Плотная упаковка равных сфер - Close-packing of equal spheres

Иллюстрация плотной упаковки равных сфер в решетках HCP (слева) и FCC (справа)

В геометрии , плотная упаковка равных сфер является плотным расположением конгруэнтных сфер в бесконечном, регулярное расположение (или решетка ). Карл Фридрих Гаусс доказал, что наивысшая средняя плотность, то есть наибольшая часть пространства, занимаемого сферами, которая может быть достигнута решетчатой упаковкой, равна

.

Такая же плотность упаковки может быть также достигнута за счет чередования стопок одних и тех же плотно упакованных плоскостей сфер, включая структуры, апериодические в направлении стопки. Гипотеза Кеплера утверждает, что это наивысшая плотность, которая может быть достигнута любым расположением сфер, регулярным или неправильным. Эта гипотеза была доказана Т.С. Хейлзом . Наибольшая плотность известна только для 1, 2, 3, 8 и 24 измерений.

Многие кристаллические структуры основаны на плотной упаковке одного типа атомов или на плотной упаковке больших ионов с меньшими ионами, заполняющими промежутки между ними. Кубическая и гексагональная конфигурации очень близки друг к другу по энергии, и может быть трудно предсказать, какая форма будет предпочтительнее, исходя из первых принципов.

Решетки FCC и HCP

Расположение FCC в 4-х осевом направлении
FCC HCP
Кубооктаэдр B2 planes.png Кубооктаэдр 3 плоскости.png Ортобикупола треугольная wireframe.png
Устройство FCC может быть ориентировано в двух разных плоскостях: квадратной или треугольной. Их можно увидеть в кубооктаэдре с 12 вершинами, представляющими положения 12 соседних сфер вокруг одной центральной сферы. Расположение HCP можно увидеть в треугольной ориентации, но чередуются два положения сфер в треугольном расположении ортобикуполов .

Есть две простые регулярные решетки, которые достигают этой наивысшей средней плотности. Их называют гранецентрированными кубическими ( ГЦК ) (также называемыми кубическими плотноупакованными ) и гексагональными плотноупакованными ( ГПУ ) в зависимости от их симметрии . Оба основаны на листах сфер, расположенных в вершинах треугольной плитки; они различаются тем, как листы уложены друг на друга. Решетка FCC также известна математикам как решетка, созданная корневой системой A 3 .

Проблема с пушечным ядром

Пушечные ядра сложены на треугольной (передней) и прямоугольной (задней) основе, обе - FCC- решетки.

Проблема плотной упаковки сфер была впервые математически проанализирована Томасом Харриотом около 1587 года после того, как сэр Уолтер Рэли во время своей экспедиции в Америку задал ему вопрос о складировании ядер на кораблях . Пушечные ядра обычно складывались в прямоугольную или треугольную деревянную раму, образуя трех- или четырехстороннюю пирамиду. Обе конструкции создают гранецентрированную кубическую решетку с разной ориентацией относительно земли. Гексагональная плотная упаковка приведет к шестигранной пирамиде с шестиугольным основанием.

Снежки сложены, готовясь к игре в снежки . Передняя пирамида шестиугольная плотно упакованная, а задняя гранецентрированная кубическая.

Задача о пушечном ядре спрашивает, какие плоские квадратные конструкции ядер можно сложить в квадратную пирамиду. Эдуард Лукас сформулировал проблему как диофантово уравнение или и предположил, что единственными решениями являются и . Вот количество слоев в пирамидальном расположении стопки и количество пушечных ядер вдоль края в плоском квадратном устройстве.

Расположение и интервалы

И в соглашениях FCC, и в HCP каждая сфера имеет двенадцать соседей. Для каждой сферы есть один зазор, окруженный шестью сферами ( октаэдрические ), и два меньших зазора, окруженных четырьмя сферами (тетраэдрические). Расстояние до центров этих промежутков от центров окружающих сфер составляет 32 для тетраэдра и 2 для октаэдра, когда радиус сферы равен 1.

По отношению к опорному слою с позиционированием A возможно еще два позиционирования B и C. Любая последовательность A, B и C без немедленного повторения одной и той же возможна и дает одинаково плотную упаковку для сфер заданного радиуса.

