Эрмитово сопряженный - Hermitian adjoint

В математике , особенно в теории операторов , каждый линейный оператор в евклидовом векторном пространстве определяет эрмитов сопряженный (или присоединенный ) оператор в этом пространстве в соответствии с правилом ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {*}}$

${\ displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ langle x, A ^ {*} y \ rangle.}$

Определение дословно распространяется на ограниченные линейные операторы в гильбертовых пространствах. ${\ displaystyle H.}$

Определение сопряженного оператора было дополнительно расширено, чтобы включить неограниченные плотно определенные операторы, область определения которых топологически плотна в - но не обязательно равна -${\ displaystyle H.}$

Сопряженный оператор А может быть также называются эрмитово сопряжением, эрмитовы или эрмитов транспонирования (после Эрмишь ) из А и обозначаются через A ^* или A ^† (последний особенно при использовании в сочетании с Бра и кет в квантовом механика ).

Неформальное определение

Рассмотрим линейный оператор между гильбертовыми пространствами . Не вдаваясь в подробности, сопряженный оператор - это (в большинстве случаев однозначно определенный) линейный оператор, выполняющий ${\ displaystyle A: H_ {1} \ to H_ {2}}$${\ displaystyle A ^ {*}: H_ {2} \ to H_ {1}}$

${\ displaystyle \ left \ langle Ah_ {1}, h_ {2} \ right \ rangle _ {H_ {2}} = \ left \ langle h_ {1}, A ^ {*} h_ {2} \ right \ rangle _ {H_ {1}},}$

где - скалярное произведение в гильбертовом пространстве , которое линейно по первой координате и антилинейно по второй координате. Обратите внимание на особый случай, когда оба гильбертовых пространства идентичны и являются оператором в этом гильбертовом пространстве. ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {H_ {i}}}$${\ displaystyle H_ {i}}$${\ displaystyle A}$

Если обменять скалярный продукт на двойственное спаривание, можно определить сопряженное, также называемое транспонированием , оператора , где - банаховы пространства с соответствующими нормами . Здесь (опять же без учета технических деталей) сопряженный оператор определяется как с ${\ displaystyle A: E \ to F}$${\ displaystyle E, F}$ ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {E}, \ | \ cdot \ | _ {F}}$${\ displaystyle A ^ {*}: F ^ {*} \ to E ^ {*}}$

${\ Displaystyle A ^ {*} е = (и \ mapsto f (Au)),}$

Т.е. для . ${\ Displaystyle \ влево (A ^ {*} е \ вправо) (и) = е (Au)}$${\ displaystyle f \ in F ^ {*}, u \ in E}$

Обратите внимание, что приведенное выше определение в контексте гильбертова пространства на самом деле является просто приложением случая банахова пространства, когда мы отождествляем гильбертово пространство с его двойственным. Тогда вполне естественно, что мы также можем получить сопряженный оператор , где - гильбертово пространство, а - банахово пространство. Тогда двойственный определяется как с таким, что ${\ displaystyle A: H \ to E}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle A ^ {*}: E ^ {*} \ to H}$${\ displaystyle A ^ {*} f = h_ {f}}$

${\ displaystyle \ langle h_ {f}, h \ rangle _ {H} = f (Ах).}$

Определение неограниченных операторов между нормированными пространствами

Позвольте быть банаховы пространства . Предположим, что и , и предположим, что это (возможно, неограниченный) линейный оператор, который плотно определен (т. Е. Плотно в ). Тогда его сопряженный оператор определяется следующим образом. Домен ${\ Displaystyle \ влево (Е, \ | \ CDOT \ | _ {E} \ вправо), \ влево (F, \ | \ CDOT \ | _ {F} \ вправо)}$${\ Displaystyle A: D (A) \ к F}$${\ Displaystyle D (A) \ подмножество E}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle D (A)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle A ^ {*}}$

${\ Displaystyle D \ left (A ^ {*} \ right): = \ left \ {g \ in F ^ {*}: ~ \ exists c \ geq 0: ~ {\ mbox {для всех}} u \ in D (A): ~ | g (Au) | \ leq c \ cdot \ | u \ | _ {E} \ right \}}$.

