Неравенство средних арифметических и геометрических - Inequality of arithmetic and geometric means

В математике , то неравенство арифметических и геометрических средств , или более кратко в неравенстве AM-GM , утверждает , что среднее арифметическое из списка неотрицательных действительных чисел больше или равно среднему геометрическому из того же списка; и далее, что два средних значения равны тогда и только тогда, когда все числа в списке одинаковы (в этом случае они оба являются этим числом).

Простейшим нетривиальным случаем, т. Е. С более чем одной переменной, для двух неотрицательных чисел x и  y является утверждение, что

${\ displaystyle {\ frac {x + y} {2}} \ geq {\ sqrt {xy}}}$

с равенством тогда и только тогда, когда x = y . Этот случай можно увидеть из того факта, что квадрат действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю), и из элементарного случая ( a ± b ) ² = a ² ± 2 ab + b ² числа биномиальная формула :

${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & \ leq (xy) ^ {2} \\ & = x ^ {2} -2xy + y ^ {2} \\ & = x ^ {2} + 2xy + y ^ {2} -4xy \\ & = (x + y) ^ {2} -4xy. \ End {align}}}$

Следовательно, ( x + y ) ² ≥ 4 xy , причем равенство именно тогда, когда ( x - y ) ² = 0 , т. Е. X = y . Тогда неравенство AM – GM следует из извлечения положительного квадратного корня из обеих частей и последующего деления обеих частей на 2 .

Для геометрической интерпретации рассмотрим прямоугольник со сторонами длиной  x и  y , следовательно, он имеет периметр 2 x + 2 y и площадь  xy . Точно так же квадрат со всеми сторонами длиной √ xy имеет периметр 4 √ xy и такую ​​же площадь, что и прямоугольник. В простейшем нетривиальном случае неравенства AM – GM для периметров следует, что 2 x + 2 y ≥ 4 √ xy и что только квадрат имеет наименьший периметр среди всех прямоугольников равной площади.

Доступны расширения неравенства AM – GM для включения весов или обобщенных средних .

Фон

Среднее арифметическое , или менее точно среднем , из списка п чисел х ₁ , х ₂ ,. . . , x _n - сумма чисел, деленная на  n :

${\ displaystyle {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}.}$

Среднее геометрическое аналогично, за исключением того, что она определена только для списка неотрицательных действительных чисел, и использует умножение и корень вместо сложения и деления:

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ cdot x_ {2} \ cdots x_ {n}}}.}.$

Если x ₁ , x ₂ ,. . . , x _n > 0 , это равно экспоненте среднего арифметического натуральных логарифмов чисел:

${\ displaystyle \ exp \ left ({\ frac {\ ln {x_ {1}} + \ ln {x_ {2}} + \ cdots + \ ln {x_ {n}}} {n}} \ right). }$

Неравенство

Повторяя неравенство с использованием математической записи, мы имеем, что для любого списка из n неотрицательных действительных чисел x ₁ , x ₂ ,. . . , x _n ,

${\ displaystyle {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}} \ geq {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ cdot x_ {2}) \ cdots x_ {n}}} \ ,,}$

и что равенство выполняется тогда и только тогда, когда x ₁ = x ₂ = · · · = x _n .

Геометрическая интерпретация

В двух измерениях 2 x ₁ + 2 x ₂ - это периметр прямоугольника со сторонами длиной  x ₁ и  x ₂ . Аналогичным образом , 4 √ х ₁ х ₂ периметр квадрата с одной и той же области , х ₁ х ₂ , так как этот прямоугольник. Таким образом, для n = 2 неравенство AM – GM утверждает, что прямоугольник данной площади имеет наименьший периметр, если этот прямоугольник также является квадратом.

Полное неравенство - это расширение этой идеи до n измерений. Каждая вершина n- мерного бокса соединена с n ребрами. Если длины этих ребер равны x ₁ , x ₂ ,. . . , x _n , то x ₁ + x ₂ + · · · + x _n - общая длина ребер, инцидентных вершине. Имеется 2 ⁿ вершин, поэтому мы умножаем это на  2 ⁿ ; Однако поскольку каждое ребро пересекает две вершины, каждое ребро считается дважды. Поэтому делим на  2 и заключаем, что имеется 2 ^{n - 1} n ребер. Имеется одинаковое количество ребер каждой длины и длины n ; следовательно, имеется 2 ^{n −1} ребра каждой длины, а сумма всех длин ребер равна 2 ^{n −1} ( x ₁ + x ₂ + · · · + x _n ) . С другой стороны,

${\ displaystyle 2 ^ {n-1} (x_ {1} + \ ldots + x_ {n}) = 2 ^ {n-1} n {\ sqrt [{n}] {x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n}}}}$

- общая длина ребер, соединенных с вершиной n- мерного куба равного объема, поскольку в этом случае x ₁ = ... = x _n . Поскольку неравенство говорит

${\ displaystyle {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n} \ over n} \ geq {\ sqrt [{n}] {x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n}) }},}$

его можно пересчитать, умножив на n 2 ^{n –1,} чтобы получить

${\ displaystyle 2 ^ {n-1} (x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}) \ geq 2 ^ {n-1} n {\ sqrt [{n}] {x_ { 1} x_ {2} \ cdots x_ {n}}}}$

с равенством тогда и только тогда, когда x ₁ = x ₂ = · · · = x _n .

Таким образом, неравенство AM – GM утверждает, что только n -куб имеет наименьшую сумму длин ребер, соединенных с каждой вершиной, среди всех n -мерных ящиков с одинаковым объемом.

Пример приложения

Рассмотрим функцию

${\ displaystyle f (x, y, z) = {\ frac {x} {y}} + {\ sqrt {\ frac {y} {z}}} + {\ sqrt [{3}] {\ frac { z} {x}}}}$

для всех положительных действительных чисел x , y и  z . Предположим, мы хотим найти минимальное значение этой функции. Его можно переписать так:

${\ displaystyle {\ begin {align} f (x, y, z) & = 6 \ cdot {\ frac {{\ frac {x} {y}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {y} {z}}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {y} {z}}} + {\ frac {1} {3}} {\ sqrt [{3}] {\ frac {z} {x}}} + {\ frac {1} {3}} {\ sqrt [{3}] {\ frac {z} {x}}} + {\ frac {1} {3}} {\ sqrt [{3}] {\ frac {z} {x}}}} {6}} \\ & = 6 \ cdot {\ frac {x_ {1} + x_ {2 } + x_ {3} + x_ {4} + x_ {5} + x_ {6}} {6}} \ end {align}}}$

с участием

${\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {x} {y}}, \ qquad x_ {2} = x_ {3} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {y} {z}}}, \ qquad x_ {4} = x_ {5} = x_ {6} = {\ frac {1} {3}} {\ sqrt [{3}] {\ frac {z} {x} }}.}$

Применяя неравенство AM – GM для n = 6 , получаем

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} е (х, у, г) & \ geq 6 \ cdot {\ sqrt [{6}] {{\ frac {x} {y}} \ cdot {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {y} {z}}} \ cdot {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {y} {z}}} \ cdot {\ frac { 1} {3}} {\ sqrt [{3}] {\ frac {z} {x}}} \ cdot {\ frac {1} {3}} {\ sqrt [{3}] {\ frac {z } {x}}} \ cdot {\ frac {1} {3}} {\ sqrt [{3}] {\ frac {z} {x}}}}} \\ & = 6 \ cdot {\ sqrt [ {6}] {{\ frac {1} {2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3}} {\ frac {x} {y}} {\ frac {y} {z}} {\ frac {z} {x}}}} \\ & = 2 ^ {2/3} \ cdot 3 ^ {1/2}. \ end {align}}}$

Кроме того, мы знаем, что две стороны равны именно тогда, когда все члены среднего равны:

${\ displaystyle f (x, y, z) = 2 ^ {2/3} \ cdot 3 ^ {1/2} \ quad {\ mbox {when}} \ quad {\ frac {x} {y}} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {y} {z}}} = {\ frac {1} {3}} {\ sqrt [{3}] {\ frac {z} { Икс}}}.}$

Все точки ( x , y , z ), удовлетворяющие этим условиям, лежат на полупрямой, начинающейся в начале координат, и имеют вид

${\ displaystyle (x, y, z) = {\ biggr (} t, {\ sqrt [{3}] {2}} {\ sqrt {3}} \, t, {\ frac {3 {\ sqrt { 3}}} {2}} \, t {\ biggr)} \ quad {\ mbox {with}} \ quad t> 0.}$

Практическое применение

Важное практическое применение в финансовой математике состоит в вычислении нормы прибыли : в годовом исчислении , вычисленную с помощью среднего геометрического, меньше , чем среднего годового дохода, вычисленного среднего арифметического (или равно , если все возвращения равны). Это важно при анализе инвестиций , поскольку средняя доходность превышает совокупный эффект.

Доказательства неравенства AM – GM.

Доказательство с использованием неравенства Дженсена

Неравенство Дженсена утверждает, что значение вогнутой функции среднего арифметического больше или равно среднему арифметическому значений функции. Поскольку функция логарифмирования вогнутая, имеем

${\ displaystyle \ log \ left ({\ frac {\ sum _ {i} x_ {i}} {n}} \ right) \ geq \ sum {\ frac {1} {n}} \ log x_ {i} = \ sum \ left (\ log x_ {i} ^ {1 / n} \ right) = \ log \ left (\ prod x_ {i} ^ {1 / n} \ right).}$

Взяв антилогари крайних левых и крайних правых частей, мы получаем неравенство AM – GM.

Доказательство усреднением среднего арифметического.

Мы должны показать, что

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}} \ geq {\ sqrt [{n}] {x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n}}}}$

с равенством только тогда, когда все числа равны. Если x _i ≠ x _j , то замена как x _{i, так} и x _j на ( x _i + x _j ) / 2 оставит среднее арифметическое в левой части неизменным, но увеличит среднее геометрическое в правой части. потому что

${\ displaystyle {\ Bigl (} {\ frac {x_ {i} + x_ {j}} {2}} {\ Bigr)} ^ {2} -x_ {i} x_ {j} = {\ Bigl (} {\ frac {x_ {i} -x_ {j}} {2}} {\ Bigr)} ^ {2}> 0.}$

Таким образом, правая часть будет наибольшей, когда все x _i s равны среднему арифметическому.

