Бета-функция - Beta function

В математике , то бета - функция , которая также называется Эйлера интеграл первого рода, является специальная функция , которая тесно связана с гамма - функции и биномиальных коэффициентов . Он определяется интегралом

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} \, dt}$

для входов комплексных чисел x , y, таких что Re x > 0, Re y > 0 .

Бета-функция изучалась Эйлером и Лежандром и получила свое название от Жака Бине ; его символ Β - это бета с заглавной греческой буквы .

Характеристики

Бета-функция симметрична , что означает, что

${\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (y, x)}$

для всех входов x и y .

Ключевым свойством бета-функции является ее тесная связь с гамма-функцией :

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}.}$

(Доказательство приводится ниже в § Связь с гамма-функцией .)

Бета-функция также тесно связана с биномиальными коэффициентами . Когда x (или y , по симметрии) - натуральное число, из определения гамма-функции Γ следует, что

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ dfrac {(x-1)!} {(x + y-1) _ {x}}} = {\ frac {x + y} {xy }} \ cdot {\ frac {1} {\ binom {x + y} {x}}}.}$

Связь с гамма-функцией

Простой вывод соотношения можно найти в книге Эмиля Артина « Гамма-функция» , стр. 18–19. Чтобы вывести это соотношение, запишите произведение двух факториалов как ${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (x) \ Gamma (y) & = \ int _ {u = 0} ^ {\ infty} \ e ^ {- u} u ^ {x-1} \, du \ cdot \ int _ {v = 0} ^ {\ infty} \ e ^ {- v} v ^ {y-1} \, dv \\ [6pt] & = \ int _ {v = 0} ^ { \ infty} \ int _ {u = 0} ^ {\ infty} \ e ^ {- uv} u ^ {x-1} v ^ {y-1} \, du \, dv. \ end {align}} }$

Замена переменных на u = zt и v = z (1 - t ) дает

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (x) \ Gamma (y) & = \ int _ {z = 0} ^ {\ infty} \ int _ {t = 0} ^ {1} e ^ {- z} (zt) ^ {x-1} (z (1-t)) ^ {y-1} z \, dt \, dz \\ [6pt] & = \ int _ {z = 0} ^ {\ infty} e ^ {- z} z ^ {x + y-1} \, dz \ cdot \ int _ {t = 0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y- 1} \, dt \\ & = \ Gamma (x + y) \ cdot \ mathrm {B} (x, y). \ End {align}}}$

Разделение обеих сторон на дает желаемый результат. ${\ Displaystyle \ Гамма (х + у)}$

Указанная идентичность может рассматриваться как частный случай идентичности интеграла свертки . Принимая

${\ displaystyle {\ begin {align} f (u) &: = e ^ {- u} u ^ {x-1} 1 _ {\ mathbb {R} _ {+}} \\ g (u) &: = e ^ {- u} u ^ {y-1} 1 _ {\ mathbb {R} _ {+}}, \ end {align}}}$

надо:

${\ Displaystyle \ Gamma (x) \ Gamma (y) = \ int _ {\ mathbb {R}} f (u) \, du \ cdot \ int _ {\ mathbb {R}} g (u) \, du = \ int _ {\ mathbb {R}} (f * g) (u) \, du = \ mathrm {B} (x, y) \, \ Gamma (x + y).}$

Производные

У нас есть

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial x}} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ left ({\ frac {\ Gamma '(x) } {\ Gamma (x)}} - {\ frac {\ Gamma '(x + y)} {\ Gamma (x + y)}} \ right) = \ mathrm {B} (x, y) {\ big (} \ psi (x) - \ psi (x + y) {\ big)},}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {m}}} \ mathrm {B} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = \ mathrm {B} ( x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) {\ big (} \ psi (x_ {m}) - \ psi (\ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k }) {\ big)}, 1 \ leq m \ leq n}$

Приближение

Приближение Стирлинга дает асимптотическую формулу

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) \ sim {\ sqrt {2 \ pi}} {\ frac {x ^ {x-1/2} y ^ {y-1/2}} {({ х + у}) ^ {х + у-1/2}}}}$

для больших x и больших y . Если, с другой стороны, x велик, а y фиксирован, то

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) \ sim \ Gamma (y) \, x ^ {- y}.}$

Другие тождества и формулы

Интеграл, определяющий бета-функцию, можно переписать различными способами, включая следующие:

где в последнем тождестве n - любое положительное действительное число. (Можно перейти от первого интеграла ко второму, заменив .) ${\ Displaystyle т = \ загар ^ {2} (\ тета)}$

Бета-функцию можно записать в виде бесконечной суммы

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(1-x) _ {n}} {(y + n) n!} }}$(где это растет факториала )${\ Displaystyle (х) _ {п}}$

и как бесконечный продукт

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {x + y} {xy}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ dfrac {xy}) {n (x + y + n)}} \ right) ^ {- 1}.}$

Бета-функция удовлетворяет нескольким тождествам, аналогичным соответствующим тождествам для биномиальных коэффициентов, включая версию тождества Паскаля.

