Глоссарий алгебраической топологии - Glossary of algebraic topology

Это глоссарий свойств и понятий алгебраической топологии в математике.

См. Также: глоссарий топологии , список тем по алгебраической топологии , глоссарий теории категорий , глоссарий дифференциальной геометрии и топологии , временная шкала многообразий .

• Условные обозначения: В статье I обозначает единичный интервал, S ⁿ - n -сфера, а D ⁿ - n -диск. Кроме того, предполагается, что в статье используются разумные пробелы ; это может означать, например, пространство является CW-комплексом или компактно порожденным слабо хаусдорфовым пространством . Точно так же не делается никаких попыток дать окончательное определение спектра . Симплициальное множество не рассматривать как пространство; т.е. мы обычно различаем симплициальные множества и их геометрические реализации.
• Критерий включения : Поскольку в настоящее время в Википедии нет глоссария по гомологической алгебре , этот глоссарий также включает несколько понятий из гомологической алгебры (например, цепная гомотопия); некоторые концепции геометрической топологии также являются справедливой игрой. С другой стороны, элементы, которые появляются в глоссарии топологии , обычно опускаются. Абстрактная теория Гомотопической и мотивная теория Гомотопической также вне сферы. Глоссарий теории категорий охватывает (или будет охватывать) концепции теории категорий моделей .

! $ @

*

Базовая точка базируемого пространства.

${\ displaystyle X _ {+}}$

Для неосновного пространства X , X ₊ - это базовое пространство , полученное путем присоединения непересекающейся базовой точки.

А

абсолютный ретракт по соседству

абстрактный

1. Абстрактная теория гомотопий.

Адамс

1.   Джон Фрэнк Адамс .

2. Спектральная последовательность Адамса .

3. Гипотеза Адамса .

4. Электронный инвариант Адамса .

5. Операции Адамса .

Александр двойственность

Александр трюк

Александр трюк производит раздел карты рестрикции , Top , обозначающее гомеоморфизм группы ; а именно, сечение задается отправкой гомеоморфизма гомеоморфизму ${\ displaystyle \ operatorname {Top} (D ^ {n + 1}) \ to \ operatorname {Top} (S ^ {n})}$${\ displaystyle f: S ^ {n} \ к S ^ {n}}$

${\ displaystyle {\ widetilde {f}}: D ^ {n + 1} \ к D ^ {n + 1}, \, 0 \ mapsto 0,0 \ neq x \ mapsto | x | f (x / | x |)}$.

Этот раздел фактически является гомотопически инверсным.

Analysis Situs

асферическое пространство

Асферическое пространство

карта сборки

Атья

1.   Майкл Атья .

2.   Двойственность Атьи .

3. Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха .

B

барная конструкция

основанное пространство

Пара ( Х , х ₀ ) , состоящее из пространства X и точки х ₀ в X .

Число Бетти

Гомоморфизм Бокштейна

Борель

Гипотеза Бореля .

Гомологии Бореля – Мура

Теорема Борсука

Ботт

1.   Рауль Ботт .

2. Теорема периодичности Ботта для унитарных групп говорят: .${\ displaystyle \ pi _ {q} U = \ pi _ {q + 2} U, q \ geq 0}$

3. Теорема периодичности Ботта для ортогональных групп говорят: .${\ displaystyle \ pi _ {q} O = \ pi _ {q + 8} O, q \ geq 0}$

Теорема Брауэра о неподвижной точке

Теорема Брауэра о неподвижной точке гласит, что любое отображение имеет неподвижную точку.${\ displaystyle f: D ^ {n} \ to D ^ {n}}$

C

крышка продукта

Когомологии Чеха

Сотовая связь

1. Отображение ƒ: X → Y между комплексами CW является клеточным, если для всех n .${\ displaystyle f (X ^ {n}) \ подмножество Y ^ {n}}$

2. Теорема клеточной аппроксимации утверждает, что каждое отображение между комплексами CW гомотопно клеточному отображению между ними.

3. Клеточные гомологии - это (канонические) гомологии комплекса CW. Обратите внимание, что это относится к комплексам CW, а не к пространствам в целом. Клеточные гомологии хорошо вычислимы; это особенно полезно для пространств с естественными клеточными разложениями, таких как проективные пространства или грассманианы.

цепная гомотопия

Учитывая цепные отображения между цепными комплексами модулей, цепная гомотопия s из f в g - это последовательность гомоморфизмов модулей, удовлетворяющих .${\ displaystyle f, g: (C, d_ {C}) \ to (D, d_ {D})}$ ${\ displaystyle s_ {i}: C_ {i} \ to D_ {i + 1}}$${\ displaystyle f_ {i} -g_ {i} = d_ {D} \ circ s_ {i} + s_ {i-1} \ circ d_ {C}}$

карта цепи

Цепное отображение между цепными комплексами модулей - это последовательность гомоморфизмов модулей , коммутирующая с дифференциалами; то есть .${\ displaystyle f: (C, d_ {C}) \ to (D, d_ {D})}$${\ displaystyle f_ {i}: C_ {i} \ to D_ {i}}$${\ Displaystyle d_ {D} \ circ f_ {i} = f_ {i-1} \ circ d_ {C}}$

цепная гомотопическая эквивалентность

Цепное отображение, являющееся изоморфизмом с точностью до цепной гомотопии; то есть, если ƒ : C → D - цепное отображение, то это цепная гомотопическая эквивалентность, если существует цепное отображение g : D → C такое, что g ƒ и ƒ g цепно гомотопны единичным гомоморфизмам на C и D , соответственно.

