Гравитационный потенциал - Gravitational potential
В классической механике , то гравитационный потенциал в месте равен работе ( энергия переносится) на единицу массы , которая была бы необходимо , чтобы переместить объект в это место от неподвижного опорного местоположения. Это аналогично к электрическому потенциалу с массами играют роль заряда . Исходное местоположение, где потенциал равен нулю, по соглашению бесконечно далеко от любой массы, что приводит к отрицательному потенциалу на любом конечном расстоянии.
В математике гравитационный потенциал также известен как ньютоновский потенциал и является фундаментальным при изучении теории потенциала . Его также можно использовать для решения электростатических и магнитостатических полей, создаваемых однородно заряженными или поляризованными эллипсоидальными телами.
Потенциальная энергия
Гравитационный потенциал ( V ) в определенном месте - это потенциальная гравитационная энергия ( U ) в этом месте на единицу массы:
где m - масса объекта. Потенциальная энергия равна (по величине, но отрицательна) работе, совершаемой гравитационным полем, перемещающим тело из бесконечности в его заданное положение в пространстве. Если тело имеет массу 1 килограмм, то потенциальная энергия, которая должна быть присвоена этому телу, равна гравитационному потенциалу. Таким образом, потенциал можно интерпретировать как отрицательную величину работы, совершаемой гравитационным полем, перемещающим единицу массы из бесконечности.
В некоторых ситуациях уравнения можно упростить, если предположить, что поле почти не зависит от положения. Так , например, в области , близкой к поверхности Земли, ускорение силы тяжести , г , можно считать постоянным. В этом случае разница в потенциальной энергии от одной высоты к другой в хорошем приближении линейно связана с разницей в высоте:
Математическая форма
Гравитационный потенциал V на расстояние х от точечной массы массы M может быть определен как работа Вт , что должно быть сделано с помощью внешнего агента , чтобы довести единицы массы из бесконечности к этой точке:
где G - гравитационная постоянная , а F - гравитационная сила. Произведение GM является стандартным гравитационным параметром и часто известно с более высокой точностью, чем G или M по отдельности. Потенциал имеет единицы энергии на массу, например, Дж / кг в системе MKS . По соглашению, он всегда отрицателен там, где он определен, и, поскольку x стремится к бесконечности, он приближается к нулю.
Гравитационное поле , и , следовательно , ускорение малого тела в пространстве вокруг массивного объекта, является отрицательным градиентом гравитационного потенциала. Таким образом, отрицательное значение отрицательного градиента дает положительное ускорение к массивному объекту. Поскольку потенциал не имеет угловых составляющих, его градиент равен
где x - вектор длины x, направленный от точечной массы к малому телу, и единичный вектор, направленный от точечной массы к малому телу. Следовательно, величина ускорения подчиняется закону обратных квадратов :
Потенциал, связанный с распределением масс, представляет собой суперпозицию потенциалов точечных масс. Если распределение масс представляет собой конечный набор точечных масс, и если точечные массы расположены в точках x 1 , ..., x n и имеют массы m 1 , ..., m n , то потенциал распределения в точке х является
Если распределение масс задано как мера массы dm в трехмерном евклидовом пространстве R 3 , то потенциал представляет собой свертку −G / | г | с дм . В хороших случаях это равен интегралу
где | х - г | - расстояние между точками x и r . Если существует функция ρ ( r ), представляющая плотность распределения в точке r , так что dm ( r ) = ρ ( r ) dv ( r ) , где dv ( r ) - евклидов элемент объема , то гравитационный потенциал равен интегральный объем
Если V - потенциальная функция, полученная из непрерывного распределения масс ρ ( r ), то ρ можно восстановить с помощью оператора Лапласа Δ:
Это поточечно выполняется, если р непрерывен и равен нулю вне ограниченного множества. Вообще говоря, мера массы dm может быть восстановлена таким же образом, если оператор Лапласа взять в смысле распределений . Как следствие, гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона . См. Также функцию Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными и ньютоновского потенциала .
Интеграл может быть выражен через известные трансцендентные функции для всех эллипсоидальных форм, включая симметричные и вырожденные. К ним относятся сфера, где три полуоси равны; сплюснутые (см. справочный эллипсоид ) и вытянутые сфероиды, у которых две полуоси равны; вырожденные, где одна полуось бесконечна (эллиптический и круговой цилиндр), и неограниченный лист, где две полуоси бесконечны. Все эти формы широко используются в приложениях интеграла гравитационного потенциала (кроме постоянной G , где 𝜌 - постоянная плотность заряда) к электромагнетизму.
Сферическая симметрия
Сферически-симметричное распределение массы ведет себя для наблюдателя полностью вне распределения, как если бы вся масса была сосредоточена в центре и, таким образом, эффективно как точечная масса , согласно теореме о оболочке . На поверхности земли ускорение определяется так называемой стандартной силой тяжести g , приблизительно 9,8 м / с 2 , хотя это значение незначительно меняется в зависимости от широты и высоты. Величина ускорения на полюсах немного больше, чем на экваторе, потому что Земля представляет собой сплюснутый сфероид .
В сферически-симметричном распределении массы можно решить уравнение Пуассона в сферических координатах . Внутри однородного сферического тела радиуса R , плотности ρ и массы m гравитационная сила g внутри сферы изменяется линейно с расстоянием r от центра, давая гравитационный потенциал внутри сферы, который равен
который дифференцированно соединяется с потенциальной функцией за пределами сферы (см. рисунок вверху).
Общая теория относительности
В общей теории относительности гравитационный потенциал заменен метрическим тензором . Когда гравитационное поле слабое и источники движутся очень медленно по сравнению со скоростью света, общая теория относительности сводится к ньютоновской гравитации, а метрический тензор может быть расширен с точки зрения гравитационного потенциала.
Многополюсное расширение
Потенциал в точке x определяется выражением
Потенциал можно разложить до ряда полиномов Лежандра . Представьте точки x и r как векторы положения относительно центра масс. Знаменатель в интеграле выражается как квадратный корень из квадрата, что дает
где в последнем интеграле r = | г | и θ - угол между x и r .
(См. «Математическую форму».) Подынтегральное выражение может быть разложено в ряд Тейлора по Z = r / | x |, явным вычислением коэффициентов. Менее трудоемкий способ добиться того же результата - использовать обобщенную биномиальную теорему . Результирующий ряд является производящей функцией для полиномов Лежандра:
действительно для | X | ≤ 1 и | Z | <1. Коэффициенты P n являются многочленами Лежандра степени n . Следовательно, коэффициенты Тейлора подынтегральной функции задаются полиномами Лежандра от X = cos θ. Таким образом, потенциал можно разложить в ряд, сходящийся для позиций x таких, что r <| х | для всех массовых элементов системы (т.е. вне сферы с центром в центре масс, которая охватывает систему):
Интеграл - это составляющая центра масс в направлении x ; это исчезает, потому что вектор x исходит из центра масс. Итак, занесение интеграла под знаком суммирования дает
Это показывает, что удлинение тела вызывает более низкий потенциал в направлении удлинения и более высокий потенциал в перпендикулярных направлениях по сравнению с потенциалом из-за сферической массы, если мы сравним случаи с одинаковым расстоянием до центра масс. (Если мы сравним случаи с одинаковым расстоянием до поверхности , все будет наоборот.)
Числовые значения
Абсолютное значение гравитационного потенциала в ряде мест относительно гравитации от Земли , Солнца и Млечного Пути приведено в следующей таблице; то есть объекту на поверхности Земли потребуется 60 МДж / кг, чтобы "покинуть" гравитационное поле Земли, еще 900 МДж / кг, чтобы также покинуть гравитационное поле Солнца, и более 130 ГДж / кг, чтобы покинуть гравитационное поле Млечного Пути. Потенциал равен половине квадрата убегающей скорости .
Место нахождения | Wrt Earth | Wrt Sun | Wrt Млечный Путь |
---|---|---|---|
поверхность Земли | 60 МДж / кг | 900 МДж / кг | ≥ 130 ГДж / кг |
ЛЕО | 57 МДж / кг | 900 МДж / кг | ≥ 130 ГДж / кг |
"Вояджер-1" (17 миллиардов км от Земли) | 23 Дж / кг | 8 МДж / кг | ≥ 130 ГДж / кг |
0,1 светового года от Земли | 0,4 Дж / кг | 140 кДж / кг | ≥ 130 ГДж / кг |
Сравните силу тяжести в этих местах .
Смотрите также
- Приложения полиномов Лежандра в физике
- Стандартный гравитационный параметр ( GM )
- Геоид
- Геопотенциал
Примечания
- ^ Solivérez, CE (2016). Электростатика и магнитостатика поляризованных эллипсоидальных тел: метод тензора деполяризации (1-е английское изд.). Бесплатная научная информация. ISBN 978-987-28304-0-3.
