Уравнение Хагена – Пуазейля - Hagen–Poiseuille equation

В неидеальной динамике жидкости , то течение пуазёйль , также известный как закон Хаген-Пуазейль , закон Пуазейля или уравнение Пуазейля , является физическим законом , который дает падение давления в качестве несжимаемой и ньютоновской жидкости в ламинарном потоке протекающее через длинный цилиндрическую трубу постоянного сечения. Его можно успешно применять для потока воздуха в альвеолах легких , потока через соломинку для питья или через иглу для подкожных инъекций . Он был независимо экспериментально выведен Жаном Леонаром Мари Пуазейлем в 1838 году и Готтильфом Генрихом Людвигом Хагеном и опубликован Пуазейлем в 1840–41 и 1846 годах. Теоретическое обоснование закона Пуазейля было дано Джорджем Стоуксом в 1845 году.

Предположения уравнения таковы, что жидкость несжимаемая и ньютоновская ; поток ламинарный через трубу постоянного круглого поперечного сечения , которая является , по существу , больше , чем его диаметр; и нет ускорения жидкости в трубе. Для скоростей и диаметров трубы выше порогового значения фактический поток жидкости не ламинарный, а турбулентный , что приводит к большим перепадам давления, чем рассчитывается по уравнению Хагена – Пуазейля.

Уравнение Пуазейля описывает падение давления из- за вязкости жидкости; В жидкости все еще могут возникать другие типы перепадов давления (см. Демонстрацию здесь). Так , например, давление , необходимое для приведения в действие вязкой жидкости вверх против силы тяжести будет содержать как то, что при необходимости в законе Пуазейля плюс , что при необходимости в уравнении Бернулли , таким образом, что любая точка в потоке будет иметь большее давление , чем ноль ( в противном случае при отсутствии потока будет случаться).

Другой пример, когда кровь течет в более узком сужение , его скорость будет больше , чем в большем диаметре (за счетом непрерывности от объемной скорости потока ), и его давление будет ниже , чем в большем диаметре ( в связи с уравнением Бернулли). Однако вязкость крови вызовет дополнительное падение давления вдоль направления потока, которое пропорционально пройденной длине (согласно закону Пуазейля). Оба эффекта влияют на фактическое падение давления.

Уравнение

В стандартных обозначениях кинетики жидкости:

{\ displaystyle \ Delta p = {\ frac {8 \ mu LQ} {\ pi R ^ {4}}} = {\ frac {8 \ pi \ mu LQ} {A ^ {2}}}}

где:

Δ p

- разница давлений между двумя концами,

L

- длина трубы,

μ

- динамическая вязкость ,

Q

- объемный расход ,

R

- радиус трубы ,

А

- поперечное сечение трубы.

Уравнение не выполняется вблизи входа в трубу.

Уравнение не работает в пределе низкой вязкости, широкой и / или короткой трубы. Низкая вязкость или широкая труба могут привести к турбулентному потоку, что требует использования более сложных моделей, таких как уравнение Дарси – Вайсбаха . Отношение длины к радиусу трубы должно быть больше одной сорок восьмой числа Рейнольдса, чтобы закон Хагена – Пуазейля действовал. Если труба слишком короткая, уравнение Хагена – Пуазейля может привести к нефизически высоким расходам; поток ограничен принципом Бернулли , при менее ограничительных условиях,

{\ displaystyle \ Delta p = {\ frac {1} {2}} \ rho {\ overline {v}} _ {\ text {max}} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ rho \ left ({\ frac {Q _ {\ max} {}} {\ pi R ^ {2}}} \ right) ^ {2} \, \, \, \ rightarrow \, \, \, Q _ {\ max} {} = \ pi R ^ {2} {\ sqrt {\ frac {2 \ Delta p} {\ rho}}},}

потому что невозможно иметь давление ниже нуля (абсолютное) (не путать с манометрическим давлением ) в потоке несжимаемой жидкости.

Связь с уравнением Дарси – Вейсбаха.

