Граничный член Гиббонса – Хокинга – Йорка - Gibbons–Hawking–York boundary term

В общей теории относительности , то граничный член Gibbons-Хокинг Йорк это термин , который должны быть добавлены к действию Эйнштейна-Гильберт , когда основной пространственно - временное многообразие имеет границу.

Действие Эйнштейна – Гильберта является основой наиболее элементарного вариационного принципа, из которого могут быть определены полевые уравнения общей теории относительности . Тем не менее, использование действия Эйнштейна-Гильберт целесообразно только тогда , когда основное пространство коллектор будет закрыт , то есть многообразие , которое является одновременно компактным и без краев. В случае, если многообразие имеет границу , действие следует дополнить граничным членом, чтобы вариационный принцип был четко определен. ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ Displaystyle \ partial {\ mathcal {M}}}$

Необходимость такого граничного термина была впервые осознана Йорком, а затем незначительно уточнена Гиббонсом и Хокингом .

Для незамкнутого многообразия подходящим действием является

${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {\ mathrm {EH}} + {\ mathcal {S}} _ {\ mathrm {GHY}} = {\ frac {1} {16 \ pi}} \ int _ {\ mathcal {M}} \ mathrm {d} ^ {4} x \, {\ sqrt {-g}} R + {\ frac {1} {8 \ pi}} \ int _ {\ partial {\ mathcal { M}}} \ mathrm {d} ^ {3} y \, \ epsilon {\ sqrt {h}} K,}$

где - действие Эйнштейна – Гильберта, - граничный член Гиббонса – Хокинга – Йорка, - индуцированная метрика (определения см. ниже) на границе, ее детерминант, - след второй фундаментальной формы , равен где нормаль к пространственноподобна, а нормаль к времениподобна, а - координаты на границе. Варьируя действие по отношению к метрике , при условии выполнения условия ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {\ mathrm {EH}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {\ mathrm {GHY}}}$${\ displaystyle h_ {ab}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle +1}$${\ Displaystyle \ partial {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle -1}$${\ Displaystyle \ partial {\ mathcal {M}}}$${\ Displaystyle у ^ {а}}$${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta}}$

${\ displaystyle \ delta g _ {\ alpha \ beta} {\ big |} _ {\ partial {\ mathcal {M}}} = 0,}$

дает уравнения Эйнштейна ; Добавление граничного члена означает, что при выполнении вариации геометрия границы, закодированной в поперечной метрике , фиксируется (см. раздел ниже). В действии остается неоднозначность с точностью до произвольного функционала индуцированной метрики . ${\ displaystyle h_ {ab}}$${\ displaystyle h_ {ab}}$

Граничный член необходим в гравитационном случае потому , что гравитационная плотность лагранжиана содержит вторые производные метрического тензора. Это нетипичная особенность теорий поля, которые обычно формулируются в терминах лагранжианов, которые включают только первые производные полей, которые нужно варьировать. ${\ displaystyle R}$

Термин GHY желателен, поскольку он обладает рядом других ключевых особенностей. При переходе к гамильтонову формализму необходимо включить член GHY, чтобы воспроизвести правильную энергию Арновитта – Дезера – Миснера ( ADM-энергию ). Этот член необходим, чтобы гарантировать, что интеграл по путям (а-ля Хокинг) для квантовой гравитации имеет правильные композиционные свойства. При вычислении энтропии черной дыры с использованием евклидова полуклассического подхода весь вклад вносит член GHY. Этот термин нашел более недавнее применение в петлевой квантовой гравитации при вычислении амплитуд переходов и амплитуд рассеяния, не зависящих от фона.

