Спираль - Helix

Правая спираль (cos t , sin t , t ) от t = 0 до 4π со стрелками, показывающими направление увеличения t

Спирали ( / ч я л ɪ к с / ), множественное число спиралей или спиралей ( / ч ɛ л ɪ с я г / ), является формой , как штопор или спиральной лестницы. Это тип гладкой пространственной кривой с касательными линиями под постоянным углом к фиксированной оси. Спирали важны в биологии , поскольку молекула ДНК сформирована как две переплетенные спирали , а многие белки имеют спиральные субструктуры, известные как альфа-спирали . Слово спираль происходит от греческого слова ἕλιξ , «скрученный, изогнутый». «Заливная» спираль - например, «спиральный» (винтовой) наклон - называется геликоидом .

Типы

Спирали могут быть как правосторонними, так и левосторонними. Если при взгляде вдоль оси спирали вращательное движение по часовой стрелке перемещает спираль от наблюдателя, это называется правой спиралью; если в сторону наблюдателя, то это левая спираль. Направленность (или хиральность ) - это свойство спирали, а не перспективы: правую спираль нельзя повернуть так, чтобы она выглядела как левосторонняя, если ее не рассматривать в зеркале, и наоборот.

Сравнение двух типов спиралей . Это показывает две хиральности спиралей. Один левша, а другой правша. В каждой строке сравниваются две спирали с разных точек зрения. Хиральность - это свойство объекта, а не перспективы (угол обзора).

Большинство крепежных винтов имеют правую спираль. Альфа-спираль в биологии, а также формы A и B ДНК также являются правыми спиралями. Z форма ДНК левой рукой.

Шаг спирали является высота одного полного оборота спирали, измеренное параллельно оси спирали.

Двойная спираль состоит из двух (обычно конгруэнтных ) спиралей с одной и теми же осями, отличаясь при перемещении вдоль оси.

Коническая спираль может быть определена как спираль на коническую поверхность, с расстоянием до вершины экспоненциальной функции угла , указывающего направление от оси. Примером могут служить американские горки « Штопор» в парке развлечений « Сидар-Пойнт» .

Круглая спираль, (т.е. один с радиусом постоянная) имеет постоянную полосу кривизну и постоянную кручению .

Кривая называется общей спиралью или цилиндрической спиралью, если ее касательная составляет постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. Кривая является общей спиралью тогда и только тогда, когда отношение кривизны к кручению постоянно.

Геометрический шаг - это расстояние, на которое элемент воздушного винта продвинулся бы за один оборот, если бы он двигался по спирали, имеющей угол, равный углу между хордой элемента и плоскостью, перпендикулярной оси винта.

Кривая называется наклонной спиралью, если ее главная нормаль образует постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. Его можно построить, применив преобразование к движущейся системе отсчета общей спирали.

Некоторые кривые, встречающиеся в природе, состоят из множества спиралей разной направленности, соединенных вместе переходами, известными как извращения усиков .

Математическое описание

Спираль, состоящая из синусоидальных компонентов x и y

В математике спираль - это кривая в трехмерном пространстве. Следующая параметризация в декартовых координатах определяет конкретную спираль; возможно, самое простое уравнение для одного - это

{\ Displaystyle х (т) = \ соз (т), \,}

{\ Displaystyle у (т) = \ грех (т), \,}

{\ Displaystyle г (т) = т. \,}

По мере увеличения параметра t точка ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) отслеживает правую спираль с шагом 2 π (или наклоном 1) и радиусом 1 вокруг оси z в правая система координат.

В цилиндрических координатах ( r , θ , h ) та же спираль параметризуется:

{\ Displaystyle г (т) = 1, \,}

{\ Displaystyle \ тета (т) = т, \,}

{\ Displaystyle ч (т) = т. \,}

Круговая спираль радиуса a и наклона b / a (или шага 2 πb ) описывается следующей параметризацией:

{\ Displaystyle х (т) = а \ соз (т), \,}

{\ Displaystyle у (т) = а \ грех (т), \,}

{\ Displaystyle г (т) = бт. \,}

Другой способ математического построения спирали - построить комплексную функцию e ^xi как функцию действительного числа x (см . Формулу Эйлера ). Значение x, а также действительная и мнимая части значения функции дают этому графику три реальных измерения.