Обычно поток Хагена – Пуазейля подразумевает не только соотношение для перепада давления, приведенное выше, но и полное решение для ламинарного профиля потока, который является параболическим. Однако результат для падения давления может быть расширен до турбулентного потока путем определения эффективной турбулентной вязкости в случае турбулентного потока, даже если профиль потока в турбулентном потоке, строго говоря, не является фактически параболическим. В обоих случаях, ламинарном или турбулентном, падение давления связано с напряжением на стенке, которое определяет так называемый коэффициент трения. Напряжение стенки может быть определено феноменологически с помощью уравнения Дарси – Вайсбаха в области гидравлики , учитывая соотношение для коэффициента трения через число Рейнольдса. В случае ламинарного течения для круглого поперечного сечения:

{\ displaystyle \ Lambda = {\ frac {64} {\ mathrm {Re}}}, \ quad \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho vd} {\ mu}},}

где $Re$ - число Рейнольдса , $ρ$ - плотность жидкости, а $v$ - средняя скорость потока, которая составляет половину максимальной скорости потока в случае ламинарного потока. Более полезным оказывается определение числа Рейнольдса в терминах средней скорости потока, потому что эта величина остается хорошо определенной даже в случае турбулентного потока, тогда как максимальная скорость потока может не быть, или, в любом случае, может быть трудно сделать вывод. . В такой форме закон аппроксимирует коэффициент трения Дарси , то коэффициент потерь энергии (головки) , коэффициент потерь на трение или Дарси (трение) фактор $Л$ в ламинарном потоке при очень низких скоростях в цилиндрической трубе. Теоретический вывод несколько иной формы закона был независимо сделан Видманом в 1856 г. и Нейманом и Э. Хагенбахом в 1858 г. (1859, 1860). Хагенбах был первым, кто назвал этот закон законом Пуазейля.

Закон также очень важен в гемореологии и гемодинамике , обеих областях физиологии .

Позднее, в 1891 г., закон Пуазейля был распространен на турбулентный поток Л. Р. Уилберфорсом на основе работы Хагенбаха.

Вывод

Уравнение Хагена – Пуазейля может быть получено из уравнений Навье – Стокса . Ламинарный поток через трубу равномерной (круговой) поперечное сечение , известен как поток Хагена-Пуазейля. Уравнения, управляющие потоком Хагена – Пуазейля, могут быть получены непосредственно из уравнений импульса Навье – Стокса в трехмерных цилиндрических координатах , сделав следующий набор допущений: ${\ Displaystyle (г, \ тета, х)}$

Течение постоянное ( ). ${\ Displaystyle \ partial (...) / \ partial t = 0}$
Радиальная и азимутальная составляющие скорости жидкости равны нулю ( ). ${\ displaystyle u_ {r} = u _ {\ theta} = 0}$
Течение осесимметричное ( ). ${\ Displaystyle \ partial (...) / \ partial \ theta = 0}$
Поток полностью развит ( ). Однако здесь это можно доказать с помощью сохранения массы и сделанных выше предположений. ${\ displaystyle \ partial u_ {x} / \ partial x = 0}$

Тогда угловое уравнение в уравнениях импульса и уравнение неразрывности выполняются тождественно. Уравнение радиального импульса сводится к , т. Е. Давление является функцией только осевой координаты . Для краткости используйте вместо . Уравнение осевого импульса сводится к ${\ displaystyle \ partial p / \ partial r = 0}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle u_ {x}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} \ right) = {\ гидроразрыв {1} {\ mu}} {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} x}}}

где - динамическая вязкость жидкости. В приведенном выше уравнении левая часть является только функцией, а член в правой части является только функцией , подразумевая, что оба члена должны быть одной и той же константой. Оценить эту константу несложно. Если мы возьмем длину трубы равной и обозначим разность давлений между двумя концами трубы как (высокое давление минус низкое давление), то константа будет просто определена так, что она будет положительной. Решение ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle \ Delta p}$ ${\ displaystyle - \ mathrm {d} p / \ mathrm {d} x = \ Delta p / L = G}$ ${\ displaystyle G}$

{\ displaystyle u = - {\ frac {Gr ^ {2}} {4 \ mu}} + c_ {1} \ ln r + c_ {2}}

Так должно быть конечным при , . Граничное условие отсутствия проскальзывания на стенке трубы требует, чтобы at (радиус трубы), что дает Таким образом, мы, наконец, имеем следующий параболический профиль скорости : ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle r = 0}$ ${\ displaystyle c_ {1} = 0}$ ${\ displaystyle u = 0}$ ${\ displaystyle r = R}$ ${\ displaystyle c_ {2} = GR ^ {2} / (4 \ mu).}$