Чтобы определить конечное значение действия, может потребоваться вычесть поверхностный член для плоского пространства-времени:

${\ displaystyle S_ {EH} + S_ {GHY, 0} = {\ frac {1} {16 \ pi}} \ int _ {\ mathcal {M}} \ mathrm {d} ^ {4} x \, { \ sqrt {-g}} R + {\ frac {1} {8 \ pi}} \ int _ {\ partial {\ mathcal {M}}} \ mathrm {d} ^ {3} y \, \ epsilon {\ sqrt {h}} K- {1 \ более 8 \ pi} \ int _ {\ partial {\ mathcal {M}}} \ mathrm {d} ^ {3} y \, \ epsilon {\ sqrt {h}} К_ {0},}$

где - внешняя кривизна границы вложенного плоского пространства-времени. Поскольку этот дополнительный член инвариантен относительно вариаций , он не влияет на уравнения поля; как таковой, это называется нединамическим термином. ${\ displaystyle K_ {0}}$${\ displaystyle {\ sqrt {h}}}$${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta}}$

Введение в гиперповерхности

Определение гиперповерхностей

В четырехмерном пространственно-временном многообразии гиперповерхность - это трехмерное подмногообразие, которое может быть времяподобным, пространственноподобным или нулевым.

Конкретную гиперповерхность можно выбрать либо наложив ограничение на координаты ${\ displaystyle \ Sigma}$

${\ Displaystyle е (х ^ {\ альфа}) = 0,}$

или задав параметрические уравнения,

${\ Displaystyle х ^ {\ альфа} = х ^ {\ альфа} (у ^ {а}),}$

где - координаты, присущие гиперповерхности. ${\ Displaystyle у ^ {а} (а = 1,2,3)}$

Например, двумерная сфера в трехмерном евклидовом пространстве может быть описана либо следующим образом:

${\ displaystyle f (x ^ {\ alpha}) = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -r ^ {2} = 0,}$

где - радиус сферы, или ${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle х = р \ грех \ тета \ соз \ фи, \ четырехъядерный у = г \ грех \ тета \ грех \ фи, \ четырехъядерный г = г \ соз \ тета,}$

где и - внутренние координаты. ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$

Гиперповерхностные ортогональные векторные поля

Возьмем метрическое соглашение (-, +, ..., +). Начнем с семейства гиперповерхностей:

${\ Displaystyle е (х ^ {\ альфа}) = С}$

где разные члены семейства соответствуют разным значениям константы . Рассмотрим две соседние точки и с координатами и , соответственно, лежащие на одной гиперповерхности. Затем мы должны сначала заказать ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle х ^ {\ альфа}}$${\ displaystyle x ^ {\ alpha} + dx ^ {\ alpha}}$

${\ displaystyle C = f (x ^ {\ alpha} + dx ^ {\ alpha}) = f (x ^ {\ alpha}) + {\ partial f \ over \ partial x ^ {\ alpha}} dx ^ { \ alpha}.}$

Вычитание из этого уравнения дает ${\ Displaystyle С = е (х ^ {\ альфа})}$

${\ displaystyle {\ partial f \ over \ partial x ^ {\ alpha}} dx ^ {\ alpha} = 0}$

в . Это означает, что это нормально к гиперповерхности. Единичная нормаль может быть введена в случае, если гиперповерхность не равна нулю. Это определяется ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle f _ {, \ alpha}}$${\ displaystyle n _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle n ^ {\ alpha} n _ {\ alpha} \ Equiv \ epsilon = {\ begin {cases} -1 & {\ text {if}} \ Sigma {\ text {is spacelike}} \\ + 1 & {\ текст {if}} \ Sigma {\ text {is timelike}} \ end {case}}}$

и нам нужна эта точка в сторону увеличения . Тогда легко проверить, что дается формулой ${\ Displaystyle п ^ {\ альфа}}$${\ displaystyle f: n ^ {\ alpha} f _ {, \ alpha}> 0}$${\ displaystyle n _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle n _ {\ alpha} = {\ epsilon f _ {, \ alpha} \ over | g ^ {\ alpha \ beta} f _ {, \ alpha} f _ {, \ beta} | ^ {1 \ over 2}} }$

если гиперповерхность либо пространственноподобная, либо времениподобная.

Индуцированная и поперечная метрика

Три вектора

${\ displaystyle e_ {a} ^ {\ alpha} = \ left ({\ partial x ^ {\ alpha} \ over \ partial y ^ {a}} \ right) _ {\ partial {\ mathcal {M}}} \ quad a = 1,2,3}$

касаются гиперповерхности.