Самые регулярные - это

  • FCC = ABC ABC ABC ... (каждый третий слой одинаковый)
  • HCP = AB AB AB AB ... (все остальные слои такие же).

Существует бесчисленное множество неупорядоченных расположений плоскостей (например, ABCACBABABAC ...), которые иногда собирательно называют «упаковками Барлоу» в честь кристаллографа Уильяма Барлоу.

В плотной упаковке расстояние между центрами сфер в плоскости xy представляет собой простую сотовую мозаику с шагом (расстоянием между центрами сфер) в один диаметр сферы. Расстояние между центрами сфер, спроецированных на ось z (вертикальную), составляет:

где d - диаметр сферы; это следует из тетраэдрического расположения плотноупакованных сфер.

Координационное число от HCP и FCC 12 и их атомные упаковочные факторы (НПФ) равны числу упомянутых выше, 0,74.

Сравнение HCP и FCC
Закройте файл package.svg.
Рисунок 1 - Решетка ГПУ (слева) и решетка ГЦК (справа). Контур каждой соответствующей решетки Браве показан красным. Буквы указывают, какие слои совпадают. В матрице HCP есть два слоя «А», где все сферы находятся в одинаковом положении. Все три слоя в стеке FCC различны. Обратите внимание, что наложение FCC может быть преобразовано в наложение HCP путем перемещения самой верхней сферы, как показано пунктирной линией.
Гексагональная плотноупакованная элементарная ячейка.jpg Плотно упакованные сферы, с зонтиком и камерой. Jpg
Рисунок 2 - Здесь показан набор из одиннадцати сфер решетки HCP, показанной на рисунке 1 . Стек HCP отличается от трех верхних уровней стека FCC, показанного на рисунке 3, только на самом нижнем уровне; его можно преобразовать в FCC путем соответствующего поворота или перемещения. Рисунок 3 - Томас Харриот , около 1585 года, впервые задумался над математикой устройства пушечного ядра или штабеля пушечных ядер, который имеет решетку FCC . Обратите внимание, как соседние шары вдоль каждого края правильного тетраэдра, охватывающего стопку, все находятся в прямом контакте друг с другом. Этого не происходит в решетке HCP, как показано на рисунке 2 .

Генерация решетки

При формировании любой решетки упаковки сфер в первую очередь следует обратить внимание на то, что всякий раз, когда две сферы соприкасаются, прямая линия может быть проведена от центра одной сферы к центру другой, пересекая точку контакта. Расстояние между центрами по кратчайшему пути, а именно эта прямая линия, поэтому будет r 1  +  r 2, где r 1 - радиус первой сферы, а r 2 - радиус второй. В плотной упаковке все сферы имеют общий радиус r . Следовательно, два центра просто будут находиться на расстоянии 2 r .

Простая решетка HCP

Анимация создания решетки плотной упаковки. Примечание. Если третий слой (не показан) находится непосредственно над первым слоем, то строится решетка HCP. Если третий слой накладывается на отверстия в первом слое, создается решетка FCC.

Чтобы сформировать ABAB -... гексагональную плотную упаковку сфер, координатные точки решетки будут центрами сфер. Предположим, цель - заполнить коробку сферами согласно HCP. Коробка будет помещена в координатное пространство x - y - z .

Сначала сформируйте ряд сфер. Все центры будут лежать на прямой линии. Их координата x будет изменяться на 2 r, так как расстояние между центрами соприкасающихся сфер равно 2 r . У координаты и г-координата будут таким же. Для простоты скажем, что шары представляют собой первый ряд, а их координаты y и z равны просто r , так что их поверхности лежат на нулевых плоскостях. Координаты центров первого ряда будут иметь вид (2 rrr ), (4 rrr ), (6 r  , rr ), (8 r  , rr ), ... .