{\ displaystyle u = {\ frac {G} {4 \ mu}} (R ^ {2} -r ^ {2}).}

Максимальная скорость происходит при осевой линии трубы ( ), . Среднюю скорость можно получить интегрированием по поперечному сечению трубы , ${\ displaystyle r = 0}$ ${\ displaystyle {u} _ {\ rm {max}} = GR ^ {2} / (4 \ mu)}$

{\ displaystyle {u} _ {\ mathrm {avg}} = {\ frac {1} {\ pi R ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {R} 2 \ pi ru \ mathrm {d} r = {\ frac {1} {2}} {u} _ {\ mathrm {max}}.}

В экспериментах легче всего измерить объемный расход . Его перестановка дает уравнение Хагена – Пуазейля ${\ displaystyle Q = \ pi R ^ {2} {u} _ {\ mathrm {avg}}}$

{\ displaystyle \ Delta p = {\ frac {8 \ mu QL} {\ pi R ^ {4}}}.}

Тщательный вывод, начиная с первых принципов

Альтернативный метод вывода уравнения Хагена – Пуазейля, хотя и более длинный, чем прямое использование уравнений Навье – Стокса , заключается в следующем.

Поток жидкости по трубе

а) Трубка, показывающая воображаемую пластинку. б) Поперечное сечение трубки показывает пластину, движущуюся с разной скоростью. Те, кто находится ближе всего к краю трубки, движутся медленно, в то время как те, кто находится рядом с центром, движутся быстро.

Предположим, что жидкость имеет ламинарный поток . Ламинарный поток в круглой трубе предполагает наличие группы круглых слоев (пластин) жидкости, скорость каждого из которых определяется только их радиальным расстоянием от центра трубы. Также предположим, что центр движется быстрее всего, в то время как жидкость, касающаяся стенок трубки, неподвижна (из -за условия прилипания ).

Чтобы определить движение жидкости, необходимо знать все силы, действующие на каждую пластинку:

Сила давления, толкающая жидкость через трубку, представляет собой изменение давления, умноженное на площадь: $F = - A Δ p$ . Эта сила направлена в направлении движения жидкости. Отрицательный знак происходит от обычного способа определения $Δ p = p end - p top <0$ .
Эффекты вязкости будут вытягиваться из более быстрой пластинки непосредственно ближе к центру трубки.
Эффекты вязкости будут перемещаться от более медленной пластинки непосредственно к стенкам трубки.

Вязкость

Две жидкости движутся мимо друг друга в направлении

x

. Жидкость наверху движется быстрее и будет втягиваться нижней жидкостью в отрицательном направлении, в то время как нижняя жидкость будет вытягиваться в положительном направлении верхней жидкостью.

Когда два соприкасающихся друг с другом слоя жидкости движутся с разной скоростью, между ними возникает сила сдвига . Эта сила пропорциональна к зоне контакта $А$ , с градиентом скорости , перпендикулярной к направлению потока $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} Δ v x/Δ y$ , и константа пропорциональности (вязкость) и определяется выражением

{\ displaystyle F _ {\ text {visacity, top}} = - \ mu A {\ frac {\ Delta v_ {x}} {\ Delta y}}.}

Здесь стоит отрицательный знак, потому что нас интересует более быстро движущаяся жидкость (вверху на рисунке), которая замедляется более медленной жидкостью (внизу на рисунке). Согласно третьему закону движения Ньютона сила, действующая на более медленную жидкость, равна силе, действующей на более быструю жидкость, и противоположна ей (без отрицательного знака). Это уравнение предполагает, что площадь контакта настолько велика, что мы можем игнорировать любые эффекты от краев и что жидкости ведут себя как ньютоновские жидкости .