Теперь для произвольных, но фиксированных мы устанавливаем с . По выбору и определению f (равномерно) непрерывна на as . Тогда по теореме Хана – Банаха или, альтернативно, через расширение по непрерывности это дает расширение , называемое определенным на всех . Обратите внимание, что эту техническую особенность необходимо получить позже в качестве оператора вместо. Замечание также, что это не означает, что это может быть расширено для всех, но расширение работает только для определенных элементов . ${\ displaystyle g \ in D (A ^ {*})}$${\ displaystyle f: D (A) \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle е (и) = г (Аи)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle D (A ^ {*})}$${\ Displaystyle D (A)}$${\ Displaystyle | е (и) | = | г (Аи) | \ Leq с \ CDOT \ | и \ | _ {E}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ hat {f}}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle A ^ {*}}$${\ displaystyle D \ left (A ^ {*} \ right) \ к E ^ {*}}$${\ displaystyle D \ left (A ^ {*} \ right) \ to (D (A)) ^ {*}.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E}$${\ Displaystyle г \ в D \ влево (A ^ {*} \ вправо)}$

Теперь мы можем определить сопряженный к как ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {\ begin {align} A ^ {*}: F ^ {*} \ supset D (A ^ {*}) & \ to E ^ {*} \\ g & \ mapsto A ^ {*} g = {\ hat {f}} \ end {align}}}$

Таким образом, основная определяющая идентичность

${\ Displaystyle г (Аи) = \ влево (А ^ {*} г \ вправо) (и)}$ для ${\ displaystyle u \ in D (A).}$

Определение ограниченных операторов между гильбертовыми пространствами

Предположим, H - комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением . Рассмотрим непрерывный линейный оператор A  : H → H (для линейных операторов непрерывность эквивалентна ограниченному оператору ). Тогда сопряженным к A является непрерывный линейный оператор A ^∗  : H → H, удовлетворяющий ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ left \ langle x, A ^ {*} y \ right \ rangle \ quad {\ mbox {для всех}} x, y \ in H.}$

Существование и единственность этого оператора следует из теоремы Рисса о представлении .

Это можно рассматривать как обобщение сопряженной матрицы квадратной матрицы, которая имеет аналогичное свойство, связанное со стандартным комплексным внутренним произведением.

Характеристики

Следующие свойства эрмитова сопряженного ограниченного оператора очевидны:

1. Инволютивность : A ^∗∗ = A
2. Если A обратима, то обратима и A ^∗ , причем${\ textstyle \ left (A ^ {*} \ right) ^ {- 1} = \ left (A ^ {- 1} \ right) ^ {*}}$
3. Антилинейность :
   • ( A + B ) ^∗ = A ^∗ + B ^∗
   • ( ХА ) ^* = λ A ^* , где λ обозначает комплексное сопряжение из комплексного числа Л
4. « Антидистрибутивность »: ( AB ) ^∗ = B ^∗ A ^∗

Если мы определим оператор норму в А по

${\ displaystyle \ | A \ | _ {\ text {op}}: = \ sup \ left \ {\ | Ax \ |: \ | x \ | \ leq 1 \ right \}}$

тогда

${\ displaystyle \ left \ | A ^ {*} \ right \ | _ {\ text {op}} = \ | A \ | _ {\ text {op}}.}$

Кроме того,

${\ displaystyle \ left \ | A ^ {*} A \ right \ | _ {\ text {op}} = \ | A \ | _ {\ text {op}} ^ {2}.}$

Говорят, что норма, удовлетворяющая этому условию, ведет себя как «наибольшее значение», экстраполируя из случая самосопряженных операторов.

Множество ограниченных линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве H вместе с присоединенной операцией и операторной нормой образуют прототип C * -алгебры .