Теперь сформируйте следующий ряд сфер. Опять же , центры будут все лежит на одной прямом с х -координатами разностей 2 г , но будут смещением расстояния г в й -направлении так , что центр каждого шара в этой строке совпадет с й координатой где две сферы соприкасаются в первом ряду. Это позволяет сферам нового ряда перемещаться ближе к первому ряду, пока все сферы в новом ряду не коснутся двух сфер первого ряда. Поскольку новые сферы касаются двух сфер, их центры образуют равносторонний треугольник с центрами этих двух соседей. Все стороны имеют длину 2 r , поэтому разница в высоте или координате y между строками равна 3 r . Таким образом, эта строка будет иметь такие координаты:

Первая сфера этого ряда касается только одной сферы в исходном ряду, но ее положение совпадает с положением остальной части ряда.

Следующая строка следует этой схеме сдвига координаты x на r и координаты y на 3 . Добавляйте строки до тех пор, пока не достигнете максимальных границ прямоугольника по осям x и y .

В шаблоне наложения ABAB -... плоскости сфер с нечетными номерами будут иметь точно такие же координаты, за исключением разницы шага в координатах z, а плоскости сфер с четными номерами будут иметь одинаковые координаты x и y . Оба типа плоскостей формируются с использованием упомянутого выше шаблона, но начальное место для первой сферы первого ряда будет другим.

Используя плоскость, описанную выше как плоскость № 1, плоскость A, поместите сферу поверх этой плоскости так, чтобы она касалась трех сфер в плоскости A. Все три сферы уже касаются друг друга, образуя равносторонний треугольник, и, поскольку все они касаются новой сферы, четыре центра образуют правильный тетраэдр . Все стороны равны 2 r, потому что все стороны образованы двумя соприкасающимися сферами. Высота которой или разница координат z между двумя "плоскостями" равна6 r 2/3. Это, в сочетании со смещениями в координатах x и y, дает центры первой строки в плоскости B:

Координаты второй строки следуют шаблону, описанному выше, и составляют:

Разница по сравнению со следующим самолетом, самолетом А, снова 6 r 2/3в г -направлении и сдвиг в х и у , чтобы они соответствовали х - и у -координаты первой плоскости A.

В общем случае координаты центров сфер можно записать как:

где i , j и k - индексы, начинающиеся с 0, для координат x , y и z .

Индексы Миллера

Индекс Миллера – Браве для решетки ГПУ

Кристаллографические особенности систем HCP, такие как векторы и семейства атомных плоскостей, могут быть описаны с использованием обозначения индекса Миллера с четырьмя значениями ( hkil ), в котором третий индекс i обозначает удобный, но вырожденный компонент, равный - h  -  k . Ч , я и к направлению индекса разделены на 120 °, и, таким образом , не ортогональны; л компонент является взаимно перпендикулярны к ч , I и K индекса направления.

Заполнение оставшегося места

Набивки FCC и HCP - это самые плотные известные упаковки из равных сфер с наивысшей симметрией (наименьшие повторяющиеся единицы). Известны более плотные упаковки сфер , но они включают неравную упаковку сфер . Плотность упаковки 1, полностью заполняющая пространство, требует несферической формы, такой как соты .

Замена каждой точки контакта между двумя сферами ребром, соединяющим центры соприкасающихся сфер, дает тетраэдры и октаэдры с равной длиной ребра. Компоновка FCC дает тетраэдрически-октаэдрические соты . Компоновка HCP образует спиральные четырехгранно-октаэдрические соты . Если вместо этого каждая сфера дополнена точками в пространстве, которые ближе к ней, чем к любой другой сфере, образуются двойники этих сот: ромбические додекаэдрические соты для FCC и трапециевидные додекаэдрические соты для HCP.

Сферические пузырьки появляются в мыльной воде в устройствах FCC или HCP, когда вода из зазоров между пузырьками стекает. Этот образец также приближается к ромбическим додекаэдрическим сотам или трапециевидным додекаэдрическим сотам . Однако такие пены FCC или HCP с очень небольшим содержанием жидкости нестабильны, так как не удовлетворяют законам Плато . Пены Кельвина и пена Weaire-Фелэно являются более стабильными, имеющей меньшей межфазной энергией в пределе очень малого содержания жидкости.

Смотрите также

Примечания

внешние ссылки