Более быстрая пластинка

Предположим, что мы вычисляем силу, действующую на пластину радиуса $r$ . Из приведенного выше уравнения нам нужно знать площадь контакта и градиент скорости . Думайте о пластине как о кольце радиуса $r$ , толщины $dr$ и длины $Δ x$ . Площадь контакта между пластиной и более быстрой пластиной - это просто площадь внутренней части цилиндра: $A = 2π r Δ x$ . Мы еще не знаем точной формы скорости жидкости в трубке, но мы знаем (из нашего предположения выше), что она зависит от радиуса. Следовательно, градиент скорости - это изменение скорости по отношению к изменению радиуса на пересечении этих двух пластин. Это пересечение находится в радиусе $r$ . Итак, учитывая, что эта сила будет положительной по отношению к движению жидкости (но производная скорости отрицательна), окончательная форма уравнения станет

{\ displaystyle F _ {\ text {вязкость, быстро}} = - 2 \ pi r \ mu \, \ Delta x \, \ left. {\ frac {dv} {dr}} \ right | _ {r}}

где вертикальная черта и индекс $r$ после производной указывают на то, что ее следует брать при радиусе $r$ .

Более медленная пластинка

Теперь давайте найдем силу сопротивления более медленной пластинки. Нам нужно рассчитать те же значения, что и для силы от более быстрой пластины. В этом случае площадь контакта будет $r + dr$ вместо $r$ . Кроме того, мы должны помнить, что эта сила противодействует направлению движения жидкости и поэтому будет отрицательной (и что производная скорости отрицательна).

{\ Displaystyle F _ {\ text {вязкость, медленно}} = 2 \ pi (r + dr) \ mu \, \ Delta x \ left. {\ frac {dv} {dr}} \ right | _ {r + dr }}

Собираем все вместе

Чтобы найти решение для потока ламинарного слоя через трубку, нам нужно сделать одно последнее предположение. В трубе нет ускорения жидкости, и, согласно первому закону Ньютона , нет чистой силы. Если нет чистой силы, мы можем сложить все силы вместе, чтобы получить ноль.

{\ displaystyle 0 = F _ {\ text {давление}} + F _ {\ text {вязкость, быстро}} + F _ {\ text {вязкость, медленно}}}

или же

{\ displaystyle 0 = - \ Delta p2 \ pi r \, dr-2 \ pi r \ mu \, \ Delta x \ left. {\ frac {dv} {dr}} \ right | _ {r} +2 \ pi (r + dr) \ mu \, \ Delta x \, \ left. {\ frac {dv} {dr}} \ right \ vert _ {r + dr}.}

Во-первых, чтобы все происходило в одной точке, используйте первые два члена разложения градиента скорости в ряд Тейлора :

{\ displaystyle \ left. {\ frac {dv} {dr}} \ right | _ {r + dr} = \ left. {\ frac {dv} {dr}} \ right | _ {r} + \ left. {\ frac {d ^ {2} v} {dr ^ {2}}} \ right | _ {r} \, dr.}

Выражение справедливо для всех пластинок. Группируем одинаковые члены и опускаем вертикальную черту, поскольку предполагается, что все производные находятся на радиусе $r$ ,

{\ displaystyle 0 = - \ Delta p2 \ pi r \, dr + 2 \ pi \ mu \, dr \, \ Delta x {\ frac {dv} {dr}} + 2 \ pi r \ mu \, dr \ , \ Delta x {\ frac {d ^ {2} v} {dr ^ {2}}} + 2 \ pi \ mu (dr) ^ {2} \, \ Delta x {\ frac {d ^ {2} v} {dr ^ {2}}}.}

Наконец, представьте это выражение в форме дифференциального уравнения , отбросив член, квадратичный по $dr$ .

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ mu}} {\ frac {\ Delta p} {\ Delta x}} = {\ frac {d ^ {2} v} {dr ^ {2}}} + { \ frac {1} {r}} {\ frac {dv} {dr}}}

Приведенное выше уравнение совпадает с уравнением, полученным из уравнений Навье – Стокса, и вывод отсюда следует, как и ранее.