Сопряжение плотно определенных неограниченных операторов между гильбертовыми пространствами

Определение

Пусть внутренний продукт будет линейным по первому аргументу. Плотно определенный оператор из комплексного гильбертова пространства Н в себя линейный оператор, область D ( ) является плотным линейным подпространством из H и значение которого лежит в H . По определению, область определения D ( A ^∗ ) сопряженного к нему A ^∗ - это множество всех y ∈ H, для которых существует z ∈ H, удовлетворяющий ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ langle x, z \ rangle \ quad {\ mbox {для всех}} x \ in D (A).}$

Благодаря плотности и теоремы Рисса представления , однозначно определен, и, по определению,${\ Displaystyle D (A)}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle A ^ {*} y = z.}$

Свойства 1. – 5. с соответствующими пунктами о доменах и кодоменах . Например, последнее свойство теперь утверждает, что ( AB ) ^∗ является расширением B ^∗ A ^∗, если A , B и AB - плотно определенные операторы.

ker A ^* = (im A) ^⊥

Для любого линейного функционала тождественно равен нулю, а значит,${\ displaystyle y \ in \ ker A ^ {*},}$${\ displaystyle x \ mapsto \ langle Ax, y \ rangle = \ langle x, A ^ {*} y \ rangle}$${\ displaystyle y \ in (\ operatorname {im} A) ^ {\ perp}.}$

И наоборот, предположение, при котором функционал тождественно равен нулю. Поскольку функционал, очевидно, ограничен, определение гарантирует, что Тот факт, что для каждого показывает, что данное, что является плотным. ${\ Displaystyle у \ в (\ OperatorName {им} А) ^ {\ перп}}$${\ Displaystyle х \ mapsto \ langle Ax, y \ rangle}$${\ displaystyle A ^ {*}}$${\ displaystyle y \ in D (A ^ {*}).}$${\ Displaystyle х \ в D (A),}$ ${\ displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ langle x, A ^ {*} y \ rangle = 0}$${\ Displaystyle A ^ {*} y \ in D (A) ^ {\ perp} = \ {0 \},}$${\ Displaystyle D (A)}$

Это свойство показывает, что это топологически замкнутое подпространство, даже если это не так. ${\ displaystyle \ operatorname {ker} A ^ {*}}$${\ displaystyle D (A ^ {*})}$

Геометрическая интерпретация

Если и являются гильбертовыми пространствами, то является гильбертовым пространством со скалярным произведением ${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$${\ displaystyle H_ {1} \ oplus H_ {2}}$

${\ displaystyle {\ bigl \ langle} (a, b), (c, d) {\ bigr \ rangle} _ {H_ {1} \ oplus H_ {2}} {\ stackrel {\ text {def}} { =}} \ langle a, c \ rangle _ {H_ {1}} + \ langle b, d \ rangle _ {H_ {2}},}$

где и${\ displaystyle a, c \ in H_ {1}}$${\ displaystyle b, d \ in H_ {2}.}$

Пусть - симплектическое отображение , т.е. тогда граф ${\ Displaystyle J \ двоеточие H \ oplus H \ to H \ oplus H}$${\ Displaystyle J (\ xi, \ eta) = (- \ eta, \ xi).}$

${\ Displaystyle G (A ^ {*}) = \ {(x, y) \ mid x \ in D (A ^ {*}), \ y = A ^ {*} x \} \ substeq H \ oplus H }$

из является ортогональным дополнением в${\ displaystyle A ^ {*}}$${\ displaystyle JG (A):}$

${\ Displaystyle G (A ^ {*}) = (JG (A)) ^ {\ perp} = \ {(x, y) \ in H \ oplus H: {\ bigl \ langle} (x, y), (-A \ xi, \ xi) {\ bigr \ rangle} _ {H \ oplus H} = 0 \; \; \ forall \ xi \ in D (A) \}.}$

Утверждение следует из эквивалентностей

${\ displaystyle {\ bigl \ langle} (x, y), (- A \ xi, \ xi) {\ bigr \ rangle} = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ langle A \ xi, x \ rangle = \ langle \ xi, y \ rangle,}$

а также

${\ Displaystyle {\ Bigl [} \ forall \ xi \ in D (A) \ \ \ langle A \ xi, x \ rangle = \ langle \ xi, y \ rangle {\ Bigr]} \ quad \ Leftrightarrow \ quad x \ in D (A ^ {*}) \ \ & \ y = A ^ {*} x.}$

Следствия

A ^* закрыт

Оператор будет закрыт , если граф топологически замкнут в The графе сопряженного оператора является ортогональным дополнением подпространства, и , следовательно , замкнут. ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle G (A)}$${\ displaystyle H \ oplus H.}$${\ Displaystyle G (A ^ {*})}$${\ displaystyle A ^ {*}}$