Индуцированная метрика - это три-тензор, определяемый формулой ${\ displaystyle h_ {ab}}$

${\ displaystyle h_ {ab} = g _ {\ alpha \ beta} e_ {a} ^ {\ alpha} e_ {b} ^ {\ beta}.}$

Это действует как метрический тензор на гиперповерхности в координатах. Для перемещений, ограниченных гиперповерхностью (чтобы ) ${\ Displaystyle у ^ {а}}$${\ Displaystyle х ^ {\ альфа} = х ^ {\ альфа} (у ^ {а})}$

${\ displaystyle {\ begin {align} ds ^ {2} & = g _ {\ alpha \ beta} dx ^ {\ alpha} dx ^ {\ beta} \\ & = g _ {\ alpha \ beta} \ left ({ \ frac {\ partial x ^ {\ alpha}} {\ partial y ^ {a}}} dy ^ {a} \ right) \ left ({\ frac {\ partial x ^ {\ beta}} {\ partial y ^ {b}}} dy ^ {b} \ right) \\ & = \ left (g _ {\ alpha \ beta} e_ {a} ^ {\ alpha} e_ {b} ^ {\ beta} \ right) dy ^ {a} dy ^ {b} \\ & = h_ {ab} dy ^ {a} dy ^ {b} \ end {выровнено}}}$

Поскольку три вектора касаются гиперповерхности, ${\ displaystyle e_ {1} ^ {\ alpha}, e_ {2} ^ {\ alpha}, e_ {3} ^ {\ alpha}}$

${\ Displaystyle п _ {\ альфа} е_ {а} ^ {\ альфа} = 0}$

где - единичный вектор ( ), нормальный к гиперповерхности. ${\ displaystyle n _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle п _ {\ альфа} п ^ {\ альфа} = \ pm 1}$

Введем так называемую поперечную метрику

${\ displaystyle h _ {\ alpha \ beta} = g _ {\ alpha \ beta} - \ epsilon n _ {\ alpha} n _ {\ beta}.}$

Он изолирует часть метрики, поперечную нормали . ${\ Displaystyle п ^ {\ альфа}}$

Легко видеть, что этот четырехтензорный

${\ displaystyle {h ^ {\ alpha}} _ {\ beta} = {\ delta ^ {\ alpha}} _ {\ beta} - \ epsilon n ^ {\ alpha} n _ {\ beta}}$

проецирует часть четырехвектора, поперечного нормали, как ${\ Displaystyle п ^ {\ альфа}}$

${\ displaystyle {h ^ {\ alpha}} _ {\ beta} n ^ {\ beta} = ({\ delta ^ {\ alpha}} _ {\ beta} - \ epsilon n ^ {\ alpha} n _ {\ beta}) n ^ {\ beta} = (n ^ {\ alpha} - \ epsilon ^ {2} n ^ {\ alpha}) = 0 \ quad {\ text {and}} \; \ mathrm {if} \ quad w ^ {\ alpha} n _ {\ alpha} = 0 \ quad \ mathrm {then} \ quad {h ^ {\ alpha}} _ {\ beta} w ^ {\ beta} = w ^ {\ alpha}. }$

У нас есть

${\ displaystyle h_ {ab} = h _ {\ alpha \ beta} e_ {a} ^ {\ alpha} e_ {b} ^ {\ beta}.}$

Если мы определим как инверсию , легко проверить ${\ displaystyle h ^ {ab}}$${\ displaystyle h_ {ab}}$

${\ displaystyle h ^ {\ alpha \ beta} = h ^ {ab} e_ {a} ^ {\ alpha} e_ {b} ^ {\ beta}}$

где

${\ displaystyle h ^ {\ alpha \ beta} = g ^ {\ alpha \ beta} - \ epsilon n ^ {\ alpha} n ^ {\ beta}.}$

Обратите внимание, что изменение зависит от условия

${\ displaystyle \ delta g _ {\ alpha \ beta} {\ big |} _ {\ partial {\ mathcal {M}}} = 0,}$

означает , что индуцированная метрика on остается фиксированной во время вариации. ${\ displaystyle h_ {ab} = g _ {\ alpha \ beta} e_ {a} ^ {\ alpha} e_ {b} ^ {\ beta}}$${\ Displaystyle \ partial {\ mathcal {M}}}$

О доказательстве основного результата

В следующих подразделах мы сначала вычислим изменение члена Эйнштейна – Гильберта, а затем изменение граничного члена и покажем, что их сумма дает

${\ displaystyle \ delta S_ {TOTAL} = \ delta S_ {EH} + \ delta S_ {GHY} = {\ frac {1} {16 \ pi}} \ int _ {\ mathcal {M}} G _ {\ alpha \ beta} \ delta g ^ {\ alpha \ beta} {\ sqrt {-g}} d ^ {4} x}$

где - тензор Эйнштейна , который дает правильную левую часть уравнений поля Эйнштейна , без космологического члена , который, однако, тривиально включить, заменив на ${\ displaystyle G _ {\ alpha \ beta} = R _ {\ alpha \ beta} - {1 \ over 2} g _ {\ alpha \ beta} R}$${\ displaystyle S_ {EH}}$

${\ displaystyle {1 \ более 16 \ pi} \ int _ {\ mathcal {M}} (R-2 \ Lambda) {\ sqrt {-g}} d ^ {4} x}$

где - космологическая постоянная . ${\ displaystyle \ Lambda}$

В третьем подразделе мы уточняем значение нединамического термина.

Вариация члена Эйнштейна – Гильберта.

Мы будем использовать айдентику

${\ displaystyle \ delta {\ sqrt {-g}} \ Equiv - {1 \ over 2} {\ sqrt {-g}} g _ {\ alpha \ beta} \ delta g ^ {\ alpha \ beta},}$

и идентичность Палатини :

${\ displaystyle \ delta R _ {\ alpha \ beta} \ Equiv \ nabla _ {\ mu} (\ delta \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mu}) - \ nabla _ {\ beta} (\ delta \ Gamma _ {\ alpha \ mu} ^ {\ mu}),}$

которые оба получены в статье о действии Эйнштейна – Гильберта .

Мы рассматриваем вариацию члена Эйнштейна – Гильберта:

${\ displaystyle {\ begin {align} (16 \ pi) \ delta S_ {EH} & = \ int _ {\ mathcal {M}} \ delta \ left (g ^ {\ alpha \ beta} R _ {\ alpha \ beta} {\ sqrt {-g}} \ right) d ^ {4} x \\ & = \ int _ {\ mathcal {M}} \ left (R _ {\ alpha \ beta} {\ sqrt {-g} } \ delta g ^ {\ alpha \ beta} + g ^ {\ alpha \ beta} R _ {\ alpha \ beta} \ delta {\ sqrt {-g}} + {\ sqrt {-g}} g ^ {\ alpha \ beta} \ delta R _ {\ alpha \ beta} \ right) d ^ {4} x \\ & = \ int _ {\ mathcal {M}} \ left (R _ {\ alpha \ beta} - {1 \ более 2} g _ {\ alpha \ beta} R \ right) \ delta g ^ {\ alpha \ beta} {\ sqrt {-g}} d ^ {4} x + \ int _ {\ mathcal {M}} g ^ {\ alpha \ beta} \ delta R _ {\ alpha \ beta} {\ sqrt {-g}} d ^ {4} x. \ end {выравнивается}}}$

Первый член дает нам то, что нам нужно для левой части уравнений поля Эйнштейна. Мы должны учитывать второй срок.

По идентичности Палатини

${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta} \ delta R _ {\ alpha \ beta} = \ delta {V ^ {\ mu}} _ {; \ mu}, \ qquad \ delta V ^ {\ mu} = g ^ {\ alpha \ beta} \ delta \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mu} -g ^ {\ alpha \ mu} \ delta \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ beta}.}$

Нам понадобится теорема Стокса в виде:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ mathcal {M}} {A ^ {\ mu}} _ {; \ mu} {\ sqrt {-g}} d ^ {4} x & = \ int _ {\ mathcal {M}} ({\ sqrt {-g}} A ^ {\ mu}) _ {, \ mu} d ^ {4} x \\ & = \ oint _ {\ partial {\ mathcal { M}}} A ^ {\ mu} d \ Sigma _ {\ mu} \\ & = \ oint _ {\ partial {\ mathcal {M}}} \ epsilon A ^ {\ mu} n _ {\ mu} { \ sqrt {| h |}} d ^ {3} y \ end {выровнено}}}$

где - единица измерения нормали к и , - координаты на границе. И где , где , инвариантный трехмерный элемент объема на гипер поверхности. В нашем конкретном случае берем . ${\ displaystyle n _ {\ mu}}$${\ Displaystyle \ partial _ {\ mathcal {M}}}$${\ Displaystyle \ эпсилон \ эквив п ^ {\ му} п _ {\ му} = \ pm 1}$${\ Displaystyle у ^ {а}}$${\ Displaystyle д \ Сигма _ {\ му} = \ эпсилон п _ {\ му} д \ Сигма}$${\ displaystyle d \ Sigma = | h | ^ {1 \ over 2} d ^ {3} y}$${\ displaystyle h = \ det [h_ {ab}]}$${\ Displaystyle A ^ {\ mu} = \ delta V ^ {\ mu}}$

Теперь оценим на границе , имея в виду, что на . Учитывая это, имеем ${\ displaystyle \ delta V ^ {\ mu} п _ {\ mu}}$${\ Displaystyle \ partial {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle \ partial {\ mathcal {M}}, \ delta g _ {\ alpha \ beta} = 0 = \ delta g ^ {\ alpha \ beta}}$

${\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mu} {\ big |} _ {\ partial {\ mathcal {M}}} = {\ frac {1} {2}} g ^ { \ mu \ nu} (\ delta g _ {\ nu \ alpha, \ beta} + \ delta g _ {\ nu \ beta, \ alpha} - \ delta g _ {\ alpha \ beta, \ nu}).}$

Полезно отметить, что

${\ displaystyle {\ begin {align} g ^ {\ alpha \ mu} \ delta \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ beta} {\ big |} _ {\ partial {\ mathcal {M}}} & = {1 \ более 2} g ^ {\ alpha \ mu} g ^ {\ beta \ nu} (\ delta g _ {\ nu \ alpha, \ beta} + \ delta g _ {\ nu \ beta, \ alpha} - \ delta g _ {\ alpha \ beta, \ nu}) \\ & = {1 \ over 2} g ^ {\ mu \ nu} g ^ {\ alpha \ beta} (\ delta g _ {\ nu \ alpha, \ beta} + \ delta g _ {\ alpha \ beta, \ nu} - \ delta g _ {\ nu \ beta, \ alpha}) \ end {align}}}$

где во второй строке мы поменялись местами вокруг и и используется , что метрика является симметричным. Тогда это не сложно . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ delta V ^ {\ mu} = g ^ {\ mu \ nu} g ^ {\ alpha \ beta} (\ delta g _ {\ nu \ beta, \ alpha} - \ delta g _ {\ alpha \ beta , \ nu})}$

А сейчас

${\ displaystyle {\ begin {align} \ delta V ^ {\ mu} n _ {\ mu} {\ big |} _ {\ partial {\ mathcal {M}}} & = n ^ {\ mu} g ^ { \ alpha \ beta} (\ delta g _ {\ mu \ beta, \ alpha} - \ delta g _ {\ alpha \ beta, \ mu}) \\ & = n ^ {\ mu} (\ epsilon n ^ {\ alpha } n ^ {\ beta} + h ^ {\ alpha \ beta}) (\ delta g _ {\ mu \ beta, \ alpha} - \ delta g _ {\ alpha \ beta, \ mu}) \\ & = n ^ {\ mu} h ^ {\ alpha \ beta} (\ delta g _ {\ mu \ beta, \ alpha} - \ delta g _ {\ alpha \ beta, \ mu}) \ end {выравнивается}}}$