смена волокна

Изменение волокна расслоения р является гомотопической эквивалентностью, вплоть до гомотопности, между волокнами р индуцированных путем в основании.

разнообразие персонажей

Характер разнообразие из группы я и алгебраическая группа G (например, восстановительная комплексная группы Ли) является геометрической теория инвариантов фактора на G :

${\ displaystyle {\ mathcal {X}} (\ pi, G) = \ operatorname {Hom} (\ pi, G) / \! / G}$.

характеристический класс

Пусть Vect ( X ) множество классов изоморфных векторных расслоений на X . Мы можем рассматривать как контравариантный функтор от Top до Set , отправив карту ƒ: X → Y в обратный ход ƒ ^* вдоль него. Тогда характеристический класс - это естественное преобразование Vect в функтор когомологий H ^* . Явно каждому векторному расслоению E мы сопоставляем класс когомологий, скажем, c ( E ). Присвоение естественно в том смысле, что ƒ ^* c ( E ) = c (ƒ ^* E ).${\ Displaystyle X \ mapsto \ operatorname {Vect} (X)}$

теория хроматической гомотопии

хроматическая теория гомотопии .

класс

1.   Класс Черна .

2.   Класс Штифеля – Уитни .

классифицирующее пространство

Грубо говоря, классифицирующее пространство - это пространство, представляющее некоторый контравариантный функтор, определенный в категории пространств; например, является классифицирующим пространством в том смысле, что это функтор, который отправляет пространство множеству классов изоморфизма вещественных векторных расслоений на пространстве.${\ displaystyle BU}$${\ displaystyle [-, BU]}$${\ Displaystyle X \ mapsto \ OperatorName {Vect} ^ {\ mathbb {R}} (X)}$

сжимая

кобар спектральная последовательность

кобордизм

1. См. Кобордизм .

2. Кольцо кобордизмов - это кольцо, элементы которого являются классами кобордизмов.

3. См также теорему ч-кобордизм , втор-кобордизме .

кольцо коэффициентов

Если E - кольцевой спектр, то его кольцо коэффициентов - это кольцо .${\ displaystyle \ pi _ {*} E}$

последовательность кофайбер

Последовательность кофибер - это любая последовательность, которая эквивалентна последовательности для некоторого ƒ, где - приведенный конус отображения (называемый кофиберой).${\ displaystyle X {\ overset {f} {\ to}} Y \ to C_ {f}}$${\ displaystyle C_ {f}}$

кофибрантное приближение

кофибрация

Отображение является корасслоением, если оно удовлетворяет свойству: данность и гомотопия такая, что существует гомотопия такая, что . Кослоение инъективно и является гомеоморфизмом своего образа.${\ displaystyle i: от A \ до B}$${\ displaystyle h_ {0}: от B \ до X}$${\ displaystyle g_ {t}: от A \ до X}$${\ displaystyle g_ {0} = h_ {0} \ circ i}$${\ displaystyle h_ {t}: от B \ до X}$${\ displaystyle h_ {t} \ circ i = g_ {t}}$

когерентная гомотопия

согласованность

См. Когерентность (теория гомотопии)

когомотопическая группа

Для основанного пространства X , множество гомотопических классов называются в н -й когомотопическую группу из X .${\ displaystyle [X, S ^ {n}]}$

операция когомологии

завершение

сложный бордизм

комплексно ориентированный

Мультипликативная теория когомологий E является комплексно-ориентированной, если отображение ограничения E ² ( C P ^∞ ) → E ² ( C P ¹ ) сюръективно.

конус

Конус над пространством X есть . Уменьшаются конус получается из уменьшенного цилиндра стягивания сверху.${\ Displaystyle CX = Х \ раз I / X \ раз \ {0 \}}$ ${\ Displaystyle X \ клин I _ {+}}$

соединительный

Спектр E является связным, если для всех отрицательных чисел q .${\ displaystyle \ pi _ {q} E = 0}$

конфигурационное пространство

постоянный

Постоянный пучок на пространстве X является пучком на X таких , что для некоторого множества A и некоторой карты , естественное отображение взаимно однозначно для любых х в X .${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle A \ to {\ mathcal {F}} (X)}$${\ displaystyle A \ to {\ mathcal {F}} (X) \ to {\ mathcal {F}} _ {x}}$

непрерывный

Непрерывные когомологии .

сжимаемое пространство

Пространство стягиваемо, если тождественное отображение на пространстве гомотопно постоянному отображению.

покрытие

1. Отображение р : Y → X представляет собой покрытие или покрытие на карте , если каждая точка х имеет окрестность N , которая равномерно покрыта с помощью р ; это означает, что прообраз N является несвязным объединением открытых множеств, каждое из которых гомеоморфно отображается в N.

2. Он n -листный, если в каждом слое p ⁻¹ ( x ) ровно n элементов.

3. Он универсален, если Y односвязен.

