Гессен нормальная форма - Hesse normal form

Расстояние от начала координат O до линии E, рассчитанное с помощью нормальной формы Гессе. Вектор нормали - красным, линия - зеленым, точка O - синим.

Нормальная форма Hesse имя Отто Гессе , является уравнением , используемым в аналитической геометрии , и описывает линию в или плоскость в евклидове пространства или гиперплоскость в более высоких измерениях. Он в основном используется для вычисления расстояния (см точки-плоскость расстояния и расстояние от точки линии ). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

В векторных обозначениях он записывается как

${\ displaystyle {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {n}} _ {0} -d = 0. \,}$

Точка указывает на скалярное произведение или скалярное произведение . Вектор точки от начала системы координат, O , в любой точке Р , которая лежит именно в плоскости или на линию Е . Вектор представляет собой единичный вектор нормали в плоскости или линии Е . Расстояние - это кратчайшее расстояние от начала координат O до плоскости или линии. ${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle {\ vec {r}}}$${\ displaystyle {\ vec {n}} _ {0}}$ ${\ displaystyle d \ geq 0}$

Вывод / расчет из нормальной формы

Примечание. Для простоты в следующем выводе обсуждается трехмерный случай. Однако это также применимо в 2D.

В нормальной форме

${\ displaystyle ({\ vec {r}} - {\ vec {a}}) \ cdot {\ vec {n}} = 0 \,}$

плоскость задается вектором нормали, а также произвольным вектором положения точки . Направление выбрано так, чтобы выполнялось неравенство ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle A \ in E}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {n}} \ geq 0 \,}$

Разделив вектор нормали на его величину , мы получим единичный (или нормированный) вектор нормали ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle | {\ vec {n}} |}$

${\ displaystyle {\ vec {n}} _ {0} = {{\ vec {n}} \ over {| {\ vec {n}} |}} \,}$

и приведенное выше уравнение можно переписать как

${\ displaystyle ({\ vec {r}} - {\ vec {a}}) \ cdot {\ vec {n}} _ {0} = 0. \,}$

Подстановка

${\ displaystyle d = {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {n}} _ {0} \ geq 0 \,}$

получаем нормальную форму Гессе

${\ displaystyle {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {n}} _ {0} -d = 0. \,}$

На этой диаграмме d - это расстояние от начала координат. Поскольку выполняется для каждой точки на плоскости, это также верно для точки Q (точка, где вектор из начала координат пересекает плоскость E), причем , согласно определению скалярного произведения${\ displaystyle {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {n}} _ {0} = d}$${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {s}}$

${\ displaystyle d = {\ vec {r}} _ {s} \ cdot {\ vec {n}} _ {0} = | {\ vec {r}} _ {s} | \ cdot | {\ vec { n}} _ {0} | \ cdot \ cos (0 ^ {\ circ}) = | {\ vec {r}} _ {s} | \ cdot 1 = | {\ vec {r}} _ {s} |. \,}$

Величина из кратчайшего расстояния от начала координат до плоскости. ${\ displaystyle | {\ vec {r}} _ {s} |}$${\ displaystyle {{\ vec {r}} _ {s}}}$

Рекомендации

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Нормальная форма Гессе» . MathWorld .