За исключением вращений , перемещений и изменений масштаба, все правые спирали эквивалентны спирали, определенной выше. Эквивалентная левая спираль может быть построена несколькими способами, самый простой из которых - отрицать любой из компонентов x , y или z .

Длина дуги, кривизна и скручивание

Длина круговой спирали радиуса a и наклона b / a (или шага 2 πb ), выраженная в прямоугольных координатах как

{\ Displaystyle т \ mapsto (а \ соз т, а \ грех т, бт), т \ в [0, Т]}

равно , ее кривизна равна, а ее кручение равно . Спираль имеет постоянные ненулевые кривизну и кручение. ${\ Displaystyle Т \ cdot {\ sqrt {а ^ {2} + Ь ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {| a |} {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}$

Спираль - это вектор-функция

{\ Displaystyle \ mathbf {r} = а \ соз т \ mathbf {я} + а \ грех т \ mathbf {j} + bt \ mathbf {k}}

{\ displaystyle \ mathbf {v} = -a \ sin t \ mathbf {i} + a \ cos t \ mathbf {j} + b \ mathbf {k}}

{\ displaystyle \ mathbf {a} = -a \ cos t \ mathbf {i} -a \ sin t \ mathbf {j} +0 \ mathbf {k}}

{\ displaystyle | \ mathbf {v} | = {\ sqrt {(-a \ sin t) ^ {2} + (a \ cos t) ^ {2} + b ^ {2}}} = {\ sqrt { а ^ {2} + Ь ^ {2}}}}

{\ displaystyle | \ mathbf {a} | = {\ sqrt {(-a \ sin t) ^ {2} + (a \ cos t) ^ {2}}} = a}

{\ displaystyle s (t) = \ int _ {0} ^ {t} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} d \ tau = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} t}

Таким образом, спираль может быть изменена в зависимости от скорости, которая должна быть единичной: ${\ displaystyle s}$

{\ displaystyle \ mathbf {r} (s) = a \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {i} + a \ sin {\ гидроразрыв {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {j} + {\ frac {bs} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} }} \ mathbf {k}}

Единичный касательный вектор равен

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {ds}} = \ mathbf {T} = {\ frac {-a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {i} + {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {j} + {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {k}}

Нормальный вектор

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} = \ kappa \ mathbf {N} = {\ frac {-a} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {i} + {\ frac {-a} {a ^ {2} + b ^ {2}} } \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {j} +0 \ mathbf {k}}

Его кривизна равна . ${\ displaystyle \ left | {\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} \ right | = \ kappa = {\ frac {| a |} {a ^ {2} + b ^ {2}}} }$

Единичный вектор нормали равен

{\ displaystyle \ mathbf {N} = - \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {i} - \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {j} +0 \ mathbf {k}}

Вектор бинормали равен

{\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {T} \ times \ mathbf {N} = {\ frac {1} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ left [b \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {i} -b \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {j} + a \ mathbf {k} \ right]}

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {B}} {ds}} = {\ frac {1} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ left [b \ cos {\ frac {s } {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {i} + b \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} }} \ mathbf {j} +0 \ mathbf {k} \ right]}

Его кручение есть . ${\ displaystyle \ tau = \ left | {\ frac {d \ mathbf {B}} {ds}} \ right | = {\ frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$

Примеры

В музыке , звуковая система часто моделируются с спиралями или двойными спиралями, чаще всего , выступающие из круга , такие как круг пятых , таким образом , чтобы представлять октаву эквивалентность .

Кристаллическая структура свернутой молекулярной спирали , описанная Lehn et al. в Helv. Чим. Acta. , 2003, 86, 1598–1624.
Естественная левосторонняя спираль, созданная вьющимся растением.
Заряженная частица в однородном магнитном поле движется по спиральной траектории.
Винтовая пружина