4. Морфизмом покрытия представляет собой карту над X . В частности, автоморфизм покрытия p : Y → X (также называемый преобразованием колоды ) - это отображение Y → Y над X , имеющее обратное; т.е. гомеоморфизм над X .

5. G накрытие является покрытие , вытекающим из действия группы на пространстве X группы G , покрытие карты является фактор - отображением из X в пространстве орбит X / G . Это понятие используется для утверждения универсального свойства: если X допускает универсальное покрытие (в частности, связное), то

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (\ pi _ {1} (X, x_ {0}), G)}$- множество классов изоморфизма G -покрытий.

В частности, если G абелева, то левая часть (ср. Неабелевы когомологии ).${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (\ pi _ {1} (X, x_ {0}), G) = \ operatorname {H} ^ {1} (X; G)}$

чашка продукта

CW комплекс

Комплекс CW - это пространство X, оснащенное конструкцией CW; т.е. фильтрация

${\ displaystyle X ^ {0} \ subset X ^ {1} \ subset X ^ {2} \ subset \ cdots \ subset X}$

такой, что (1) X ⁰ является дискретным и (2) X ⁿ получается из X ^{n -1} путем присоединения n -элементов.

циклическая гомология

D

преобразование колоды

Другой термин для автоморфизма покрытия.

Когомологии Делиня – Бейлинсона

Когомологии Делиня – Бейлинсона

разворот

цикл вырождения

степень

E

Аргумент Экмана – Хилтона

Экман-Хилтон аргумент .

Двойственность Экмана – Хилтона

Пространства Эйленберга – Маклейна

Для абелевой группы π пространства Эйленберга – Маклейна характеризуются ${\ Displaystyle К (\ пи, п)}$

${\ displaystyle \ pi _ {q} K (\ pi, n) = {\ begin {case} \ pi & {\ text {if}} q = n \\ 0 & {\ text {else}} \ end {case }}}$.

Аксиомы Эйленберга – Стинрода

В аксиомах Стинрода-Эйленберг представляют собой набор аксиом , что любая теория когомологий ( в единственном числе, сотовый и т.д.) должна удовлетворять. Ослабление аксиом (а именно отказ от аксиомы размерности) приводит к обобщенной теории когомологий .

Теорема Эйленберга – Зильбера.

Е _п алгебра

эквивариантная алгебраическая топология

Эквивариантная алгебраическая топология - это изучение пространств с (непрерывным) групповым действием .

точный

Последовательность заостренных множеств является точной , если образом F совпадает с прообразом выбранной точки Z .${\ displaystyle X {\ overset {f} {\ to}} Y {\ overset {g} {\ to}} Z}$

иссечение

Иссечение аксиома гомологии говорит: если и , то для каждого ц , ${\ Displaystyle U \ подмножество X}$${\ displaystyle {\ overline {U}} \ subset \ operatorname {int} (A)}$

${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {q} (XU, AU) \ to \ operatorname {H} _ {q} (X, A)}$

является изоморфизмом.

эксцизивная пара / триада

F

гомология факторизации

послойно-гомотопическая эквивалентность

Учитывая , D → B , E → B , карта ƒ: D → Е над В представляет собой волоконно-гомотопическую эквивалентность , если он обратит с точностью до гомотопии над B . Основной факт состоит в том, что если D → B , E → B - расслоения, то гомотопическая эквивалентность из D в E является послойной гомотопической эквивалентностью.

расслоение

Отображение р : Е → B является расслоением , если для любой заданной гомотопности и карт таким образом, что существует гомотопия такой , что . (Вышеупомянутое свойство называется свойством гомотопического подъема .) Покрывающее отображение является основным примером расслоения.${\ displaystyle g_ {t}: от X \ до B}$${\ displaystyle h_ {0}: от X \ до E}$${\ displaystyle p \ circ h_ {0} = g_ {0}}$${\ displaystyle h_ {t}: от X \ до E}$${\ displaystyle p \ circ h_ {t} = g_ {t}}$

последовательность расслоений

Говорят , что последовательность расслоений означает, что p является расслоением и что F гомотопически эквивалентен гомотопическому слою p с некоторым пониманием базовых точек.${\ displaystyle F \ to X {\ overset {p} {\ to}} B}$

конечно доминируемый

фундаментальный класс

фундаментальная группа

Фундаментальная группа из пространства X с базовой точкой х ₀ является группой гомотопических классов петель при х ₀ . Это в точности первая гомотопическая группа в ( X , x ₀ ) и поэтому обозначается через .${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$

фундаментальный группоид

Фундаментальный группоид космического X является категорией, объекты которой являются точками X и морфизмы х → у являются гомотопическими классами путей от й до у ; таким образом, множество всех морфизмов от объекта x ₀ к самому себе является, по определению, основной группой .${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$

бесплатно

Синоним необоснованного. Так , например, длина свободного пробега пространство из пространства X обозначает пространство всех отображений из I в X ; то есть, в то время как пространство путей базового пространства X состоит из таких карт, которые сохраняют базовую точку (т. е. 0 идет в базовую точку X ).${\ displaystyle X ^ {I}}$

Теорема Фрейденталя о подвеске

Для невырожденно на основе пространства X , то Фройденталь подвеска теорема говорит: если Х представляет собой ( п -1) -связным, затем суспензию гомоморфизм

${\ displaystyle \ pi _ {q} X \ to \ pi _ {q + 1} \ Sigma X}$

биективен при q <2 n - 1 и сюръективен, если q = 2 n - 1.

