.

Стабильность

Передаточная функция позволяет судить о том, является ли система стабильной с ограниченным входом и ограниченным выходом (BIBO) . Чтобы быть конкретным, критерий устойчивости BIBO требует, чтобы ROC системы включал единичный круг. Например, для причинной системы все полюса передаточной функции должны иметь абсолютное значение меньше единицы. Другими словами, все полюса должны быть расположены внутри единичного круга на плоскости.

Полюса определяются как значения, знаменатель которых равен 0:

Ясно, что тогда полюса не лежат в начале координат плоскости. Это отличается от КИХ- фильтра, в котором все полюса расположены в начале координат, и поэтому он всегда стабилен.

БИХ - фильтры иногда предпочтительнее фильтры FIR , потому что БИХ - фильтр может обеспечить намного более крутой переходный участок скругления , чем КИХ - фильтра того же порядка.

Пример

Пусть передаточная функция фильтра с дискретным временем определяется выражением:

регулируется параметром , действительным числом с . стабильно и причинно с полюсом в . Можно показать, что импульсный отклик во временной области определяется следующим образом:

где - функция единичного шага . Видно, что он не равен нулю для всех , поэтому импульсный отклик продолжается бесконечно.

Пример БИХ-фильтра

Преимущества и недостатки

Основным преимуществом цифровых БИХ-фильтров перед КИХ-фильтрами является их эффективность в реализации, чтобы соответствовать техническим требованиям в отношении полосы пропускания, полосы задерживания, пульсаций и / или спада. Такой набор спецификаций может быть выполнен с помощью БИХ-фильтра более низкого порядка ( Q в приведенных выше формулах), чем требовалось бы для КИХ-фильтра, отвечающего тем же требованиям. Если реализовано в сигнальном процессоре, это означает соответственно меньшее количество вычислений на временной шаг; вычислительная экономия часто является довольно большим фактором.

С другой стороны, FIR-фильтры проще спроектировать, например, в соответствии с конкретными требованиями к частотной характеристике. Это особенно верно, когда требование не является одним из обычных случаев (верхний проход, нижний проход, режектор и т. Д.), Которые были изучены и оптимизированы для аналоговых фильтров. Также можно легко сделать КИХ-фильтры с линейной фазой (постоянная групповая задержка в зависимости от частоты) - свойство, которое нелегко реализовать с помощью БИХ-фильтров и только в качестве приближения (например, с фильтром Бесселя ). Другой проблемой, связанной с цифровыми БИХ-фильтрами, является возможность поведения предельного цикла в режиме ожидания из-за системы обратной связи в сочетании с квантованием.

Методы проектирования

Импульсная инвариантность

Импульсная инвариантность - это метод разработки фильтров с дискретным временем и бесконечным импульсным откликом (БИХ) на основе фильтров с непрерывным временем, в которых импульсный отклик системы с непрерывным временем дискретизируется для получения импульсного отклика системы с дискретным временем. Импульсная инвариантность - один из обычно используемых методов для удовлетворения двух основных требований отображения из s-плоскости в z-плоскость. Это достигается путем решения T (z), которая имеет то же выходное значение при том же времени выборки, что и аналоговый фильтр, и применима только тогда, когда входы находятся в импульсе.
Обратите внимание, что все входы цифрового фильтра, сгенерированные этим методом, являются приблизительными значениями, за исключением очень точных импульсных входов. Это простейший метод создания БИХ-фильтра. Он наиболее точен на низких частотах, поэтому обычно используется в фильтрах нижних частот.

Для преобразования Лапласа или z-преобразования выходные данные после преобразования - это просто входные данные, умноженные на соответствующую функцию преобразования, T (s) или T (z). Y (s) и Y (z) - это преобразованные выходные данные входа X (s) и входа X (z), соответственно.



При применении преобразования Лапласа или z-преобразования к единичному импульсу результат равен 1. Следовательно, выходные результаты после преобразования



Теперь выход аналогового фильтра - это просто обратное преобразование Лапласа во временной области.


Если мы используем nT вместо t, мы можем получить выходной сигнал y (nT), полученный из импульса во время выборки. Его также можно выразить как y (n)


К этому дискретному временному сигналу можно применить z-преобразование, чтобы получить T (z)




Последнее уравнение описывает, что в математике цифровой БИХ-фильтр должен выполнять z-преобразование аналогового сигнала, который был дискретизирован и преобразован в T (s) Лапласом, что обычно упрощается до


Обратите внимание на то, что в формуле фигурирует множитель T. Это связано с тем, что даже если преобразование Лапласа и z-преобразование для единичного импульса равны 1, сам импульс не обязательно является одинаковым. Для аналоговых сигналов импульс имеет бесконечное значение, но площадь равна 1 при t = 0, но равна 1 при импульсе с дискретным временем t = 0, поэтому требуется наличие множителя T.

Ступенчатая инвариантность

Шаговая инвариантность - лучший метод проектирования, чем импульсная инвариантность. Цифровой фильтр имеет несколько входных сегментов с разными константами при дискретизации, которая состоит из дискретных шагов. БИХ-фильтр, инвариантный по шагу, менее точен, чем такой же входной ступенчатый сигнал для АЦП. Однако это лучшее приближение для любого входа, чем импульсный инвариант.
Инвариант шага решает проблему одних и тех же значений выборки, когда T (z) и T (s) оба являются входными шагами. Входом цифрового фильтра является u (n), а входом аналогового фильтра - u (t). Примените z-преобразование и преобразование Лапласа к этим двум входам, чтобы получить преобразованный выходной сигнал.
Выполнить z-преобразование на пошаговом входе. Конвертированный вывод после z-преобразования. Выполнить преобразование Лапласа на пошаговом входе. Конвертированный вывод после преобразования Лапласа . Вывод аналогового фильтра - y (t), который является обратным преобразованием Лапласа для Y (s). Если выборка производится каждые T секунд, это y (n), что является обратным преобразованием Y (z). Эти сигналы используются для определения цифрового фильтра и аналогового фильтра и имеют одинаковый выходной сигнал во время выборки. Следующее уравнение указывает решение T (z), которое является приближенной формулой для аналогового фильтра.









Билинейное преобразование

Билинейное преобразование - это частный случай конформного отображения, часто используемое для преобразования передаточной функции линейного, инвариантного во времени (LTI) фильтра в области непрерывного времени (часто называемого аналоговым фильтром) в передаточную функцию линейного , инвариантный к сдвигу фильтр в дискретной временной области. Билинейное преобразование - это приближение первого порядка функции натурального логарифма, которое является точным отображением z- плоскости в s- плоскость. Когда преобразование Лапласа выполняется для сигнала с дискретным временем (с каждым элементом последовательности с дискретным временем, присоединенным к соответственно задержанному единичному импульсу), результатом является именно Z-преобразование последовательности с дискретным временем с заменой

где - размер шага численного интегрирования правила трапеций, используемого при выводе билинейного преобразования; или, другими словами, период выборки. Вышеупомянутая билинейная аппроксимация может быть решена или аналогичная аппроксимация может быть выполнена для.

Обратное к этому отображению (и его билинейному приближению первого порядка) имеет вид

Это соотношение используется в передаточной функции Лапласа любого аналогового фильтра или в цифровом фильтре с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) T (z) аналогового фильтра.
Билинейное преобразование по существу использует это приближение первого порядка и заменяет передаточную функцию непрерывного времени,

Это

который используется для расчета цифрового БИХ-фильтра, начиная с передаточной функции Лапласа аналогового фильтра.

Смотрите также

Внешние ссылки