Голономная функция - Holonomic function

В математике , а точнее в анализе , голономная функция - это гладкая функция нескольких переменных, которая является решением системы линейных однородных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами и удовлетворяет подходящему условию размерности в терминах теории D-модулей . Точнее, голономная функция - это элемент голономного модуля гладких функций. Голономные функции также могут быть описаны как дифференцируемые конечные функции , также известные как D-конечные функции . Когда степенной ряд по переменным является разложением Тейлора голономной функции, последовательность его коэффициентов по одному или нескольким индексам также называется голономной . Голономные последовательности также называются P-рекурсивными последовательностями : они рекурсивно определяются многомерными рекурсиями, которым удовлетворяет вся последовательность и подходящие ее специализации. Ситуация упрощается в одномерном случае: любая одномерная последовательность, которая удовлетворяет линейному однородному рекуррентному соотношению с полиномиальными коэффициентами или, что эквивалентно, линейному однородному разностному уравнению с полиномиальными коэффициентами, является голономной.

Голономные функции и последовательности в одной переменной

Определения

Пусть - поле характеристики 0 (например, или ). ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {C}}$

Функция называется D-конечной (или голономной ), если существуют многочлены такие, что ${\ Displaystyle е = е (х)}$${\ displaystyle 0 \ neq a_ {r} (x), a_ {r-1} (x), \ ldots, a_ {0} (x) \ in \ mathbb {K} [x]}$

${\ Displaystyle a_ {r} (x) f ^ {(r)} (x) + a_ {r-1} (x) f ^ {(r-1)} (x) + \ cdots + a_ {1} (x) f '(x) + a_ {0} (x) f (x) = 0}$

выполняется для всех x . Это также можно записать как где ${\ displaystyle Af = 0}$

${\ displaystyle A = \ sum _ {k = 0} ^ {r} a_ {k} D_ {x} ^ {k}}$

и является дифференциальным оператором, который отображается в . называется уничтожающий оператор из F (аннулирующие операторов образуют идеальный в кольце , называется аннуляторной из ). Величина r называется порядком уничтожающего оператора. В более широком смысле, голономная функция f называется порядка r, если существует аннулирующий оператор такого порядка. ${\ displaystyle D_ {x}}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f '(x)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} [х] [D_ {x}]}$${\ displaystyle f}$

Последовательность называется P-рекурсивной (или голономной ), если существуют многочлены такие, что ${\ displaystyle c = c_ {0}, c_ {1}, \ ldots}$${\ Displaystyle a_ {r} (n), a_ {r-1} (n), \ ldots, a_ {0} (n) \ in \ mathbb {K} [n]}$

${\ Displaystyle a_ {r} (n) c_ {n + r} + a_ {r-1} (n) c_ {n + r-1} + \ cdots + a_ {0} (n) c_ {n} = 0}$

выполняется для всех n . Это также можно записать как где ${\ displaystyle Ac = 0}$

${\ displaystyle A = \ sum _ {k = 0} ^ {r} a_ {k} S_ {n}}$

и оператор сдвига , переводящий в . называются уничтожающий оператор из C (аннулирующие операторы образуют идеал в кольце , называются аннуляторными из ). Величина r называется порядком уничтожающего оператора. В более широком смысле, голономная последовательность c называется порядка r, если существует аннулирующий оператор такого порядка. ${\ displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle c_ {0}, c_ {1}, \ ldots}$${\ Displaystyle c_ {1}, c_ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} [п] [S_ {n}]}$${\ displaystyle c}$

Голономные функции - это в точности производящие функции голономных последовательностей: если он голономный, то коэффициенты разложения в степенной ряд ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle c_ {n}}$

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} x ^ {n}}$

образуют голономную последовательность. И наоборот, для данной голономной последовательности функция, определяемая приведенной выше суммой, является голономной (это верно в смысле формальных степенных рядов , даже если сумма имеет нулевой радиус сходимости ). ${\ displaystyle c_ {n}}$

Свойства закрытия

Голономные функции (или последовательности) удовлетворяют нескольким свойствам замыкания . В частности, голономные функции (или последовательности) образуют кольцо . Однако они не закрываются на деление и, следовательно, не образуют поля .

Если и являются голономными функциями, то следующие функции также являются голономными: ${\ Displaystyle е (х) = \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} е_ {п} х ^ {п}}$${\ Displaystyle г (х) = \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} г_ {п} х ^ {п}}$

• ${\ Displaystyle ч (х) = \ альфа е (х) + \ бета г (х)}$, где и - постоянные${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$
• ${\ Displaystyle ч (х) = е (х) г (х)}$(произведение Коши последовательностей)
• ${\ displaystyle h (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n} g_ {n} x ^ {n}}$ (произведение Адамара последовательностей)
• ${\ displaystyle h (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (t) dt}$
• ${\ displaystyle h (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (\ sum _ {k = 0} ^ {n} f_ {k}) x ^ {n}}$
• ${\ Displaystyle ч (х) = е (а (х))}$, где - любая алгебраическая функция . Однако, как правило, не является голономным.${\ Displaystyle а (х)}$${\ Displaystyle а (е (х))}$

Важнейшим свойством голономных функций является то, что свойства замыкания эффективны: при заданных аннигилирующих операторах для и аннигилирующий оператор для, как определено с использованием любой из вышеуказанных операций, может быть вычислен явно. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$

Примеры голономных функций и последовательностей

Примеры голономных функций включают:

• все алгебраические функции , включая многочлены и рациональные функции
• функции синуса и косинуса (но не тангенс, котангенс, секанс или косеканс)
• функции гиперболического синуса и косинуса (но не гиперболический тангенс, котангенс, секанс или косеканс)
• экспоненциальные функции и логарифмы (с любым основанием)
• обобщенная гипергеометрическая функция , рассматриваемая как функция со всеми параметрами , провели фиксированные${\ displaystyle {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ ldots, a_ {p}, b_ {1}, \ ldots, b_ {q}, x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle b_ {i}}$
• функция ошибки ${\ Displaystyle \ OperatorName {erf} (х)}$
• в функции Бесселя , , ,${\ Displaystyle J_ {п} (х)}$${\ Displaystyle Y_ {п} (х)}$${\ Displaystyle I_ {п} (х)}$${\ Displaystyle К_ {п} (х)}$
• в функции Эйри ,${\ displaystyle \ operatorname {Ai} (x)}$${\ displaystyle \ operatorname {Bi} (x)}$

Класс голономных функций является строгим надмножеством класса гипергеометрических функций. Примеры специальных функций, которые являются голономными, но не гипергеометрическими, включают функции Гойна .

Примеры голономных последовательностей включают:

• последовательность чисел Фибоначчи и, в более общем смысле, все константно-рекурсивные последовательности${\ displaystyle F_ {n}}$
• последовательность факториалов ${\ displaystyle n!}$
• последовательность биномиальных коэффициентов (как функций от n или k )${\ displaystyle {п \ выбрать k}}$
• последовательность гармонических чисел , и в более общем случае для любого целого числа m${\ displaystyle H_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}}}$${\ displaystyle H_ {n, m} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ {m}}}}$
• последовательность каталонских чисел
• последовательность чисел Моцкина .
• последовательность неисправностей .

Гипергеометрические функции, функции Бесселя и классические ортогональные многочлены , помимо того, что являются голономными функциями своей переменной, также являются голономными последовательностями по отношению к своим параметрам. Например, функции Бесселя и удовлетворяют линейной рекуррентности второго порядка . ${\ displaystyle J_ {n}}$${\ displaystyle Y_ {n}}$${\ Displaystyle х (f_ {n + 1} + f_ {n-1}) = 2nf_ {n}}$

Примеры неголономных функций и последовательностей

Примеры неголономных функций включают:

• функция ${\ displaystyle {\ frac {x} {e ^ {x} -1}}}$
• функция tan ( x ) + sec ( x )
• частное двух голономных функций, как правило, неголономно.

Примеры неголономных последовательностей включают:

• что числа Бернулли
• количество чередующихся перестановок
• количество целочисленных разделов
• цифры ${\ Displaystyle \ журнал (п)}$
• числа, где${\ Displaystyle п ^ {\ альфа}}$${\ displaystyle \ alpha \ not \ in \ mathbb {Z}}$
• что простые числа
• перечисления неприводимых и связных перестановок .

Голономные функции нескольких переменных

Алгоритмы и ПО

Голономные функции - мощный инструмент компьютерной алгебры . Голономная функция или последовательность могут быть представлены конечным количеством данных, а именно аннигилирующим оператором и конечным набором начальных значений, а свойства замыкания позволяют выполнять такие операции, как проверка равенства, суммирование и интегрирование алгоритмическим способом. В последние годы эти методы позволили автоматизировать доказательства большого количества специальных функций и комбинаторных тождеств.

Более того, существуют быстрые алгоритмы для вычисления голономных функций с произвольной точностью в любой точке комплексной плоскости и для численного вычисления любого входа в голономной последовательности.

Программное обеспечение для работы с голономными функциями включает:

• Пакет HolonomicFunctions [1] для Mathematica , разработанный Кристофом Кутшаном, который поддерживает вычисление свойств замыкания и доказательство тождеств для одномерных и многомерных голономных функций.
• Библиотека algolib [2] для Maple , которая включает следующие пакеты:
  • gfun , разработанный Бруно Салви, Полом Циммерманном и Эйтне Мюррей для одномерных свойств замыкания и доказательства [3]
  • mgfun , разработанный Фредериком Чизаком, для многомерных свойств замыкания и доказательства [4]
  • numgfun , разработанный Марком Меззаробба, для числовой оценки

Смотрите также

Динамический словарь математических функций , онлайн-программное обеспечение, основанное на голономных функциях для автоматического изучения многих классических и специальных функций (оценка в точке, ряд Тейлора и асимптотическое разложение до любой заданной пользователем точности, дифференциальное уравнение, повторение коэффициентов Тейлора. ряд, производная, неопределенный интеграл, построение, ...)

Примечания

использованная литература

• Флажолет, Филипп; Герхольд, Стефан; Salvy, Бруно (2005), "О неголономном характере логарифмов, степеней и п-е простой функция" , Электронный журнал комбинаторики , 11 (2), DOI : 10,37236 / 1894 , S2CID  184136.

• Флажолет, Филипп; Седжвик, Роберт (2009). Аналитическая комбинаторика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521898065.

• Кауэрс, Мануэль; Пол, Питер (2011). Конкретный тетраэдр: символические суммы, рекуррентные уравнения, производящие функции, асимптотические оценки . Текст и монографии в символьном вычислении. Springer. ISBN 978-3-7091-0444-6.

• Клазар, Мартин (2003). «Неприводимые и связные перестановки» (PDF) (122). Цитировать журнал требует |journal=( помощь ) (Препринт серии ITI)

• Мэллинджер, Кристиан (1996). Алгоритмические манипуляции и преобразования одномерных голономных функций и последовательностей (PDF) (Диссертация) . Проверено 4 июня 2013 года .

• Стэнли, Ричард П. (1999). Перечислительная комбинаторика . 2 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-56069-6.

• Zeilberger, Дорон (1990). «Голономный системный подход к тождествам специальных функций» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 32 (3): 321–368. DOI : 10.1016 / 0377-0427 (90) 90042-X . ISSN  0377-0427 . Руководство по ремонту  1090884 .