Функция Гимеля - Gimel function
В аксиоматической теории множеств , то функция гимель является следующим отображением функции числительные в числа:
где cf обозначает функцию конфинальности ; функция гимель используется для изучения функции континуума и кардинальное возведения в степень функции. Этот символ представляет собой засечку еврейской буквы гимель .
Значения функции гимель
Функция gimel обладает свойством для всех бесконечных кардиналов κ по теореме Кенига .
Для обычных кардиналов , и теорема Истона говорит, что мы мало знаем о значениях этой функции. Для особых , верхних границ для можно найти из Салы «s теории PCF .
Гипотеза гимела
Гипотеза Гимела утверждает, что . По сути, это означает, что для сингулярного - это наименьшее значение, допускаемое аксиомами теории множеств Цермело – Френкеля (при условии согласованности).
В соответствии с этой гипотезой кардинальное возведение в степень упрощается, хотя и не до степени гипотезы континуума (которая подразумевает гипотезу Гимеля).
Сведение функции возведения в степень к функции гимела
Буковский (1965) показал, что все кардинальное возведение в степень определяется (рекурсивно) функцией Гимеля следующим образом.
- Если κ - бесконечный регулярный кардинал (в частности, любой бесконечный последователь), то
- Если κ бесконечно и сингулярно, а функция континуума в конечном итоге постоянна ниже κ, то
- Если κ является пределом и функция континуума в конечном итоге не является постоянной ниже κ, то
Остальные правила выполняются, когда κ и 𝜆 бесконечны:
- Если ℵ 0 ≤ κ ≤ λ, то κ λ = 2 λ
- Если μ λ ≥ κ для некоторого μ < κ, то κ λ = μ λ
- Если κ > λ и μ λ < κ для всех μ < κ и cf ( κ ) ≤ λ, то κ λ = κ cf (κ)
- Если κ > λ и μ λ < κ для всех μ < κ и cf ( κ )> λ, то κ λ = κ
Смотрите также
Рекомендации
- Буковский, Л. (1965), "Проблема континуума и силы алефов", Комментарий. Математика. Univ. Carolinae , 6 : 181–197, hdl : 10338.dmlcz / 105009 , MR 0183649
- Jech, Thomas J. (1973), "Свойства функции Гимеля и классификация особых кардиналов" (PDF) , Fund. Математика. , Сборник статей, посвященных Анджею Мостовскому по случаю его шестидесятилетия, I., 81 (1): 57–64, doi : 10.4064 / fm-81-1-57-64 , MR 0389593
- Томас Джек , Теория множеств , изд. 3-го тысячелетия, 2003 г., Монографии Спрингера по математике, Springer, ISBN 3-540-44085-2 .