грамм

G-расслоение

G-расслоение с некоторой топологической моноиде G . Примером может служить расслоение пространства путей Мура .

Γ-пространство

обобщенная теория когомологий

Обобщенная теория когомологий контравариантный функтор из категории пар пространств в категорию абелевых групп, удовлетворяет весь Эйленберг-Эйленберг , кроме аксиомы размерности.

гипотеза геометризации

гипотеза геометризации

род

групповое завершение

группа

H-пространство X называется групповым или группообразным, если является группой ; т.е. X удовлетворяет групповым аксиомам с точностью до гомотопии.${\ displaystyle \ pi _ {0} X}$

Последовательность гизина

ЧАС

h-кобордизм

h-кобордизм .

Теорема Хилтона – Милнора.

Теорема Хилтона – Милнора .

H-пространство

Н-пространство является пространством , которое основано является унитальной магмой до гомотопии.

гомолог

Два цикла гомологичны, если они принадлежат одному и тому же классу гомологий.

гомотопическая категория

Пусть C - подкатегория категории всех пространств. Тогда гомотопическая категория из C является категория, класс объектов , так же , как класс объектов С , но множество морфизмов из объекта х к объекту у называется множество гомотопических классов морфизмов из х в у в C . Например, отображение является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно является изоморфизмом в гомотопической категории.

гомотопический копредел

гомотопия над пространством B

Гомотопией ч _т таким образом, что при каждом фиксированном т , ч _т представляет собой карту над B .

гомотопическая эквивалентность

1. Отображение ƒ: X → Y является гомотопической эквивалентностью, если оно обратимо с точностью до гомотопии; то есть, существует отображение г: Y → X такое , что г ∘ ƒ гомотопной й тождественное отображение на X и ƒ ∘ г гомотопно тождественным отображением на Y .

2. Два пространства называются гомотопически эквивалентными, если между ними существует гомотопическая эквивалентность. Например, по определению пространство стягиваемо, если оно гомотопически эквивалентно точечному пространству .

гомотопическая теорема об удалении

Теорема о гомотопическом вырезании заменяет отказ от удаления для гомотопических групп.

гомотопическое волокно

Гомотопическое волокно из карты на основе ƒ: X → Y , обозначит через F ƒ, является поднятием вдоль F .${\ Displaystyle PY \ к Y, \, \ чи \ mapsto \ чи (1)}$

гомотопический волокнистый продукт

Волокнистый продукт - это своего рода ограничение . Замена этого предела lim на гомотопический предел holim дает гомотопическое расслоенное произведение .

гомотопическая группа

1. Пусть для базисного пространства X - множество гомотопических классов базисных отображений. Тогда это множество линейно связных компонент X , является фундаментальной группой X , и являются (высшие) п -й гомотопические группы из X .${\ displaystyle \ pi _ {n} X = [S ^ {n}, X]}$${\ displaystyle \ pi _ {0} X}$${\ displaystyle \ pi _ {1} X}$${\ displaystyle \ pi _ {n} X, \, n \ geq 2}$

2. Для пространств на основе , то относительная гомотопическая группа определяется как часть пространства путей , что все начало в базовой точке X и конечного где - то в A . Эквивалентно, это гомотопическое волокно .${\ Displaystyle A \ подмножество X}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {п} (Х, А)}$${\ displaystyle \ pi _ {n-1}}$${\ displaystyle \ pi _ {n-1}}$${\ Displaystyle A \ hookrightarrow X}$

3. Если E - спектр, то${\ displaystyle \ pi _ {k} E = \ varinjlim _ {n} \ pi _ {k + n} E_ {n}.}$

4. Если Х представляет собой основанное пространство, то устойчива к -й гомотопической группой из X является . Другими словами, это K -го Гомотопический группа подвески спектра X .${\ displaystyle \ pi _ {k} ^ {s} X = \ varinjlim _ {n} \ pi _ {k + n} \ Sigma ^ {n} X}$

гомотопический фактор

Если G является группой Ли , действующая на многообразии X , то фактор - пространство называется гомотопическим фактор (или Борель строительство) X на G , где EG является универсальным расслоением G .${\ Displaystyle (например, \ раз X) / G}$

гомотопическая спектральная последовательность

гомотопическая сфера

Хопф

1.   Хайнц Хопф .

2.   Инвариант Хопфа .

3. Теорема Хопфа об индексе .

4.   Конструкция Хопфа .

Hurewicz

Теорема Гуревича устанавливает связь между гомотопическими группами и группами гомологий.

я

бесконечное пространство цикла

машина с бесконечным циклом

Бесконечный цикл космической машины .

бесконечный картографический телескоп

интеграция вдоль волокна

изотопия

J

J-гомоморфизм

См. J-гомоморфизм .

присоединиться

Объединение базисных пространств X , Y есть${\ Displaystyle X \ звезда Y = \ Sigma (X \ клин Y).}$

K

k -инвариантный

Кан комплекс

См. Комплекс Кан .

Инвариант Кервера

Кервер инвариант .

Кошульская двойственность

Кошульская двойственность .

Формула Кюннета

L

Lazard кольцо

Лазар кольцо L является (большим) коммутативным кольцом вместе с формальной группой законом ƒ , что является универсальным среди все формальных групповых законов в том смысле , что любой формальный группа закон г над коммутативным кольцом R получается с помощью кольцевого гомоморфизма L → R отображение ƒ в g . Согласно теореме Квиллена, это также кольцо коэффициентов комплексного бордизма MU. Spec из L называется пространством модулей формальных групповых законов .

Теорема Лефшеца о неподвижной точке

Теорема Лефшеца о неподвижной точке гласит: для данного конечного симплициального комплекса K и его геометрической реализации X , если отображение не имеет неподвижной точки, то число Лефшеца для f ; это, ${\ displaystyle f: X \ to X}$

${\ displaystyle \ sum _ {0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {q} \ operatorname {tr} (f _ {*}: \ operatorname {H} _ {q} (X) \ to \ operatorname { H} _ {q} (X))}$

равно нулю. Например, это влечет теорему Брауэра о неподвижной точке, поскольку число Лефшеца равно единице при обращении в нуль высших гомологий.${\ displaystyle f: D ^ {n} \ to D ^ {n}}$

пространство объектива

Пространство линзы является фактор - пространством , где есть группа р -х корней из единицы , действующих на единичной сфере пути .${\ displaystyle \ {z \ in \ mathbb {C} ^ {n} || z | = 1 \} / \ mu _ {p}}$${\ displaystyle \ mu _ {p}}$${\ displaystyle \ zeta \ cdot (z_ {1}, \ dots, z_ {n}) = (\ zeta z_ {1}, \ dots, \ zeta z_ {n})}$

Спектральная последовательность Лере

местный коэффициент

1. Модуль над групповым кольцом для некоторого базисного пространства B ; другими словами, абелева группа вместе с гомоморфизмом .${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ pi _ {1} B]}$${\ displaystyle \ pi _ {1} B \ to \ operatorname {Aut} (A)}$

2. локальная система коэффициентов над на основе пространства B с абелевой группы A является расслоением над B с дискретным слоем A . Если B допускает универсальное покрытие , то это значение совпадает со значением 1. в том смысле, что каждая локальная система коэффициентов над B может быть задана как ассоциированное расслоение .${\ displaystyle {\ widetilde {B}}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {B}} \ times _ {\ pi _ {1} B} A}$

местная сфера

Локализация сферы на некотором простом числе

локализация

локально постоянный пучок

Локально постоянный пучок на пространстве X является пучком таким образом, что каждая точка X имеет открытую окрестность , на которой пучок является постоянным .

пространство петли

Пространство петель , взятый из пространства X есть пространство всех петель , начиная и заканчивая в базовой точке X .${\ displaystyle \ Omega X}$

M

Теорема Мадсена – Вейсса

отображение

1.  

Отображение конус отображения ƒ: X → Y получается склеиванием конус над X к Y .

Отображение конуса (или cofiber) отображения ƒ: X → Y является .${\ displaystyle C_ {f} = Y \ cup _ {f} CX}$

2. Цилиндр отображения отображения ƒ: X → Y есть . Примечание: .${\ displaystyle M_ {f} = Y \ cup _ {f} (X \ times I)}$${\ displaystyle C_ {f} = M_ {f} / (X \ times \ {0 \})}$

3. Уменьшенные версии вышеупомянутого получены за счет использования уменьшенного конуса и уменьшенного цилиндра.

4. Пространство путей отображения P _p отображения p : E → B - это обратный образ вдоль p . Если p расслоение, то естественное отображение E → P _p является послойной гомотопической эквивалентностью ; таким образом, грубо говоря, можно заменить E пространством путей отображения без изменения гомотопического типа слоя.${\ displaystyle B ^ {I} \ to B}$

Последовательность Майера – Виеториса

категория модели

Представление ∞-категории . См. Также категорию модели .

Пространство Мура

мультипликативный

Обобщенная теория когомологий Е является мультипликативным , если Е ^* ( X ) является градуированным кольцом . Например, обычная теория когомологий и комплекс K -теории мультипликативны (на самом деле, теории когомологий определены E _∞ -кольца мультипликативны.)

N

n- ячейка

Другой термин для n -диска.

n -связанный

Базовое пространство X является n -связным, если для всех целых чисел q ≤ n . Например, «1-связное» - это то же самое, что « односвязное ».${\ displaystyle \ pi _ {q} X = 0}$

n -эквивалентный

NDR-пара

Пара пространств называется быть НДР-пара (= окрестность деформации отводной пара) , если существует отображение и гомотопия таким образом, что , , и . Если A - замкнутое подпространство X , то пара является NDR-парой тогда и только тогда, когда является кофибрированием .${\ Displaystyle A \ подмножество X}$${\ displaystyle u: от X \ до I}$${\ displaystyle h_ {t}: от X \ до X}$${\ Displaystyle А = и ^ {- 1} (0)}$${\ displaystyle h_ {0} = \ operatorname {id} _ {X}}$${\ displaystyle h_ {t} | _ {A} = \ operatorname {id} _ {A}}$${\ displaystyle h_ {1} (\ {x | u (x) <1 \}) \ подмножество A}$
${\ Displaystyle A \ подмножество X}$${\ Displaystyle A \ hookrightarrow X}$

нильпотентный

1.   нильпотентное пространство ; например, односвязное пространство нильпотентно.

2. Теорема о нильпотентности .

неабелевский

1.   неабелевы когомологии

2.   неабелева алгебраическая топология

нормализованный

Учитывая симплициальные группы G , то нормализованный цепной комплекс NG из G задаются с п -й дифференциала , заданным ; интуитивно выбрасываются вырожденные цепи. Его еще называют комплексом Мура .${\ displaystyle (NG) _ {n} = \ cap _ {1} ^ {\ infty} \ operatorname {ker} d_ {i} ^ {n}}$${\ displaystyle d_ {0} ^ {n}}$

О

обструктивный коцикл

теория препятствий

Теория препятствий - это совокупность конструкций и вычислений, указывающих, когда какое-либо отображение на подмногообразии (подкомплексе) может или не может быть расширено до полного многообразия. Обычно это башня Постникова , убивающие гомотопические группы , коциклы препятствий и т. Д.

конечного типа

Комплекс CW имеет конечный тип, если в каждом измерении есть только конечное число клеток.

операда

Портмоне «операций» и «монады». Смотрите операду .

категория орбиты

ориентация

1. Ориентационное покрытие (или ориентационное двойное покрытие) многообразия - это двулистное покрытие, так что каждый слой над x соответствует двум различным способам ориентирования окрестности x .

2. Ориентация многообразия - это сечение ориентационного покрытия; т.е. последовательный выбор точки в каждом волокне.

3. Характер ориентации (также называемый первым классом Штифеля – Уитни ) - это гомоморфизм группы, который соответствует ориентационному покрытию многообразия X (см. #Covering .)${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0}) \ to \ {\ pm 1 \}}$

4. См. Также ориентацию векторного расслоения и ориентационного пучка .

п

p -адическая теория гомотопий

Теория p -адической гомотопии .

класс пути

Класс эквивалентности путей (два пути эквивалентны, если они гомотопны друг другу).

подъем пути

Функция путь подъема для отображения р : Е → B является сечением , где это отображение пространство путей из р . Например, покрытие - это расслоение с уникальной функцией подъема пути. Формально, карта является расслоением тогда и только тогда, когда для нее существует функция подъема пути.${\ displaystyle E ^ {I} \ к P_ {p}}$${\ displaystyle P_ {p}}$

пространство пути

Путь пространство , взятый из пространства X является пространством карт на основе, где базовая точка I = 0. Положит по - другому, это (теоретико-множественный) слой над базовой точкой X . Проекция называется расслоением пространства путей , слой которого над базовой точкой X является пространством петель . См. Также сопоставление пространства пути .${\ displaystyle PX = \ operatorname {Map} (I, X)}$${\ displaystyle X ^ {I} \ to X, \, \ chi \ mapsto \ chi (0)}$${\ Displaystyle PX \ к X, \, \ чи \ mapsto \ чи (1)}$${\ displaystyle \ Omega X}$

фантомная карта

Пуанкаре

1. Теорема двойственности Пуанкаре гласит: для данного многообразия M размерности n и абелевой группы A существует естественный изоморфизм

${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {c} ^ {*} (M; A) \ simeq \ operatorname {H} _ {n - *} (M; A)}$.

2.   Гипотеза Пуанкаре.

Конструкция Понтрягина – Тома.

Система Постникова

Система Постникова - это последовательность расслоений, такая, что все предшествующие многообразия имеют исчезающие гомотопические группы ниже заданной размерности.

главное расслоение

Обычно синонимичен с G- волокном .

проклятый

теория проконечной гомотопии ; он изучает бесконечные пространства .

правильно прерывистый

Не особо точный термин. Но это может означать, например, что G дискретна и каждая точка G -пространства имеет такую ​​окрестность V , что для каждого g в G , не являющегося единичным элементом, gV пересекает V в конечном числе точек.

откат

Учитывая , отображение р : E → B , тем откат из р вдоль ƒ : X → B является пространством (кратко это эквалайзер из р и е ). Это пространство над X через проекцию.${\ displaystyle f ^ {*} E = \ {(e, x) \ in E \ times X | p (e) = f (x) \}}$

Последовательность кукол

Последовательность Puppe относится к любой из последовательностей

${\ displaystyle X {\ overset {f} {\ to}} Y \ to C_ {f} \ to \ Sigma X \ to \ Sigma Y \ to \ cdots,}$

${\ displaystyle \ cdots \ to \ Omega X \ to \ Omega Y \ to F_ {f} \ to X {\ overset {f} {\ to}} Y}$

где - гомотопический кофайбер и гомотопический слой f .${\ displaystyle C_ {f}, F_ {f}}$

выталкивание

Учитывая , и карту , то Кодекартов Квадрат из X и B по F является ${\ Displaystyle A \ подмножество B}$${\ displaystyle f: от A \ до X}$

${\ Displaystyle X \ чашка _ {f} B = X \ sqcup B / (a ​​\ sim f (a))}$;

то есть X и B склеены вдоль A через f . Карта f обычно называется присоединяющей картой.

Важный пример - это когда B = D ⁿ , A = S ^{n -1} ; в этом случае, образуя такой Кодекартов Квадрат называется прикрепление п -клетка (означающее п -дисков) к X .

Q

квази-расслоение

Квази-расслоением является отображением таким образом, что волокна гомотопически эквивалентны друг другу.

Quillen

1.   Дэниел Квиллен

2. Теорема Квиллена утверждает, что это кольцо Лазара .${\ displaystyle \ pi _ {*} MU}$

р

рациональный

1. Теория рациональной гомотопии .

2. рационализация из пространства X есть, грубо говоря, локализации из X в нуле. Точнее, X ₀ вместе с j : X → X ₀ является рационализацией X, если отображение, индуцированное j, является изоморфизмом векторных пространств и .${\ displaystyle \ pi _ {*} X \ otimes \ mathbb {Q} \ to \ pi _ {*} X_ {0} \ otimes \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ pi _ {*} X_ {0} \ otimes \ mathbb {Q} \ simeq \ pi _ {*} X_ {0}}$

3. Рациональный гомотопический типа из X является слабым гомотопическим типом X ₀ .

регулятор

1.   Регулятор Бореля .

2.   Регулятор Бейлинсона .

Рейдемейстер

Торсион Рейдемейстера .

уменьшенный

Уменьшена суспензия , взятый из пространства X является разбивал продукт . Он связан с функтором цикла тем, что где - пространство цикла.${\ Displaystyle \ Sigma X = X \ клин S ^ {1}}$${\ displaystyle \ operatorname {Map} (\ Sigma X, Y) = \ operatorname {Map} (X, \ Omega Y)}$${\ displaystyle \ Omega Y = \ operatorname {Map} (S ^ {1}, Y)}$

кольцевой спектр

Кольцевой спектр представляет собой спектр, удовлетворяющие аксиомы кольца, либо на носу или до гомотопии. Например, комплексная K-теория - это кольцевой спектр.

S

Самельсон продукт

Серр

1.   Жан-Пьер Серр .

2.   Класс Серра .

3.   Спектральная последовательность Серра .

просто

простая гомотопическая эквивалентность

Отображение ƒ: X → Y между конечными симплициальными комплексами (например, многообразиями) является простой гомотопической эквивалентностью, если оно гомотопно композиции конечного числа элементарных расширений и элементарных коллапсов . Гомотопическая эквивалентность является простой гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда ее кручение Уайтхеда обращается в нуль.

симплициальное приближение

См. Теорему о симплициальном приближении .

симплициальный комплекс

См. Симплициальный комплекс ; основной пример - триангуляция многообразия.

симплициальные гомологии

Симплициальные гомологии является (канонической) гомологии симплициального комплекса. Обратите внимание, что это относится к симплициальным комплексам, а не к пространствам; ср. # особые гомологии .

сигнатурный инвариант

единственное число

1. Учитывая пространство X и абелевой группу я, то особую группу гомологии по X с коэффициентами в π является

${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {*} (X; \ pi) = \ operatorname {H} _ {*} (C _ {*} (X) \ otimes \ pi)}$

где это сингулярный цепной комплекс из X ; то есть п -ю часть степени является свободная абелева группа , порожденная всеми картами из стандартного п симплекс к X . Особые гомологии - это частный случай симплициальных гомологий ; Действительно, для каждого пространства X , существует единственное число Симплициальный комплекс из X , чьи гомологии сингулярных гомологий X .${\ displaystyle C _ {*} (X)}$${\ Displaystyle \ треугольник ^ {п} \ к X}$

2. Функтор сингулярных симплексов - это функтор из категории всех пространств в категорию симплициальных множеств, то есть правый сопряженный к функтору геометрической реализации .${\ displaystyle \ mathbf {Top} \ to s \ mathbf {Set}}$

3. сингулярным Симплициальный комплекс из пространства X представляет собой нормализованное цепной комплекс особой симплекс X .

наклонный продукт

аргумент малого объекта

разбить продукт

Произведение разбиения базисных пространств X , Y равно . Он характеризуется сопряженным соотношением ${\ Displaystyle X \ клин Y = X \ раз Y / X \ vee Y}$

${\ displaystyle \ operatorname {Map} (X \ wedge Y, Z) = \ operatorname {Map} (X, \ operatorname {Map} (Y, Z))}$.

Спаниер – Уайтхед

Spanier-Уайтхед двойственности .

спектр

Примерно последовательность пространств вместе с отображениями (называемыми структурными картами) между последовательными терминами; см. спектр (топологию) .

связка сфер

Сфера расслоение является расслоением, слои которого являются сферами.

сферический спектр

Спектр сфера представляет собой спектр , состоящий из последовательности сфер вместе с картами между сферами заданных суспензий. Короче говоря, это подвеска спектр из .${\ displaystyle S ^ {0}, S ^ {1}, S ^ {2}, S ^ {3}, \ dots}$${\ displaystyle S ^ {0}}$

стабильная гомотопическая группа

См. #Homotopy group .

Гомологии Стинрода

Гомологии Стинрода .