A ^* плотно определено ⇔ A закрыто

Оператор является закрываемым, если топологическое замыкание графа является графиком функции. Поскольку это (замкнутое) линейное подпространство, слово «функция» можно заменить на «линейный оператор». По той же причине, замыкает тогда и только тогда , если${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle G ^ {\ текст {cl}} (А) \ substeq H \ oplus H}$${\ Displaystyle G (A)}$${\ Displaystyle G ^ {\ текст {cl}} (А)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (0, v) \ notin G ^ {\ text {cl}} (A)}$${\ displaystyle v = 0.}$

Сопряженный плотно определен тогда и только тогда, когда он замыкается. Это следует из того, что для каждого${\ displaystyle A ^ {*}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle v \ in H,}$

${\displaystyle v\in D(A^{*})^{\perp }\ \Leftrightarrow \ (0,v)\in G^{\text{cl}}(A),}$

что, в свою очередь, доказывается следующей цепочкой эквивалентностей:

${\ displaystyle {\ begin {align} v \ in D (A ^ {*}) ^ {\ perp} & \ Longleftrightarrow (v, 0) \ in G (A ^ {*}) ^ {\ perp} \ Longleftrightarrow (v, 0) \ in (JG (A)) ^ {\ text {cl}} = JG ^ {\ text {cl}} (A) \\ & \ Longleftrightarrow (0, -v) = J ^ {- 1} (v, 0) \ in G ^ {\ text {cl}} (A) \\ & \ Longleftrightarrow (0, v) \ in G ^ {\ text {cl}} (A). \ End {выровнено }}}$

A ^** = A ^cl

Замыкание оператора является оператор, граф , если этот график представляет собой функцию. Как и выше, слово «функция» можно заменить словом «оператор». Кроме того, это означает, что${\ displaystyle A ^ {\ text {cl}}}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle G ^ {\ текст {cl}} (А)}$${\ displaystyle A ^ {**} = A ^ {\ text {cl}},}$${\ displaystyle G (A ^ {**}) = G ^ {\ text {cl}} (A).}$

Чтобы доказать это, заметим, что т.е. для каждого Действительно, ${\ displaystyle J ^ {*} = - J,}$${\ displaystyle \ langle Jx, y \ rangle _ {H \ oplus H} = - \ langle x, Jy \ rangle _ {H \ oplus H},}$${\ displaystyle x, y \ in H \ oplus H.}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ langle J (x_ {1}, x_ {2}), (y_ {1}, y_ {2}) \ rangle _ {H \ oplus H} & = \ langle (- x_ {2}, x_ {1}), (y_ {1}, y_ {2}) \ rangle _ {H \ oplus H} = \ langle -x_ {2}, y_ {1} \ rangle _ {H} + \ langle x_ {1}, y_ {2} \ rangle _ {H} \\ & = \ langle x_ {1}, y_ {2} \ rangle _ {H} + \ langle x_ {2}, - y_ { 1} \ rangle _ {H} = \ langle (x_ {1}, x_ {2}), - J (y_ {1}, y_ {2}) \ rangle _ {H \ oplus H}. \ End {выровнено }}}$

В частности, для любого подпространства тогда и только тогда , когда Таким образом и Подставляя получаем${\ displaystyle y \ in H \ oplus H}$${\ Displaystyle V \ substeq H \ oplus H,}$ ${\ Displaystyle у \ в (СП) ^ {\ perp}}$${\ displaystyle Jy \ in V ^ {\ perp}.}$${\ Displaystyle J [(СП) ^ {\ perp}] = V ^ {\ perp}}$${\ displaystyle [J [(JV) ^ {\ perp}]] ^ {\ perp} = V ^ {\ text {cl}}.}$${\ Displaystyle V = G (A),}$${\ displaystyle G ^ {\ text {cl}} (A) = G (A ^ {**}).}$

A ^* = (A ^cl ) ^*

Для закрываемого оператора, означающего, что Действительно, ${\ displaystyle A,}$ ${\ displaystyle A ^ {*} = \ left (A ^ {\ text {cl}} \ right) ^ {*},}$${\ Displaystyle G (A ^ {*}) = G \ left (\ left (A ^ {\ text {cl}} \ right) ^ {*} \ right).}$