${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}},}$

таким образом, поскольку это наибольшее значение правой части выражения, мы имеем

${\ displaystyle {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}} = \ alpha = {\ sqrt [{n}] {\ alpha \ alpha \ cdots \ alpha }} \ geq {\ sqrt [{n}] {x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n}}}.}.$

Это верное доказательство для случая n = 2 , но процедура итеративного попарного усреднения может не дать n равных чисел в случае n ≥ 3 . Примером этого случая является x ₁ = x ₂ ≠ x ₃ : усреднение двух разных чисел дает два равных числа, но третье по-прежнему отличается. Следовательно, мы никогда не получим неравенства, включающего среднее геометрическое трех равных чисел.

В общем случае описанный выше процесс усреднения имеет тенденцию к равным числам, что доказывает AM-GM.

Мы можем убедиться в этом, заметив, что одно из отрицательных значений , и что, если это среднее значение всех чисел, мы можем измерить дисперсию путем рассмотрения . Этот член всегда положителен и стремится к нулю при преобразовании : ${\ displaystyle x_ {i}, x_ {j}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle (х_ {я} - \ альфа) ^ {2} + (х_ {j} - \ альфа) ^ {2}}$${\ displaystyle x_ {i}, x_ {j} \ to {\ frac {x_ {i} + x_ {j}} {2}}}$

Пусть, без потери общности , и . ${\ displaystyle d_ {i} = x_ {i} - \ alpha> 0}$${\ displaystyle d_ {j} = x_ {j} - \ alpha <0}$

потом

${\ displaystyle 2 \ left ({\ frac {x_ {i} + x_ {j}} {2}} - \ alpha \ right) ^ {2}}$

${\ displaystyle = 2 \ left ({\ frac {x_ {i} - \ alpha} {2}} + {\ frac {x_ {j} - \ alpha} {2}} \ right) ^ {2}}$

${\ displaystyle = 2 \ left ({\ frac {d_ {i}} {2}} + {\ frac {d_ {j}} {2}} \ right) ^ {2}}$

${\ displaystyle = {\ frac {d_ {i} ^ {2}} {2}} + {\ frac {d_ {j} ^ {2}} {2}} - d_ {i} | d_ {j} | }$

${\ displaystyle \ leq {\ frac {d_ {i} ^ {2} + d_ {j} ^ {2}} {2}}}$

Доказательства индукции

Доказательство по индукции # 1.

Из неотрицательных действительных чисел x ₁ ,. . . , x _n , утверждение AM – GM эквивалентно

${\ Displaystyle \ альфа ^ {п} \ geq x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n}}$

с равенством тогда и только тогда, когда α = x _i для всех i ∈ {1,. . . , n } .

Для следующего доказательства мы применяем математическую индукцию и только хорошо известные правила арифметики.

Базис индукции: для n = 1 утверждение верно с равенством.

Гипотеза индукции. Предположим, что утверждение AM – GM выполняется для любого выбора n неотрицательных действительных чисел.

Шаг индукции: Рассмотрим n + 1 неотрицательных действительных чисел x ₁ ,. . . , Х _{п +1} ,. Их среднее арифметическое α удовлетворяет

${\ displaystyle (n + 1) \ alpha = \ x_ {1} + \ cdots + x_ {n} + x_ {n + 1}.}$

Если все x _i равны α , то мы имеем равенство в утверждении AM – GM, и все готово. В случае, когда некоторые из них не равны α , должно существовать одно число, которое больше среднего арифметического α , и другое число меньше α . Без потери общности, мы можем переупорядочить наш x _i , чтобы поместить эти два конкретных элемента в конец: x _n > α и x _{n +1} < α . потом

${\ displaystyle x_ {n} - \ alpha> 0 \ qquad \ alpha -x_ {n + 1}> 0}$

${\ displaystyle \ подразумевает (x_ {n} - \ alpha) (\ alpha -x_ {n + 1})> 0 \,. \ qquad (*)}$

Теперь определим y с помощью

${\ displaystyle y: = x_ {n} + x_ {n + 1} - \ alpha \ geq x_ {n} - \ alpha> 0 \ ,,}$

и рассмотрим n чисел x ₁ ,. . . , x _{n –1} , y, которые все неотрицательны. С

${\ Displaystyle (п + 1) \ альфа = x_ {1} + \ cdots + x_ {n-1} + x_ {n} + x_ {n + 1}}$

${\ displaystyle n \ alpha = x_ {1} + \ cdots + x_ {n-1} + \ underbrace {x_ {n} + x_ {n + 1} - \ alpha} _ {= \, y},}$

Таким образом, α также является средним арифметическим n чисел x ₁ ,. . . , x _{n –1} , y и предположение индукции влечет

${\ displaystyle \ alpha ^ {n + 1} = \ alpha ^ {n} \ cdot \ alpha \ geq x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n-1} y \ cdot \ alpha. \ qquad (* *)}$