- ^ Марион, JB; Торнтон, СТ (1995). Классическая динамика частиц и систем (4-е изд.). Harcourt Brace & Company. п. 192 . ISBN 0-03-097302-3.
- ^ Арфкен, Джордж Б .; Вебер, Ханс Дж. (2005). Математические методы для физиков, международное студенческое издание (6-е изд.). Академическая пресса . п. 72. ISBN 978-0-08-047069-6.
- ^ Пел, Дэвид; Джонс, Грэм; Чадха, Гуриндер; Вудсайд, Ричард; Старк, Уилл; Гилл, Эйдан (2014). Cambridge International AS и A Level Physics Coursebook (иллюстрированный ред.). Издательство Кембриджского университета . п. 276. ISBN. 978-1-107-69769-0.
- ^ Манкастер, Роджер (1993). Физика A-level (иллюстрированная ред.). Нельсон Торнс . п. 106. ISBN 978-0-7487-1584-8.
- ^ Владимиров 1984 , §7.8
- Перейти ↑ MacMillan, WD (1958). Теория потенциала . Dover Press.
- ^ Лоури, Уильям Лоури (2011). Пособие для студентов по геофизическим уравнениям . Издательство Кембриджского университета. п. 69. ISBN. 978-1-139-49924-8. Выдержка со страницы 68
- ^ Санчес-Лавега, Агустин (2011). Введение в планетные атмосферы (иллюстрированный ред.). CRC Press. п. 19. ISBN 978-1-4200-6735-4. Выдержка страницы 19
- ^ Grøn, Øyvind; Хервик, Зигбьорн (2007), Общая теория относительности Эйнштейна: с современными приложениями в космологии , Springer Science & Business Media, стр. 201, ISBN 978-0-387-69200-5
- Перейти ↑ Wylie, CR, Jr. (1960). Высшая инженерная математика (2-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл . п. 454 [теорема 2, раздел 10.8].
использованная литература
- Владимиров В.С. (1971), Уравнения математической физики , Пер. С русского Одри Литтлвуд. Отредактировал Алан Джеффри. Чистая и прикладная математика, 3 , Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., MR 0268497.
- Ван, WX (1988). «Потенциал однородного сфероида в сфероидальной системе координат. I. Во внешней точке». J. Phys. A: Математика. Gen . 21 (22): 4245-4250. Bibcode : 1988JPhA ... 21.4245W . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 21/22/026 .
- Милон, Т. (1990). «Замечание о потенциале однородного эллипсоида в эллипсоидальных координатах». J. Phys. A: Математика. Gen . 23 (4): 581–584. DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 23/4/027 .
- Расталл, Питер (1991). Постпринципия: гравитация для физиков и астрономов . World Scientific . стр. 7ff. ISBN 981-02-0778-6.
- Конвей, Джон Т. (2000). «Точные решения для гравитационного потенциала семейства неоднородных сфероидов» . Пн. Нет. R. Astron. Soc . 316 (3): 555–558. Bibcode : 2000MNRAS.316..555C . DOI : 10.1046 / j.1365-8711.2000.03524.x .
- Cohl, HS; Tohline, JE; Рау, ARP (2000). «Разработки в определении гравитационного потенциала с помощью тороидальных функций». Astron. Nachr . 321 (5/6): 363–372. Bibcode : 2000AN .... 321..363C . DOI : 10.1002 / 1521-3994 (200012) 321: 5/6 <363 :: АИД-ASNA363> 3.0.CO; 2-Х .
- Торнтон, Стивен Т .; Мэрион, Джерри Б. (2003), Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.), Брукс Коул, ISBN 978-0-534-40896-1.
- Чжу, Лупея (1988). «Гравитация и плотностная структура Земли» . Отделение наук о Земле и атмосфере. EAS-437 Earth Dynamics . Университет Сент-Луиса. Калифорнийский технологический институт . Проверено 25 марта 2009 .
- Чарльз Д. Гилани (28 ноября 2006 г.). «Гравитационное поле Земли» . Книга фактов по физике . Программа инженерных изысканий штата Пенсильвания. Архивировано из оригинала на 2011-07-18 . Проверено 25 марта 2009 .
- Фукусима, Тосио (2014). «Вытянутое сфероидальное гармоническое разложение гравитационного поля». Astrophys. Дж . 147 (6): 152. Bibcode : 2014AJ .... 147..152F . DOI : 10.1088 / 0004-6256 / 147/6/152 .