Запуск потока Пуазейля в трубе

Когда между двумя концами длинной трубы применяется постоянный градиент давления , поток не сразу приобретает профиль Пуазейля, скорее, он развивается во времени и достигает профиля Пуазейля в установившемся состоянии. Уравнения Навье – Стокса сводятся к ${\ displaystyle G = - \ mathrm {d} p / \ mathrm {d} x = {\ text {constant}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = {\ frac {G} {\ rho}} + \ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} \ right)}

с начальными и граничными условиями,

{\ displaystyle u (r, 0) = 0, \ quad u (R, t) = 0.}

Распределение скорости дается формулой

{\ displaystyle u (r, t) = {\ frac {G} {4 \ mu}} (R ^ {2} -r ^ {2}) - {\ frac {2GR ^ {2}} {\ mu} } \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ lambda _ {n} ^ {3}}} {\ frac {J_ {o} (\ lambda _ {n} r / R)} {J_ {1} (\ lambda _ {n})}} e ^ {- \ lambda _ {n} ^ {2} {\ frac {\ nu t} {R ^ {2}}}}, \ quad J_ {o} (\ lambda _ {n}) = 0}

где - функция Бесселя первого рода нулевого порядка, - положительные корни этой функции, а - функция Бесселя первого рода первого порядка. Как , раствор Пуазейля восстанавливается. ${\ displaystyle J_ {o} (\ lambda _ {n} r / R)}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {n}}$ ${\ displaystyle J_ {1} (\ lambda _ {n})}$ ${\ Displaystyle т \ rightarrow \ infty}$

Течение Пуазейля в кольцевом сечении

Если - радиус внутреннего цилиндра, а - радиус внешнего цилиндра, с приложенным градиентом давления между двумя концами , распределение скорости и объемный поток через кольцевую трубу равны ${\ displaystyle R_ {1}}$ ${\ displaystyle R_ {2}}$ ${\ displaystyle G = - \ mathrm {d} p / \ mathrm {d} x = {\ text {constant}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} u (r) & = {\ frac {G} {4 \ mu}} (R_ {1} ^ {2} -r ^ {2}) + {\ frac {G} {4 \ mu}} (R_ {2} ^ {2} -R_ {1} ^ {2}) {\ frac {\ ln (r / R_ {1})} {\ ln (R_ {2} / R_ {1})}}, \\ Q & = {\ frac {G \ pi} {8 \ mu}} \ left [R_ {2} ^ {4} -R_ {1} ^ {4} - {\ frac { (R_ {2} ^ {2} -R_ {1} ^ {2}) ^ {2}} {\ ln R_ {2} / R_ {1}}} \ right]. \ End {align}}}

Когда , исходная проблема устранена. ${\ Displaystyle R_ {2} = R, \ R_ {1} = 0}$

Течение Пуазейля в трубе с колеблющимся градиентом давления

Поток по трубам с колеблющимся градиентом давления находит применение в кровотоке через крупные артерии. Накладываемый градиент давления определяется выражением

{\ displaystyle {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} = - G- \ alpha \ cos \ omega t- \ beta \ sin \ omega t}

где , и - постоянные, а - частота. Поле скорости определяется выражением ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle \ omega}$

{\ displaystyle u (r, t) = {\ frac {G} {4 \ mu}} (R ^ {2} -r ^ {2}) + [\ alpha F_ {2} + \ beta (F_ {1 } -1)] {\ frac {\ cos \ omega t} {\ rho \ omega}} + [\ beta F_ {2} + \ alpha (F_ {1} -1)] {\ frac {\ sin \ omega т} {\ rho \ omega}}}

где

{\ Displaystyle F_ {1} (kr) = {\ frac {\ mathrm {ber} (kr) \ mathrm {ber} (kR) + \ mathrm {bei} (kr) \ mathrm {bei} (kR)} { \ mathrm {ber} ^ {2} (kR) + \ mathrm {bei} ^ {2} (kR)}},}

{\ Displaystyle F_ {2} (kr) = {\ frac {\ mathrm {ber} (kr) \ mathrm {bei} (kR) - \ mathrm {bei} (kr) \ mathrm {ber} (kR)} { \ mathrm {ber} ^ {2} (kR) + \ mathrm {bei} ^ {2} (kR)}},}

где и - функции Кельвина и . ${\ displaystyle \ mathrm {ber}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {bei}}$ ${\ Displaystyle к ^ {2} = \ ро \ омега / \ му}$

Плоский поток Пуазейля

Плоский поток Пуазейля - это поток, созданный между двумя бесконечно длинными параллельными пластинами, разделенными расстоянием с постоянным градиентом давления, приложенным в направлении потока. Поток по существу однонаправленный из-за бесконечной длины. Уравнения Навье – Стокса сводятся к ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle G = - \ mathrm {d} p / \ mathrm {d} x = {\ text {constant}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} y ^ {2}}} = - {\ frac {G} {\ mu}}}

с противоскользящим покрытием на обеих стенах

{\ displaystyle u (0) = 0, \ quad u (h) = 0}

Следовательно, распределение скорости и объемный расход на единицу длины равны

{\ displaystyle u (y) = {\ frac {G} {2 \ mu}} y (hy), \ quad Q = {\ frac {Gh ^ {3}} {12 \ mu}}.}

Поток Пуазейля через некруглые поперечные сечения

Джозеф Буссинеск вывел профиль скорости и объемный расход в 1868 году для прямоугольного канала и труб равностороннего треугольного сечения и для эллиптического сечения. Джозеф Праудман вывел то же самое для равнобедренных треугольников в 1914 году. Позвольте быть постоянным градиентом давления, действующим в направлении, параллельном движению. ${\ displaystyle G = - \ mathrm {d} p / \ mathrm {d} x = {\ text {constant}}}$

Скорость и объемный расход в прямоугольном канале высотой и шириной равны ${\ Displaystyle 0 \ Leq Y \ Leq H}$ ${\ Displaystyle 0 \ Leq Z \ Leq L}$

{\ displaystyle {\ begin {align} u (y, z) & = {\ frac {G} {2 \ mu}} y (hy) - {\ frac {4Gh ^ {2}} {\ mu \ pi ^ {3}}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n-1) ^ {3}}} {\ frac {\ sinh (\ beta _ {n} z ) + \ sinh (\ beta _ {n} (lz))} {\ sinh (\ beta _ {n} l)}} \ sin (\ beta _ {n} y), \ quad \ beta _ {n} = {\ frac {(2n-1) \ pi} {h}}, \\ Q & = {\ frac {Gh ^ {3} l} {12 \ mu}} - {\ frac {16Gh ^ {4}} {\ pi ^ {5} \ mu}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n-1) ^ {5}}} {\ frac {\ cosh (\ beta _ {n} l) -1} {\ sinh (\ beta _ {n} l)}}. \ end {выравнивается}}}

Скорость и объемный расход трубки с равносторонним треугольным поперечным сечением длины стороны равны ${\ displaystyle 2h / {\ sqrt {3}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} u (y, z) & = - {\ frac {G} {4 \ mu h}} (yh) (y ^ {2} -3z ^ {2}), \\ Q & = {\ frac {Gh ^ {4}} {60 {\ sqrt {3}} \ mu}}. \ End {align}}}

Скорость и объемный расход в прямоугольном равнобедренном треугольнике равны ${\ Displaystyle у = \ пи, \ у \ PM Z = 0}$

{\ displaystyle {\ begin {align} u (y, z) & = {\ frac {G} {2 \ mu}} (y ​​+ z) (\ pi -y) - {\ frac {G} {\ pi \ mu}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ beta _ {n} ^ {3} \ sinh (2 \ pi \ beta _ {n})}} \ {\ sinh [\ beta _ {n} (2 \ pi -y + z)] \ sin [\ beta _ {n} (y + z)] - \ sinh [\ beta _ {n} (y + z) ] \ sin [\ beta _ {n} (yz)] \}, \ quad \ beta _ {n} = n - {\ frac {1} {2}}, \\ Q & = {\ frac {G \ pi ^ {4}} {12 \ mu}} - {\ frac {G} {2 \ pi \ mu}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ beta _ { n} ^ {5}}} [\ coth (2 \ pi \ beta _ {n}) + \ csc (2 \ pi \ beta _ {n})]. \ end {align}}}

Распределение скорости для труб эллиптического сечения с полуосью и равно ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$

{\ displaystyle {\ begin {align} u (y, z) & = {\ frac {G} {2 \ mu \ left ({\ frac {1} {a ^ {2}}} + {\ frac {1 } {b ^ {2}}} \ right)}} \ left (1 - {\ frac {y ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {z ^ {2}} {b ^ {2}}} \ right), \\ Q & = {\ frac {\ pi Ga ^ {3} b ^ {3}} {4 \ mu (a ^ {2} + b ^ {2})}} . \ end {выровнено}}}