${\ Displaystyle G \ left (\ left (A ^ {\ text {cl}} \ right) ^ {*} \ right) = \ left (JG ^ {\ text {cl}} (A) \ right) ^ { \ perp} = \ left (\ left (JG (A) \ right) ^ {\ text {cl}} \ right) ^ {\ perp} = (JG (A)) ^ {\ perp} = G (A ^ {*}).}$

Контрпример, когда сопряженный не определен плотно

Пусть где - линейная мера. Выберите измеримую, ограниченную, отличную от нуля функцию и выберите Определить ${\ Displaystyle Н = L ^ {2} (\ mathbb {R}, л),}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle f \ notin L ^ {2},}$${\ displaystyle \ varphi _ {0} \ in L ^ {2} \ setminus \ {0 \}.}$

${\ displaystyle A \ varphi = \ langle f, \ varphi \ rangle \ varphi _ {0}.}$

Отсюда следует, что подпространство содержит все функции с компактным носителем. Поскольку плотно определено. Для каждого и${\ Displaystyle D (A) = \ {\ varphi \ in L ^ {2} \ mid \ langle f, \ varphi \ rangle \ neq \ infty \}.}$${\ Displaystyle D (A)}$${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {[- n, n]} \ cdot \ varphi \ {\ stackrel {L ^ {2}} {\ to}} \ \ varphi,}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ varphi \ in D (A)}$${\ displaystyle \ psi \ in D (A ^ {*}),}$

${\ displaystyle \ langle \ varphi, A ^ {*} \ psi \ rangle = \ langle A \ varphi, \ psi \ rangle = \ langle \ langle f, \ varphi \ rangle \ varphi _ {0}, \ psi \ rangle = \ langle f, \ varphi \ rangle \ cdot \ langle \ varphi _ {0}, \ psi \ rangle = \ langle \ varphi, \ langle \ varphi _ {0}, \ psi \ rangle f \ rangle.}$

Таким образом, определение сопряженного оператора требует, чтобы, поскольку это возможно, только если По этой причине, Следовательно, не определен плотно и тождественно равен нулю на В результате, не замыкается и не имеет второго сопряженного оператора${\ displaystyle A ^ {*} \ psi = \ langle \ varphi _ {0}, \ psi \ rangle f.}$${\ displaystyle \ mathop {\ text {Im}} A ^ {*} \ substeq H = L ^ {2}.}$${\ displaystyle f \ notin L ^ {2},}$${\ displaystyle \ langle \ varphi _ {0}, \ psi \ rangle = 0.}$${\ displaystyle D (A ^ {*}) = \ {\ varphi _ {0} \} ^ {\ perp}.}$${\ displaystyle A ^ {*}}$${\ displaystyle D (A ^ {*}).}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {**}.}$

Эрмитовы операторы

Ограниченный оператор  : Н → Н называется эрмитова или самосопряженным , если

${\ Displaystyle А = А ^ {*}}$

что эквивалентно

${\ displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ langle x, Ay \ rangle {\ mbox {для всех}} x, y \ in H.}$

В некотором смысле эти операторы играют роль действительных чисел (равных их собственному «комплексно сопряженному») и образуют вещественное векторное пространство . Они служат моделью действительных наблюдаемых в квантовой механике . См. Статью о самосопряженных операторах для полного описания.

Сопряжения антилинейных операторов

Для антилинейного оператора определение сопряженного необходимо скорректировать, чтобы компенсировать комплексное сопряжение. Сопряженный оператор антилинейного оператора A в комплексном гильбертовом пространстве H - это антилинейный оператор A ^∗  : H → H со свойством:

${\ displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = {\ overline {\ left \ langle x, A ^ {*} y \ right \ rangle}} \ quad {\ text {для всех}} x, y \ in H. }$

Другие прилегающие

Уравнение

${\ displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ left \ langle x, A ^ {*} y \ right \ rangle}$

формально аналогичен определяющим свойствам пар сопряженных функторов в теории категорий , и отсюда присоединенные функторы получили свое название.

Смотрите также

• Математические понятия
  • Эрмитов оператор
  • Норма (математика)
  • Транспонировать линейные карты
• Физические приложения
  • Оператор (физика)
  • †-алгебра

использованная литература

• Брезис, Хаим (2011), Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения с частными производными (первое издание), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0.
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (2003), Функциональный анализ , Elsevier, ISBN 981-4141-65-8.
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .