Многомерная алгебра - Higher-dimensional algebra

В математике , особенно в теории ( высших ) категорий , многомерная алгебра - это изучение категориальных структур. Он имеет приложения в неабелевой алгебраической топологии и обобщает абстрактную алгебру .

Категории высших измерений

Основная статья: Теория категорий § многомерные категории

Первым шагом к определению алгебр более высоких измерений является концепция 2-категории теории высших категорий , за которой следует более «геометрическая» концепция двойной категории .

Таким образом, понятие более высокого уровня определяется как категория категорий или суперкатегория, которая обобщает на более высокие измерения понятие категории - рассматриваемое как любая структура, которая является интерпретацией аксиом Лавера элементарной теории абстрактных категорий (ETAC). ). Ll.

, Таким образом, supercategory , а также supercategory , можно рассматривать как естественным продолжением понятий мета-категории , multicategory и мульти-графа, к -дольных график , или цветной графике (увидеть цвет фигуры , а также его определение в теории графов ).

Суперкатегории были впервые введены в 1970 году и впоследствии были разработаны для приложений в теоретической физике (особенно в квантовой теории поля и топологической квантовой теории поля ), а также в математической биологии или математической биофизике .

Другие пути в многомерной алгебре включают: бикатегории , гомоморфизмы бикатегорий, категории переменных (также известные как индексированные или параметризованные категории ), топои , эффективное происхождение, а также обогащенные и внутренние категории .

Двойные группоиды

Основная статья: двойной группоид

В многомерной алгебре ( HDA ) двойной группоид является обобщением одномерного группоида до двух измерений, и последний группоид может рассматриваться как частный случай категории со всеми обратимыми стрелками или морфизмами .

Двойные группоиды часто используются для сбора информации о геометрических объектах, таких как многомерные многообразия (или n -мерные многообразия ). В общем, n- мерное многообразие - это пространство, которое локально выглядит как n- мерное евклидово пространство , но чья глобальная структура может быть неевклидовой .

Двойные группоиды были впервые введены Рональдом Брауном в 1976 г. в исх. и получили дальнейшее развитие в направлении приложений в неабелевой алгебраической топологии . Родственная «двойственная» концепция - это концепция двойного алгеброида и более общая концепция R-алгеброида .

Неабелева алгебраическая топология

См. Неабелеву алгебраическую топологию

Приложения

Теоретическая физика

В квантовой теории поля существуют квантовые категории . и квантовые двойные группоиды . Можно рассматривать квантовые двойные группоиды как фундаментальные группоиды, определяемые с помощью 2-функтора , что позволяет рассматривать физически интересный случай квантовых фундаментальных группоидов (QFG) в терминах бикатегории Span (Группоиды) , а затем строить 2- гильбертовы группы. пространства и 2- линейные отображения для многообразий и кобордизмов . На следующем шаге с помощью естественных преобразований таких 2-функторов получаются кобордизмы с углами . Иск был затем сделал , что, с калибровочной группой SU (2) , « расширенной TQFT или ETQFT, дает теорию , эквивалентную модели Понцано-реджевского в квантовой гравитации »; аналогичным образом модель Тураева – Виро была бы получена с представлениями SU q (2). Следовательно, можно описать пространство состояний калибровочной теории или многих видов квантовых теорий поля (КТП) и локальной квантовой физики в терминах группоидов преобразований, задаваемых симметриями, как, например, в случае калибровочной теории, с помощью то калибровочные преобразования , действующие на состояниях, которые, в данном случае, соединений. В случае симметрий, связанных с квантовыми группами , можно получить структуры, которые являются категориями представлений квантовых группоидов , вместо 2- векторных пространств, которые являются категориями представлений группоидов.

Смотрите также

Примечания

дальнейшее чтение