Благодаря (*) мы знаем, что

${\ displaystyle (\ underbrace {x_ {n} + x_ {n + 1} - \ alpha} _ {= \, y}) \ alpha -x_ {n} x_ {n + 1} = (x_ {n} - \ alpha) (\ alpha -x_ {n + 1})> 0,}$

следовательно

${\ Displaystyle у \ альфа> х_ {п} х_ {п + 1} \ ,, \ qquad ({*} {*} {*})}$

в частности, α > 0 . Следовательно, если хотя бы одно из чисел x ₁ ,. . . , x _{n –1} равно нулю, то в (**) уже выполняется строгое неравенство. В противном случае правая часть (**) положительна, и строгое неравенство получается путем использования оценки (***) для получения нижней оценки правой части (**). Таким образом, в обоих случаях мы можем заменить (***) на (**), чтобы получить

${\ Displaystyle \ альфа ^ {п + 1}> x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n-1} x_ {n} x_ {n + 1} \ ,,}$

что завершает доказательство.

Доказательство по индукции # 2.

Прежде всего докажем, что для действительных чисел x ₁ <1 и x ₂ > 1 следует

${\ displaystyle x_ {1} + x_ {2}> x_ {1} x_ {2} +1.}$

Действительно, умножение обеих частей неравенства x ₂ > 1 на 1 - x ₁ дает

${\ displaystyle x_ {2} -x_ {1} x_ {2}> 1-x_ {1},}$

откуда сразу получается требуемое неравенство.

Теперь мы собираемся доказать, что для положительных действительных чисел x ₁ ,. . . , x _n, удовлетворяющее x ₁ . . . x _n = 1 , выполняется

${\ displaystyle x_ {1} + \ cdots + x_ {n} \ geq n.}$

Равенство выполняется, только если x ₁ = ... = x _n = 1 .

Базис индукции: для n = 2 утверждение верно в силу указанного выше свойства.

Гипотеза индукции: предположим, что утверждение верно для всех натуральных чисел до n - 1 .

Шаг индукции: Рассмотрим натуральное число n , т.е. для положительных действительных чисел x ₁ ,. . . , x _n , выполняется x ₁ . . . х _п = 1 . Существует хотя бы один x _k <1 , поэтому должен быть хотя бы один x _j > 1 . Без ограничения общности положим k = n - 1 и j = n .

Далее, равенство x ₁ . . . x _n = 1 запишем в виде ( x ₁ ... x _{n –2} ) ( x _{n –1} x _n ) = 1 . Тогда из предположения индукции следует

${\ displaystyle (x_ {1} + \ cdots + x_ {n-2}) + (x_ {n-1} x_ {n})> n-1.}$

Однако с учетом базиса индукции имеем

${\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} + \ cdots + x_ {n-2} + x_ {n-1} + x_ {n} & = (x_ {1} + \ cdots + x_ {n- 2}) + (x_ {n-1} + x_ {n}) \\ &> (x_ {1} + \ cdots + x_ {n-2}) + x_ {n-1} x_ {n} +1 \\ &> n, \ end {выровнено}}}$

что завершает доказательство.

Для положительных действительных чисел a ₁ ,. . . , a _n , обозначим

${\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {a_ {1}} {\ sqrt [{n}] {a_ {1} \ cdots a_ {n}}}}, ..., x_ {n} = { \ frac {a_ {n}} {\ sqrt [{n}] {a_ {1} \ cdots a_ {n}}}}.}.$

Цифры x ₁ ,. . . , x _n удовлетворяют условию x ₁ . . . х _п = 1 . Итак, у нас есть

${\ displaystyle {\ frac {a_ {1}} {\ sqrt [{n}] {a_ {1} \ cdots a_ {n}}}} + \ cdots + {\ frac {a_ {n}} {\ sqrt [{n}] {a_ {1} \ cdots a_ {n}}}} \ geq n,}$

откуда получаем

${\ displaystyle {\ frac {a_ {1} + \ cdots + a_ {n}} {n}} \ geq {\ sqrt [{n}] {a_ {1} \ cdots a_ {n}}},}$

причем равенство выполняется только для a ₁ = ... = a _n .

Доказательство Коши с использованием индукции вперед – назад.

Следующее ниже доказательство по случаям напрямую основывается на хорошо известных правилах арифметики, но использует редко используемую технику прямой-обратной индукции. По сути, это произведение Огюстена Луи Коши, которое можно найти в его Cours d'analyse .

Случай, когда все члены равны

Если все условия равны:

${\ Displaystyle x_ {1} = x_ {2} = \ cdots = x_ {n},}$

тогда их сумма равна nx ₁ , поэтому их среднее арифметическое равно  x ₁ ; и их произведение равно x ₁ ⁿ , поэтому их среднее геометрическое равно  x ₁ ; следовательно, среднее арифметическое и среднее геометрическое равны, как и требуется.

Случай, когда не все члены равны

Осталось показать, что если не все члены равны, то среднее арифметическое больше среднего геометрического. Ясно, что это возможно только при n > 1 .

Этот случай значительно сложнее, и мы разбиваем его на подслучаи.

