Гиперболический рост - Hyperbolic growth

Обратная функция , демонстрируя гиперболический рост.

Когда величина растет к сингулярности при конечном изменении (« сингулярность за конечное время »), говорят, что она претерпевает гиперболический рост . Точнее, обратная функция имеет гиперболу в качестве графика и имеет особенность в 0, что означает, что предел as бесконечен: говорят, что любой подобный график демонстрирует гиперболический рост. ${\ displaystyle 1 / x}$ ${\ displaystyle x \ to 0}$

Описание

Если выход функции обратно пропорционален входу или обратно пропорционален разнице с заданным значением , функция будет демонстрировать гиперболический рост с особенностью при . ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$

В реальном мире гиперболический рост создается некоторыми нелинейными механизмами положительной обратной связи .

Сравнение с другими приростами

Подобно экспоненциальному росту и логистическому росту , гиперболический рост очень нелинейен , но отличается во многих отношениях. Эти функции можно перепутать, поскольку экспоненциальный рост, гиперболический рост и первая половина логистического роста являются выпуклыми функциями ; однако их асимптотическое поведение (поведение при увеличении входных данных) резко отличается:

логистический рост ограничен (имеет конечный предел, даже если время стремится к бесконечности),
экспоненциальный рост возрастает до бесконечности по мере того, как время стремится к бесконечности (но всегда конечен в течение конечного времени),
гиперболический рост имеет особенность за конечное время (возрастает до бесконечности за конечное время).

Приложения

Население

Некоторые математические модели предполагают, что до начала 1970-х годов население мира претерпевало гиперболический рост (см., Например, « Введение в социальную макродинамику » Андрея Коротаева и др. ). Также было показано, что до 1970-х гг. Гиперболический рост мирового населения сопровождался квадратично-гиперболическим ростом мирового ВВП , и разработан ряд математических моделей, описывающих как это явление, так и выход Мировой Системы из режима обострения. наблюдается в последние десятилетия. Гиперболический рост мирового населения и квадратично-гиперболический рост мирового ВВП, наблюдавшиеся до 1970-х годов, были соотнесены Андреем Коротаевым и его коллегами с нелинейной положительной обратной связью второго порядка между демографическим ростом и технологическим развитием, описываемой цепочкой причинно-следственной связи: технологический рост приводит к увеличению пропускной способности земли для людей, что приводит к увеличению количества людей, что приводит к большему количеству изобретателей, что, в свою очередь, ведет к еще большему технологическому росту и так далее. Было также продемонстрировано, что гиперболические модели этого типа могут быть использованы для довольно точного описания общего роста планетарной сложности Земли с 4 миллиардов лет до нашей эры до настоящего времени. Другие модели предполагают экспоненциальный рост , логистический рост или другие функции.

Теория массового обслуживания

Другой пример гиперболического роста можно найти в теории массового обслуживания : среднее время ожидания случайно прибывающих клиентов гиперболически растет как функция среднего коэффициента загрузки сервера. Особенность в этом случае возникает, когда средний объем работы, поступающей на сервер, равен его вычислительной мощности. Если потребности в обработке превышают возможности сервера, тогда не существует четко определенного среднего времени ожидания, поскольку очередь может неограниченно расти. Практическое значение этого конкретного примера состоит в том, что для высоконагруженных систем очередей среднее время ожидания может быть чрезвычайно чувствительным к производительности обработки.

Кинетика ферментов

Еще один практический пример гиперболического роста можно найти в кинетике ферментов . Когда скорость реакции (называемая скоростью) между ферментом и субстратом наносится на график в зависимости от различных концентраций субстрата, получается гиперболический график для многих более простых систем. Когда это происходит, считается, что фермент следует кинетике Михаэлиса-Ментен .

Математический пример

Функция

{\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {t_ {c} -t}}}

имеет гиперболический рост с особенностью во время : в пределе , как , функция стремится к бесконечности. ${\ displaystyle t_ {c}}$ ${\ displaystyle t \ to t_ {c}}$

В более общем плане функция

{\ Displaystyle х (т) = {\ гидроразрыва {K} {t_ {c} -t}}}

демонстрирует гиперболический рост, где - коэффициент масштабирования . ${\ displaystyle K}$

Обратите внимание, что эту алгебраическую функцию можно рассматривать как аналитическое решение для дифференциала функции:

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = {\ frac {K} {(t_ {c} -t) ^ {2}}} = {\ frac {x ^ {2}} {K}} }

Это означает, что при гиперболическом росте абсолютная скорость роста переменной $x$ в момент $t$ пропорциональна квадрату значения $x$ в момент $t$ .

Соответственно квадратично-гиперболическая функция выглядит следующим образом:

{\ displaystyle x (t) = {\ frac {K} {(t_ {c} -t) ^ {2}}}.}

Languages

In other projects

Гиперболический рост - Hyperbolic growth

СОДЕРЖАНИЕ