Здесь, когда , Пуазейль поток для круглой трубы извлекает и когда , самолет Пуазейль поток восстанавливается. Более явные решения с поперечными сечениями, такими как участки в форме улитки, участки, имеющие форму круга с надрезом, следующего за полукругом, кольцевые участки между гомофокальными эллипсами, кольцевые участки между неконцентрическими кругами, также доступны, как описано Ратипом Беркером [ tr ; де ] . ${\ displaystyle a = b}$ ${\ Displaystyle а \ rightarrow \ infty}$

Течение Пуазейля через произвольное сечение

Поток через произвольное сечение удовлетворяет условию, что на стенках. Основное уравнение сводится к ${\ Displaystyle и (у, г)}$ ${\ displaystyle u = 0}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial z ^ {2}}} = - {\ frac {G} {\ mu}}.}

Если мы введем новую зависимую переменную как

{\ Displaystyle U = U + {\ гидроразрыва {G} {4 \ mu}} (y ​​^ {2} + z ^ {2}),}

то легко видеть, что проблема сводится к интегрированию уравнения Лапласа

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial z ^ {2}}} = 0 }

удовлетворяющий условию

{\ Displaystyle U = {\ гидроразрыва {G} {4 \ mu}} (y ​​^ {2} + z ^ {2})}

на стене.

Уравнение Пуазейля для идеального изотермического газа

Для сжимаемой жидкости в трубке объемный расход (но не массовый расход) и осевая скорость не являются постоянными вдоль трубки. Расход обычно выражается при давлении на выходе. Когда жидкость сжимается или расширяется, работа выполняется, и жидкость нагревается или охлаждается. Это означает, что скорость потока зависит от теплопередачи к жидкости и от жидкости. Для идеального газа в изотермическом случае, когда температуре жидкости позволяют уравновеситься с окружающей средой, можно получить приблизительное соотношение для перепада давления. Соотношение можно получить, используя уравнение состояния идеального газа для процесса с постоянной температурой . На коротком участке трубы газ, текущий по трубе, можно считать несжимаемым, так что закон Пуазейля можно использовать локально, ${\ Displaystyle Q (х)}$ ${\ Displaystyle Qp = Q_ {1} p_ {1} = Q_ {2} p_ {2}}$

{\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {8 \ mu Q} {\ pi R ^ {4}}} = {\ frac {8 \ mu Q_ {2} p_ {2}} {\ pi pR ^ {4}}}.}.

Здесь мы предположили, что локальный градиент давления не слишком велик, чтобы иметь какие-либо эффекты сжимаемости. Хотя локально мы игнорировали эффекты изменения давления из-за изменения плотности, на больших расстояниях эти эффекты учитываются. Поскольку не зависит от давления, приведенное выше уравнение можно проинтегрировать по длине, чтобы получить ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle L}$

{\ displaystyle p_ {1} ^ {2} -p_ {2} ^ {2} = {\ frac {16 \ mu LQ_ {2} p_ {2}} {\ pi R ^ {4}}}.}

Следовательно, объемный расход на выходе из трубы определяется выражением

{\ displaystyle Q_ {2} = {\ frac {\ pi R ^ {4}} {16 \ mu L}} \ left ({\ frac {p_ {1} ^ {2} -p_ {2} ^ {2 }} {p_ {2}}} \ right) = {\ frac {\ pi R ^ {4} (p_ {1} -p_ {2})} {8 \ mu L}} {\ frac {(p_ { 1} + p_ {2})} {2p_ {2}}}.}

Это уравнение можно рассматривать как закон Пуазейля с дополнительным поправочным коэффициентом. $п 1 + п 2 / 2 п 2$ выражая среднее давление относительно давления на выходе.

Аналогия электрических схем

Первоначально считалось, что электричество - это своего рода жидкость. Эта гидравлическая аналогия до сих пор концептуально полезна для понимания схем. Эта аналогия также используется для изучения частотной характеристики жидкостно-механических сетей с использованием схемотехнических инструментов, и в этом случае жидкостная сеть называется гидравлической схемой . Закон Пуазейля соответствует закону Ома для электрических цепей, $V = IR$ . Поскольку результирующая сила, действующая на жидкость, равна , где $S$ $= π$ $r$ $2$ , т.е. $Δ$ $F$ $= π$ $r$ $2$ $Δ$ $P$ , то из закона Пуазейля следует, что ${\ Displaystyle \ Delta F = S \ Delta p,}$

{\ displaystyle \ Delta F = {\ frac {8 \ mu LQ} {r ^ {2}}}}

.