Подслучай, когда n = 2

Если n = 2 , то у нас есть два члена, x ₁ и x ₂ , и поскольку (по нашему предположению) не все члены равны, мы имеем:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ Bigl (} {\ frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}} {\ Bigr)} ^ {2} -x_ {1} x_ {2} & = {\ frac {1} {4}} (x_ {1} ^ {2} + 2x_ {1} x_ {2} + x_ {2} ^ {2}) - x_ {1} x_ {2} \ \ & = {\ frac {1} {4}} (x_ {1} ^ {2} -2x_ {1} x_ {2} + x_ {2} ^ {2}) \\ & = {\ Bigl (} {\ frac {x_ {1} -x_ {2}} {2}} {\ Bigr)} ^ {2}> 0, \ end {align}}}$

следовательно

${\ displaystyle {\ frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}} \ geq {\ sqrt {x_ {1} x_ {2}}}}$

по желанию.

Подслучай, когда n = 2 ^k

Рассмотрим случай, когда n = 2 ^k , где k - натуральное число. Действуем по математической индукции.

В базовом случае k = 1 , поэтому n = 2 . Мы уже показали, что неравенство выполняется при n = 2 , поэтому мы закончили.

Теперь предположим, что для данного k > 1 мы уже показали, что неравенство выполняется для n = 2 ^{k −1} , и мы хотим показать, что оно выполняется для n = 2 ^k . Для этого применим неравенство дважды для 2 ^{k -1} чисел и один раз для 2 чисел, чтобы получить:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {2 ^ {k}}} {2 ^ {k}}} & {} = {\ frac {{\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {2 ^ {k-1}}} {2 ^ {k-1}}} + {\ frac {x_ {2 ^ {k -1} +1} + x_ {2 ^ {k-1} +2} + \ cdots + x_ {2 ^ {k}}} {2 ^ {k-1}}}} {2}} \\ [ 7pt] & \ geq {\ frac {{\ sqrt [{2 ^ {k-1}}] {x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {2 ^ {k-1}}}} + {\ sqrt [{2 ^ {k-1}}] {x_ {2 ^ {k-1} +1} x_ {2 ^ {k-1} +2} \ cdots x_ {2 ^ {k}}}}} { 2}} \\ [7pt] & \ geq {\ sqrt {{\ sqrt [{2 ^ {k-1}}] {x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {2 ^ {k-1}} }} {\ sqrt [{2 ^ {k-1}}] {x_ {2 ^ {k-1} +1} x_ {2 ^ {k-1} +2} \ cdots x_ {2 ^ {k} }}}}} \\ [7pt] & = {\ sqrt [{2 ^ {k}}] {x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {2 ^ {k}}}} \ end {выровнено} }}$

где в первом неравенстве две стороны равны, только если

${\ Displaystyle x_ {1} = x_ {2} = \ cdots = x_ {2 ^ {k-1}}}$

а также

${\ Displaystyle x_ {2 ^ {k-1} +1} = x_ {2 ^ {k-1} +2} = \ cdots = x_ {2 ^ {k}}}$

(в этом случае первое среднее арифметическое и первое среднее геометрическое равны  x ₁ и аналогично второму среднему и второму среднему геометрическому); а во втором неравенстве две стороны равны, только если два средних геометрических равны. Поскольку не все 2 ^k числа равны, невозможно, чтобы оба неравенства были равенствами, поэтому мы знаем, что:

${\ displaystyle {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {2 ^ {k}}} {2 ^ {k}}} \ geq {\ sqrt [{2 ^ {k}} ] {x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {2 ^ {k}}}}}$

по желанию.

Подслучай, когда n <2 ^k

Если n не является естественной степенью  двойки , то она определенно меньше некоторой естественной степени двойки, поскольку последовательность 2, 4, 8,. . . , 2 ^к ,. . . неограничен сверху. Поэтому, без ограничения общности, пусть m будет некоторой естественной степенью двойки , большей  n .

Итак, если у нас есть n терминов, то давайте обозначим их среднее арифметическое через  α и расширим наш список терминов следующим образом:

${\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n + 2} = \ cdots = x_ {m} = \ alpha.}$

Тогда у нас есть:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha & = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}} \\ [6pt] & = {\ frac { {\ frac {m} {n}} \ left (x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n} \ right)} {m}} \\ [6pt] & = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n} + {\ frac {(mn)} {n}} \ left (x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n} \ right)} {m}} \\ [6pt] & = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n} + \ left (mn \ right) \ alpha} {m}} \\ [6pt] & = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n} + x_ {n + 1} + \ cdots + x_ {m}} {m}} \\ [6pt] & \ geq {\ sqrt [{m}] {x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} x_ {n + 1} \ cdots x_ {m}}} \\ [6pt] & = {\ sqrt [{m}] {x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ alpha ^ {mn}}} \ ,, \ end {выровнено}}}$

так

${\ displaystyle \ alpha ^ {m} \ geq x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ alpha ^ {mn}}$

а также

${\ displaystyle \ alpha \ geq {\ sqrt [{n}] {x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n}}}}$

по желанию.

Доказательство по индукции с использованием основного исчисления.

Следующее доказательство использует математическую индукцию и некоторые основные дифференциальные исчисления .

Базис индукции : для n = 1 утверждение верно с равенством.

Гипотеза индукции . Предположим, что утверждение AM – GM выполняется для любого выбора n неотрицательных действительных чисел.