и простое повторение по одной координате:

Для бета-функция может быть записана в терминах свертки, включающей усеченную степенную функцию t ↦ t${\ Displaystyle х, у \ geq 1}$ ^х
₊:

Оценка в определенных точках может значительно упроститься; Например,

а также

Используя эту последнюю формулу, можно, в частности, заключить, что Γ (1/2) = √ π . Можно также обобщить последнюю формулу до двумерного тождества для произведения бета-функций: ${\ displaystyle x = {\ frac {1} {2}}}$

Интеграл Эйлера для бета-функции может быть преобразован в интеграл по контуру Похгаммера C как

${\ Displaystyle \ влево (1-е ^ {2 \ пи я \ альфа} \ вправо) \ влево (1-е ^ {2 \ пи я \ бета} \ вправо) \ mathrm {B} (\ альфа, \ бета ) = \ int _ {C} t ^ {\ alpha -1} (1-t) ^ {\ beta -1} \, dt.}$

Этот контурный интеграл Похгаммера сходится для всех значений α и β и, таким образом, дает аналитическое продолжение бета-функции.

Так же, как гамма-функция для целых чисел описывает факториалы , бета-функция может определять биномиальный коэффициент после корректировки индексов:

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {1} {(n + 1) \ mathrm {B} (n-k + 1, k + 1)}}.}$

Более того, для целого n , Β можно разложить на множители, чтобы получить функцию интерполяции замкнутой формы для непрерывных значений k :

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = (- 1) ^ {n} \, n! \ cdot {\ frac {\ sin (\ pi k)} {\ pi \ displaystyle \ prod _ {i = 0} ^ {n} (ki)}}.}$

Взаимная бета-функция

Обратная бета - функция является функцией о форме

${\ displaystyle f (x, y) = {\ frac {1} {\ mathrm {B} (x, y)}}}$

Интересно, что их интегральные представления тесно связаны как определенный интеграл от тригонометрических функций с продуктом его мощности и множественным углом :

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {x-1} \ theta \ sin y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ sin {\ frac {y \ pi} {2}}} {2 ^ {x-1} x \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x + y + 1} {2}}, {\ frac {x-y + 1} {2}) }\Правильно)}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {x-1} \ theta \ cos y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ cos {\ frac {y \ pi} {2}}} {2 ^ {x-1} x \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x + y + 1} {2}}, {\ frac {x-y + 1} {2}) }\Правильно)}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos ^ {x-1} \ theta \ sin y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ cos {\ frac {y \ pi}) {2}}} {2 ^ {x-1} x \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x + y + 1} {2}}, {\ frac {x-y + 1} {2}) }\Правильно)}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^ {x-1} \ theta \ cos y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi} {2 ^ {x} x \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x + y + 1} {2}}, {\ frac {x-y + 1} {2}} \ right)}}}$

Неполная бета-функция

Неполная бета - функция , обобщение бета - функции, определяется как

${\ Displaystyle \ mathrm {B} (х; \, a, b) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {a-1} \, (1-t) ^ {b-1} \, dt.}$

При x = 1 неполная бета-функция совпадает с полной бета-функцией. Отношения между двумя функциями аналогичны отношениям между гамма-функцией и ее обобщением, неполной гамма-функцией .

Регуляризованный неполной бета - функции (или регуляризованное бета - функция для краткости) определяется в терминах неполной бета - функции и полной бета - функции:

${\ displaystyle I_ {x} (a, b) = {\ frac {\ mathrm {B} (x; \, a, b)} {\ mathrm {B} (a, b)}}.}$

Регуляризованная неполная бета - функция является функцией распределения в бета - распределении , а также имеет отношение к интегральной функции распределения в виде случайной величины X следующей за биномиальным распределением с вероятностью успеха одного р и числа испытаний Бернулли п : ${\ Displaystyle F (к; \, n, p)}$