Для электрических цепей пусть $n$ будет концентрацией свободных заряженных частиц (в м ⁻³ ) и пусть $q *$ будет зарядом каждой частицы (в кулонах ). (Для электронов $q * = e = 1,6 \times 10 -19 Кл$ .) Тогда $nQ$ - количество частиц в объеме $Q$ , а $nQq *$ - их полный заряд. Это зарядкоторый проходит через поперечное сечение в единицу времени, то есть ток $I$ . Следовательно, $I = nQq *$ . Следовательно, $Q = я / nq *$ , а также

{\ displaystyle \ Delta F = {\ frac {8 \ mu LI} {nr ^ {2} q ^ {*}}}.}

Но $Δ F = Eq$ , где $q$ - полный заряд в объеме трубки. Объем трубки равен $π r 2 L$ , поэтому количество заряженных частиц в этом объеме равно $n π r 2 L$ , а их общий заряд равен. Поскольку напряжение $V$ $=$ $EL$ , то ${\ displaystyle q = n \ pi r ^ {2} Lq ^ {*}.}$

{\ displaystyle V = {\ frac {8 \ mu LI} {n ^ {2} \ pi r ^ {4} (q ^ {*}) ^ {2}}}.}

Это в точности закон Ома, где сопротивление $R = V / я$ описывается формулой

{\ displaystyle R = {\ frac {8 \ mu L} {n ^ {2} \ pi r ^ {4} (q ^ {*}) ^ {2}}}}

.

Отсюда следует, что сопротивление $R$ пропорционально длине резистора $L$ , что верно. Однако также следует, что сопротивление $R$ обратно пропорционально четвертой степени радиуса $r$ , то есть сопротивление $R$ обратно пропорционально второй степени площади поперечного сечения $S = π r 2$ резистора, которая отличается от электрическая формула. Электрическое соотношение для сопротивления:

{\ displaystyle R = {\ frac {\ rho L} {S}},}

где $ρ$ - удельное сопротивление; т.е. сопротивление $R$ обратно пропорционально площади поперечного сечения $S$ резистора. Причина, по которой закон Пуазейля приводит к другой формуле для сопротивления $R,$ заключается в разнице между потоком жидкости и электрическим током. Электронный газ является невязким , так что его скорость не зависит от расстояния до стенки проводника. Сопротивление возникает из-за взаимодействия между текущими электронами и атомами проводника. Следовательно, закон Пуазейля и гидравлическая аналогия применимы к электричеству только в определенных пределах. И закон Ома, и закон Пуазейля иллюстрируют явления переноса .

Медицинские применения - внутривенный доступ и доставка жидкости

Уравнение Хагена – Пуазейля полезно для определения сосудистого сопротивления и, следовательно, скорости потока внутривенных (IV) жидкостей, что может быть достигнуто с использованием периферических и центральных канюль различных размеров . Уравнение утверждает, что скорость потока пропорциональна радиусу в четвертой степени, а это означает, что небольшое увеличение внутреннего диаметра канюли приводит к значительному увеличению скорости потока жидкостей для внутривенного вливания. Радиус канюли для внутривенных вливаний обычно измеряется в «манометре», который обратно пропорционален радиусу. Периферические канюли для внутривенных вливаний обычно доступны в размерах (от больших до малых) 14G, 16G, 18G, 20G, 22G, 26G. Например, поток канюли 14G обычно примерно вдвое больше , чем у канюли 16G, и в десять раз больше , чем у канюли 20G. В нем также указано, что поток обратно пропорционален длине, а это означает, что более длинные линии имеют более низкие скорости потока. Это важно помнить, поскольку в экстренных случаях многие врачи предпочитают более короткие и большие катетеры по сравнению с более длинными и узкими катетерами. В то время как менее клинического значения, увеличенное изменение давления (Δ р ) - например, путь повышения давления в мешке жидкости, сжимая сумку, или висят мешок выше ( по отношению к уровню канюли) - может быть использовано для ускорения скорость потока. Также полезно понимать, что вязкие жидкости будут течь медленнее (например, при переливании крови ).

Languages

In other projects