Шаг индукции : чтобы доказать утверждение для n + 1 неотрицательных действительных чисел x ₁ ,. . . , x _n , x _{n +1} , нам нужно доказать, что

${\ displaystyle {\ frac {x_ {1} + \ cdots + x_ {n} + x_ {n + 1}} {n + 1}} - ({x_ {1} \ cdots x_ {n} x_ {n +) 1}}) ^ {\ frac {1} {n + 1}} \ geq 0}$

с равенством, только если все числа n + 1 равны.

Если все числа равны нулю, неравенство выполняется с равенством. Если некоторые, но не все числа равны нулю, мы имеем строгое неравенство. Следовательно, в дальнейшем мы можем считать, что все n + 1 числа положительны.

Рассмотрим последнее число x _{n +1} как переменную и определим функцию

${\ displaystyle f (t) = {\ frac {x_ {1} + \ cdots + x_ {n} + t} {n + 1}} - ({x_ {1} \ cdots x_ {n} t}) ^ {\ frac {1} {n + 1}}, \ qquad t> 0.}$

Доказательство шага индукции эквивалентно доказательству того, что f ( t ) ≥ 0 для всех t > 0 , причем f ( t ) = 0, только если x ₁ ,. . . , x _n и  t равны. Это может быть сделано путем анализа критических точек из  F , используя основы исчисления.

Первая производная от f дается формулой

${\ displaystyle f '(t) = {\ frac {1} {n + 1}} - {\ frac {1} {n + 1}} ({x_ {1} \ cdots x_ {n}}) ^ { \ frac {1} {n + 1}} t ^ {- {\ frac {n} {n + 1}}}, \ qquad t> 0.}$

Критическая точка t ₀ должна удовлетворять условию f ′ ( t ₀ ) = 0 , что означает

${\ displaystyle ({x_ {1} \ cdots x_ {n}}) ^ {\ frac {1} {n + 1}} t_ {0} ^ {- {\ frac {n} {n + 1}}} = 1.}$

После небольшой переделки получаем

${\ displaystyle t_ {0} ^ {\ frac {n} {n + 1}} = ({x_ {1} \ cdots x_ {n}}) ^ {\ frac {1} {n + 1}},}$

и наконец

${\ displaystyle t_ {0} = ({x_ {1} \ cdots x_ {n}}) ^ {\ frac {1} {n}},}$

что является средним геометрическим для x ₁ ,. . . , х _п . Это единственная критическая точка  f . Так как F '' ( т )> 0 для всех т > 0 , то функция  F является строго выпуклой и имеет строгий глобальный минимум при  т ₀ . Затем мы вычисляем значение функции в этом глобальном минимуме:

${\ displaystyle {\ begin {align} f (t_ {0}) & = {\ frac {x_ {1} + \ cdots + x_ {n} + ({x_ {1} \ cdots x_ {n}}) ^ {1 / n}} {n + 1}} - ({x_ {1} \ cdots x_ {n}}) ^ {\ frac {1} {n + 1}} ({x_ {1} \ cdots x_ { n}}) ^ {\ frac {1} {n (n + 1)}} \\ & = {\ frac {x_ {1} + \ cdots + x_ {n}} {n + 1}} + {\ гидроразрыв {1} {n + 1}} ({x_ {1} \ cdots x_ {n}}) ^ {\ frac {1} {n}} - ({x_ {1} \ cdots x_ {n}}) ^ {\ frac {1} {n}} \\ & = {\ frac {x_ {1} + \ cdots + x_ {n}} {n + 1}} - {\ frac {n} {n + 1} } ({x_ {1} \ cdots x_ {n}}) ^ {\ frac {1} {n}} \\ & = {\ frac {n} {n + 1}} {\ Bigl (} {\ frac {x_ {1} + \ cdots + x_ {n}} {n}} - ({x_ {1} \ cdots x_ {n}}) ^ {\ frac {1} {n}} {\ Bigr)} \ \ & \ geq 0, \ end {выровнено}}}$

где последнее неравенство выполняется в силу предположения индукции. Гипотеза также говорит, что мы можем иметь равенство только тогда, когда x ₁ ,. . . , x _n все равны. В этом случае их среднее геометрическое   t ₀ имеет то же значение. Следовательно, если x ₁ ,. . . , x _n , x _{n +1} все равны, мы имеем f ( x _{n +1} )> 0 . Это завершает доказательство.

Таким же образом можно использовать эту технику для доказательства обобщенного неравенства AM – GM и неравенства Коши – Шварца в евклидовом пространстве R ⁿ .

Доказательство Полиа с использованием экспоненциальной функции

Джордж Полиа представил доказательство, подобное приведенному ниже. Пусть f ( x ) = e ^{x –1} - x для всех действительных  x , с первой производной f ′ ( x ) = e ^{x –1} - 1 и второй производной f ′ ′ ( x ) = e ^{x –1} . Заметим, что f (1) = 0 , f ′ (1) = 0 и f ′ ′ ( x )> 0 для всех действительных  x , следовательно, f строго выпуклый с абсолютным минимумом при x = 1 . Следовательно, x ≤ e ^{x –1} для всех действительных  x с равенством только для x = 1 .