${\ Displaystyle F (к; \, n, p) = \ Pr \ left (X \ leq k \ right) = I_ {1-p} (nk, k + 1) = 1-I_ {p} (k + 1, нк).}$

Характеристики

${\ displaystyle {\ begin {align} I_ {0} (a, b) & = 0 \\ I_ {1} (a, b) & = 1 \\ I_ {x} (a, 1) & = x ^ {a} \\ I_ {x} (1, b) & = 1- (1-x) ^ {b} \\ I_ {x} (a, b) & = 1-I_ {1-x} (b , a) \\ I_ {x} (a + 1, b) & = I_ {x} (a, b) - {\ frac {x ^ {a} (1-x) ^ {b}} {a \ mathrm {B} (a, b)}} \\ I_ {x} (a, b + 1) & = I_ {x} (a, b) + {\ frac {x ^ {a} (1-x) ^ {b}} {b \ mathrm {B} (a, b)}} \\\ mathrm {B} (x; a, b) & = (- 1) ^ {a} \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x} {x-1}}; a, 1-ab \ right) \ end {align}}}$

Многомерная бета-функция

Бета-функцию можно расширить до функции с более чем двумя аргументами:

${\ Displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots \ alpha _ {n}) = {\ frac {\ Gamma (\ alpha _ {1}) \, \ Гамма (\ alpha _ {2}) \ cdots \ Gamma (\ alpha _ {n})} {\ Gamma (\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n}) }}.}$

Эта многомерная бета-функция используется в определении распределения Дирихле . Его отношение к бета-функции аналогично соотношению между полиномиальными коэффициентами и биномиальными коэффициентами.

Приложения

Бета-функция полезна при вычислении и представлении амплитуды рассеяния для траекторий Редже . Кроме того, это была первая известная амплитуда рассеяния в теории струн , впервые предположенная Габриэле Венециано . Это также встречается в теории процесса предпочтительного прикрепления , типа случайного процесса урны . Бета-функция также важна в статистике, например, для бета-распределения и бета-распределения простых чисел . Как вкратце упоминалось ранее, бета-функция тесно связана с гамма-функцией и играет важную роль в расчетах .

Программная реализация

Даже если они недоступны напрямую, полные и неполные значения бета-функций могут быть рассчитаны с использованием функций, обычно включенных в системы электронных таблиц или компьютерной алгебры . В Excel , например, полное бета-значение можно рассчитать с помощью GammaLnфункции:

Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))

Неполное бета-значение можно рассчитать как:

Value = BetaDist(x, a, b) * Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b)).

Эти результаты вытекают из свойств, перечисленных выше .

Точно так же, betainc(неполная бета - функция) в MATLAB и GNU Octave , pbeta(вероятность бета - распределения) в R или special.betaincв Пайтона SciPy пакет вычислим регуляризованная неполной бета - функция -Какие, на самом деле, накопленная бета распределения, и таким образом, чтобы получить фактическая неполная бета-функция, нужно умножить результат betaincна результат, возвращенный соответствующей betaфункцией. В Mathematica , Beta[x, a, b]и BetaRegularized[x, a, b]отдавания и , соответственно. ${\ Displaystyle \ mathrm {B} (х; \, а, б)}$${\ Displaystyle I_ {х} (а, б)}$

Смотрите также

• Бета-распределение и бета-простое распределение , два распределения вероятностей, связанных с бета-функцией
• Сумма Якоби , аналог бета-функции над конечными полями .
• Интеграл Норлунда – Райса
• Распределение Юла – Саймона

использованная литература

• Аски, РА ; Рой, Р. (2010), «Бета-функция» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Зелен, М .; Северо, Северная Каролина (1972), «26. Вероятностные функции», в Abramowitz, Milton ; Стегун, Ирен А. (ред.), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Нью-Йорк: Dover Publications , стр.  925–995 , ISBN 978-0-486-61272-0
• Дэвис, Филип Дж. (1972), «6. Гамма-функция и родственные функции», в Abramowitz, Milton ; Стегун, Ирен А. (ред.), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0
• Париж, RB (2010), «Неполные бета-функции» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Нажмите, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.1 Гамма-функция, бета-функция, факториалы» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

внешние ссылки

• "Бета-функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Оценка бета-функции с использованием преобразования Лапласа в PlanetMath .
• Произвольно точные значения можно получить из:
  • Сайт Wolfram Functions : оценка регулярной бета-версии неполной бета-версии
  • danielsoper.com: Неполное Beta Функция Калькулятор , Регуляризированный Неполное Beta Функция калькулятора