Операция Стинрода

Салливан

1.   Деннис Салливан .

2. Гипотеза Салливана .

3.   Инфинитезимальные вычисления в топологии , 1977 г.- вводит рациональную теорию гомотопий (вместе с работой Квиллена).

4. Алгебра Салливана в теории рациональных гомотопий.

спектр подвески

Суспензия спектр , взятый из пространства X является спектр задается .${\ Displaystyle X_ {n} = \ Sigma ^ {n} X}$

симметричный спектр

См. Симметричный спектр .

Т

Том

1.   Рене Том .

2. Если Е является векторным расслоением на паракомпакте X , то пространство Тома из Е получают сначала путем замены каждого волокна его компактификацией , а затем разрушается базовый X .${\ displaystyle {\ text {Th}} (E)}$

3. Изоморфизм Тома говорит: для каждого ориентируемого векторного расслоения Е ранга п на многообразии X , выбор ориентации ( класса Тома из Е ) индуцирует изоморфизм

${\ displaystyle {\ widetilde {\ operatorname {H}}} ^ {* + n} ({\ text {Th}} (E); \ mathbb {Z}) \ simeq \ operatorname {H} ^ {*} ( X; \ mathbb {Z})}$.

топологические киральные гомологии

перевод

проступок

U

универсальный коэффициент

Теорема об универсальном коэффициенте .

до гомотопии

Утверждение верно в гомотопической категории в отличие от категории пространств.

V

ван Кампен

Теорема ван Кампена гласит: если пространство X линейно связно и если x ₀ - точка в X , то

${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0}) = \ varinjlim \ pi _ {1} (U, x_ {0})}$

где копредел пробегает некоторое открытое покрытие X, состоящее из линейно связных открытых подмножеств, содержащих x _0, таких, что покрытие замкнуто относительно конечных пересечений.

W

Вальдхаузен S-конструкция

Вальдхаузен S-конструкция .

Препятствие конечности стены

слабая эквивалентность

Отображение базисных пространств based : X → Y является слабой эквивалентностью, если для каждого q индуцированное отображение биективно.${\ displaystyle f _ {*}: \ pi _ {q} X \ to \ pi _ {q} Y}$

клин

На основе пространств X , Y , то клин продукт из X и Y представляет собой копроизведение из X и Y ; конкретно, это получается путем взятия их непересекающегося объединения и последующего определения соответствующих базовых точек.${\ Displaystyle X \ клин Y}$

хорошо заостренный

Базисное пространство хорошо остроконечное (или невырожденное базирующееся), если включение базовой точки является корасслоением.

Уайтхед

1.   Дж . Х. К. Уайтхед .

2.   Теорема Уайтхед утверждает , что для CW комплексов , то гомотопическая эквивалентность это то же самое , как слабая эквивалентность .

3.   Группа Уайтхеда .

4.   Продукт от белых угрей .

номер намотки

Заметки

Рекомендации

• Адамс, Дж. Ф. (1974). Стабильная гомотопия и обобщенные гомологии . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-00524-9.
• Адамс, Дж. Ф. (1978). Бесконечные петли . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08206-5.
• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Springer, ISBN 0-387-90613-4
• Боусфилд, AK; Кан, Д.М. (1987), Пределы гомотопий, пополнения и локализации , Лекционные заметки по математике, 304 , Springer, ISBN 9783540061052
• Дэвис, Джеймс Ф .; Кирк, Пол. «Конспект лекций по алгебраической топологии» (PDF) .
• Фултон, Уильям (2013). Алгебраическая топология: первый курс . Springer. ISBN 978-1-4612-4180-5.
• Хэтчер, Аллен. «Алгебраическая топология» .
• Гесс, Кэтрин (28 апреля 2006 г.). «Рациональная теория гомотопий: краткое введение» . arXiv : math / 0604626 . Bibcode : 2006math ...... 4626H . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
• "алгебраическая топология" (PDF) . Осень 2010 г. Лекции Майкла Хопкинса и заметки Ахила Мэтью, Гарвард.
• Лурье, Дж. (2015). "Алгебраическая K-теория и топология многообразий" . Математика 281 . Гарвардский университет.
• Лурье, Дж. (2011). «Теория хроматической гомотопии» . 252x . Гарвардский университет.
• Мэй, Дж. «Краткий курс алгебраической топологии» (PDF) .
• May, J .; Понто, К. «Более сжатая алгебраическая топология: локализация, завершение и категории моделей» (PDF) .
• Может; Сигурдссон. "Параметризованная теория гомотопий" (PDF) . (несмотря на название, он содержит значительное количество общих результатов.)
• Салливан, Деннис . «Геометрическая топология» (PDF) . заметки MIT 1970 г.
• Уайтхед, Джордж Уильям (1978). Элементы теории гомотопии . Тексты для выпускников по математике. 61 (3-е изд.). Springer-Verlag. С. xxi + 744. ISBN 978-0-387-90336-1. Руководство по ремонту  0516508 .
• Викельгрен, Кирстен Грэм. "8803 Стабильная теория гомотопии" .

дальнейшее чтение

• Хосе И. Бургос Хиль, Регуляторы Бейлинсона и Бореля

Внешние ссылки

• Алгебраическая топология: справочник по литературе