Рассмотрим список неотрицательных действительных чисел x ₁ , x ₂ ,. . . , х _п . Если все они равны нулю, то неравенство AM – GM выполняется с равенством. Следовательно, в дальнейшем мы можем считать их средним арифметическим α > 0 . По п - кратном применении вышеуказанного неравенства, получаем , что

${\ displaystyle {\ begin {align} {{\ frac {x_ {1}} {\ alpha}} {\ frac {x_ {2}} {\ alpha}} \ cdots {\ frac {x_ {n}} { \ alpha}}} & \ leq {e ^ {{\ frac {x_ {1}} {\ alpha}} - 1} e ^ {{\ frac {x_ {2}} {\ alpha}} - 1} \ cdots e ^ {{\ frac {x_ {n}} {\ alpha}} - 1}} \\ & = \ exp {\ Bigl (} {\ frac {x_ {1}} {\ alpha}} - 1+ {\ frac {x_ {2}} {\ alpha}} - 1+ \ cdots + {\ frac {x_ {n}} {\ alpha}} - 1 {\ Bigr)}, \ qquad (*) \ end { выровнено}}}$

с равенством тогда и только тогда, когда x _i = α для любого i ∈ {1,. . . , n } . Аргумент экспоненциальной функции можно упростить:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {x_ {1}} {\ alpha}} - 1 + {\ frac {x_ {2}} {\ alpha}} - 1+ \ cdots + {\ frac { x_ {n}} {\ alpha}} - 1 & = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {\ alpha}} - n \\ & = {\ frac { n \ alpha} {\ alpha}} - n \\ & = 0. \ end {align}}}$

Возвращаясь к (*) ,

${\ displaystyle {\ frac {x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n}} {\ alpha ^ {n}}} \ leq e ^ {0} = 1,}$

что дает x ₁ x ₂ · · · x _n ≤ α ⁿ , следовательно, результат

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n}}} \ leq \ alpha.}$

Доказательство с помощью лагранжевых множителей.

Если таковые имеются , то доказывать нечего. Таким образом, мы можем предположить, что все они строго положительны. ${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle x_ {i}}$

Поскольку средние арифметические и геометрические однородны степени 1, без ограничения общности предположим, что . Установить , и . Неравенство будет доказано (вместе со случаем равенства), если мы сможем показать, что минимум, на который распространяется ограничение , равен , а минимум достигается только тогда, когда . Сначала покажем, что задача условной минимизации имеет глобальный минимум. ${\ Displaystyle \ prod _ {я = 1} ^ {п} х_ {я} = 1}$${\ Displaystyle G (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$${\ Displaystyle F (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} }$${\ Displaystyle F (x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n}),}$${\ Displaystyle G (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = 1,}$${\ displaystyle 1}$${\ Displaystyle x_ {1} = x_ {2} = \ cdots = x_ {n} = 1}$

Установить . Так как пересечение компактно, теорема об экстремальных значениях гарантирует, что минимум подчиняется ограничениям и достигается в некоторой точке внутри . С другой стороны, обратите внимание, что если какие-либо из , then , while и . Это означает, что минимум внутри на самом деле является глобальным минимумом, поскольку значение в любой точке внутри определенно не меньше минимума, а значение в любой точке за пределами внутри строго больше, чем значение в , которое не меньше чем минимум. ${\ Displaystyle К = \ {(x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ двоеточие 0 \ leq x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \ leq п \}}$${\ Displaystyle К \ крышка \ {G = 1 \}}$${\ Displaystyle F (x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n})}$${\ Displaystyle G (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = 1}$${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ in K}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle x_ {i}> n}$${\ Displaystyle F (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})> 1}$${\ Displaystyle F (1,1, \ ldots, 1) = 1}$${\ Displaystyle (1,1, \ ldots, 1) \ в K \ cap \ {G = 1 \}}$${\ Displaystyle К \ крышка \ {G = 1 \}}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle К \ крышка \ {G = 1 \}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle (y_ {1}, y_ {2}, \ ldots, y_ {n})}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle (1,1, \ ldots, 1)}$

Метод множителей Лагранжа говорит , что глобальный минимум достигается в точке , где градиент является раз градиентом , для некоторых . Мы покажем, что это происходит только тогда, когда и ${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$${\ Displaystyle F (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle G (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle x_ {1} = x_ {2} = \ cdots = x_ {n} = 1}$${\ displaystyle F (x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n}) = 1.}$

Вычислить и ${\ displaystyle {\ frac {\ partial F} {\ partial x_ {i}}} = {\ frac {1} {n}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial G} {\ partial x_ {i}}} = \ prod _ {j \ neq i} x_ {j} = {\ frac {G (x_ {1}, x_ {2}) , \ ldots, x_ {n})} {x_ {i}}} = {\ frac {1} {x_ {i}}}}$

по ограничению. Таким образом, установка градиентов, пропорциональных друг другу, дает для каждого то и так. Так как левая часть не зависит от , отсюда следует , и, поскольку , следует, что и , по желанию. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} = {\ frac {\ lambda} {x_ {i}}},}$${\ displaystyle n \ lambda = x_ {i}.}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle x_ {1} = x_ {2} = \ cdots = x_ {n}}$${\ Displaystyle G (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = 1}$${\ Displaystyle x_ {1} = x_ {2} = \ cdots = x_ {n} = 1}$${\ Displaystyle F (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = 1}$

Обобщения

Весовое неравенство AM – GM.

