Функция Гимеля - Gimel function

В аксиоматической теории множеств , то функция гимель является следующим отображением функции числительные в числа:

где cf обозначает функцию конфинальности ; функция гимель используется для изучения функции континуума и кардинальное возведения в степень функции. Этот символ представляет собой засечку еврейской буквы гимель .

Значения функции гимель

Функция gimel обладает свойством для всех бесконечных кардиналов κ по теореме Кенига .

Для обычных кардиналов , и теорема Истона говорит, что мы мало знаем о значениях этой функции. Для особых , верхних границ для можно найти из Салы «s теории PCF .

Гипотеза гимела

Гипотеза Гимела утверждает, что . По сути, это означает, что для сингулярного - это наименьшее значение, допускаемое аксиомами теории множеств Цермело – Френкеля (при условии согласованности).

В соответствии с этой гипотезой кардинальное возведение в степень упрощается, хотя и не до степени гипотезы континуума (которая подразумевает гипотезу Гимеля).

Сведение функции возведения в степень к функции гимела

Буковский (1965) показал, что все кардинальное возведение в степень определяется (рекурсивно) функцией Гимеля следующим образом.

  • Если κ - бесконечный регулярный кардинал (в частности, любой бесконечный последователь), то
  • Если κ бесконечно и сингулярно, а функция континуума в конечном итоге постоянна ниже κ, то
  • Если κ является пределом и функция континуума в конечном итоге не является постоянной ниже κ, то

Остальные правила выполняются, когда κ и 𝜆 бесконечны:

  • Если 0κλ, то κ λ = 2 λ
  • Если μ λκ для некоторого μ < κ, то κ λ = μ λ
  • Если κ > λ и μ λ < κ для всех μ < κ и cf ( κ ) ≤ λ, то κ λ = κ cf (κ)
  • Если κ > λ и μ λ < κ для всех μ < κ и cf ( κ )> λ, то κ λ = κ

Смотрите также

Рекомендации

  • Буковский, Л. (1965), "Проблема континуума и силы алефов", Комментарий. Математика. Univ. Carolinae , 6 : 181–197, hdl : 10338.dmlcz / 105009 , MR  0183649
  • Jech, Thomas J. (1973), "Свойства функции Гимеля и классификация особых кардиналов" (PDF) , Fund. Математика. , Сборник статей, посвященных Анджею Мостовскому по случаю его шестидесятилетия, I., 81 (1): 57–64, doi : 10.4064 / fm-81-1-57-64 , MR  0389593
  • Томас Джек , Теория множеств , изд. 3-го тысячелетия, 2003 г., Монографии Спрингера по математике, Springer, ISBN  3-540-44085-2 .