Аналогичное неравенство существует для средневзвешенного арифметического и средневзвешенного геометрического . В частности, пусть неотрицательные числа x ₁ , x ₂ ,. . . , Х _п и неотрицательные веса W ₁ , W ₂ ,. . . , w _n быть дано. Положим w = w ₁ + w ₂ + · · · + w _n . Если  w > 0 , то неравенство

${\ displaystyle {\ frac {w_ {1} x_ {1} + w_ {2} x_ {2} + \ cdots + w_ {n} x_ {n}} {w}} \ geq {\ sqrt [{w} ] {x_ {1} ^ {w_ {1}} x_ {2} ^ {w_ {2}} \ cdots x_ {n} ^ {w_ {n}}}}}$

выполняется с равенством тогда и только тогда, когда все x _k с w _k > 0 равны. Здесь используется соглашение 0 ⁰ = 1 .

Если все w _k = 1 , это сводится к вышеупомянутому неравенству среднего арифметического и геометрического.

Доказательство с использованием неравенства Дженсена

Используя конечную форму неравенства Йенсена для натурального логарифма , мы можем доказать неравенство между взвешенным средним арифметическим и средневзвешенным геометрическим, указанное выше.

Поскольку x _k с весом w _k = 0 не влияет на неравенство, в дальнейшем мы можем предполагать, что все веса положительны. Если все x _k равны, то равенство выполняется. Поэтому остается доказать строгое неравенство, если не все они равны, что мы и будем предполагать в дальнейшем. Если хотя бы один x _k равен нулю (но не все), то средневзвешенное геометрическое среднее равно нулю, а взвешенное среднее арифметическое положительно, следовательно, выполняется строгое неравенство. Следовательно, мы можем также считать, что все x _k положительны.

Поскольку натуральный логарифм строго вогнутый , конечная форма неравенства Йенсена и функциональных уравнений натурального логарифма подразумевает

${\ displaystyle {\ begin {align} \ ln {\ Bigl (} {\ frac {w_ {1} x_ {1} + \ cdots + w_ {n} x_ {n}} {w}} {\ Bigr)} &> {\ frac {w_ {1}} {w}} \ ln x_ {1} + \ cdots + {\ frac {w_ {n}} {w}} \ ln x_ {n} \\ & = \ ln {\ sqrt [{w}] {x_ {1} ^ {w_ {1}} x_ {2} ^ {w_ {2}} \ cdots x_ {n} ^ {w_ {n}}}}. \ end { выровнено}}}$

Поскольку натуральный логарифм строго возрастает ,

${\ displaystyle {\ frac {w_ {1} x_ {1} + \ cdots + w_ {n} x_ {n}} {w}}> {\ sqrt [{w}] {x_ {1} ^ {w_ { 1}} x_ {2} ^ {w_ {2}} \ cdots x_ {n} ^ {w_ {n}}}}.}$

Матричное арифметическое среднее геометрическое неравенство

Большинство матричных обобщений неравенства среднего арифметического геометрического применяется на уровне унитарно инвариантных норм из-за того, что даже если матрицы и являются положительно полуопределенными, матрица не может быть положительно полуопределенной и, следовательно, может не иметь канонического квадрата. корень. В Бхатиа и Киттане доказали, что для любой унитарно инвариантной нормы и положительно полуопределенных матриц, и это так, что ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle AB}$${\ Displaystyle ||| \ cdot |||}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle ||| AB ||| \ leq {\ frac {1} {2}} ||| A ^ {2} + B ^ {2} |||}$

Позже те же авторы доказали более сильное неравенство, что

${\ displaystyle ||| AB ||| \ leq {\ frac {1} {4}} ||| (A + B) ^ {2} |||}$

Наконец, известно, что для размерности справедливо следующее наиболее сильное матричное обобщение неравенства среднего арифметико-геометрического, и предполагается, что оно справедливо для всех${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle ||| (AB) ^ {\ frac {1} {2}} ||| \ leq {\ frac {1} {2}} ||| A + B |||}$

Это предполагаемое неравенство было показано Стивеном Друри в 2012 году.

${\ displaystyle {\ sqrt {\ sigma _ {j} (AB)}} \ leq {\ frac {1} {2}} \ lambda _ {j} (A + B), \ j = 1, \ ldots, п.}$

SW Друри, По вопросу о Бхатиа и Киттане, Linear Algebra Appl. 437 (2012) 1955–1960.

Другие обобщения

Другие обобщения неравенства средних арифметических и геометрических включают:

• Неравенство Мюрхеда ,
• Неравенство Маклорена ,
• Обобщенное среднее неравенство ,
• Средство комплексных чисел .

Смотрите также

• Загадка упаковки Хоффмана
• Кай Фань неравенство
• Неравенство Юнга для продуктов

использованная литература

внешние ссылки

• Артур Лохуотер (1982). «Введение в неравенство» . Электронная книга в формате PDF.