где во второй строке мы использовали тождество , а в третьей строке мы использовали антисимметрию в и . Как обращается в нуль всюду на границе ее касательные производные также должны исчезнуть: . Отсюда следует, что . Итак, наконец, у нас есть ${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta} = \ epsilon n ^ {\ alpha} n ^ {\ beta} + h ^ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ delta g _ {\ alpha \ beta}}$${\ Displaystyle \ partial {\ mathcal {M}},}$${\ displaystyle \ delta g _ {\ alpha \ beta, \ gamma} e_ {c} ^ {\ gamma} = 0}$${\ displaystyle h ^ {\ alpha \ beta} \ delta g _ {\ mu \ beta, \ alpha} = h ^ {ab} e_ {a} ^ {\ alpha} e_ {b} ^ {\ beta} \ delta g_ {\ mu \ beta, \ alpha} = 0}$

${\ displaystyle n ^ {\ mu} \ delta V _ {\ mu} {\ big |} _ {\ partial {\ mathcal {M}}} = - h ^ {\ alpha \ beta} \ delta g _ {\ alpha \ бета, \ mu} n ^ {\ mu}.}$

Собирая результаты, получаем

${\ displaystyle (16 \ pi) \ delta S_ {EH} = \ int _ {\ mathcal {M}} G _ {\ alpha \ beta} \ delta g ^ {\ alpha \ beta} {\ sqrt {-g}} d ^ {4} x- \ oint _ {\ partial {\ mathcal {M}}} \ epsilon h ^ {\ alpha \ beta} \ delta g _ {\ alpha \ beta, \ mu} n ^ {\ mu} { \ sqrt {h}} d ^ {3} y \ quad Eq1.}$

Далее мы покажем, что указанный выше граничный член будет отменен вариацией . ${\ displaystyle S_ {GHY}}$

Вариация граничного срока

Теперь обратимся к разновидности термина. Поскольку индуцированная метрика зафиксирована на единственной изменяемой величине, это след внешней кривизны . ${\ displaystyle S_ {GHY}}$${\ Displaystyle \ partial {\ mathcal {M}},}$${\ displaystyle K}$

У нас есть

${\ displaystyle {\ begin {align} K & = {n ^ {\ alpha}} _ {; \ alpha} \\ & = g ^ {\ alpha \ beta} n _ {\ alpha; \ beta} \\ & = \ left (\ epsilon n ^ {\ alpha} n ^ {\ beta} + h ^ {\ alpha \ beta} \ right) n _ {\ alpha; \ beta} \\ & = h ^ {\ alpha \ beta} n_ { \ alpha; \ beta} \\ & = h ^ {\ alpha \ beta} (n _ {\ alpha, \ beta} - \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma} n _ {\ gamma}) \ end {выровнено}}}$

где мы использовали, что подразумевает, что вариация is ${\ Displaystyle 0 = (п ^ {\ альфа} п _ {\ альфа}) _ {; \ бета}}$${\ displaystyle n ^ {\ alpha} n _ {\ alpha; \ beta} = 0.}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ delta K & = - h ^ {\ alpha \ beta} \ delta \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma} n _ {\ gamma} \\ & = - h ^ {\ alpha \ beta} n _ {\ gamma} {\ frac {1} {2}} g ^ {\ gamma \ sigma} \ left (\ delta g _ {\ sigma \ alpha, \ beta} + \ delta g _ {\ sigma \ beta, \ alpha} - \ delta g _ {\ alpha \ beta, \ sigma} \ right) \\ & = - {1 \ over 2} h ^ {\ alpha \ beta} \ left (\ delta g _ {\ mu \ alpha, \ beta} + \ delta g _ {\ mu \ beta, \ alpha} - \ delta g _ {\ alpha \ beta, \ mu} \ right) n ^ {\ mu} \\ & = {\ frac { 1} {2}} h ^ {\ alpha \ beta} \ delta g _ {\ alpha \ beta, \ mu} n ^ {\ mu} \ end {выравнивается}}}$

где мы использовали тот факт, что касательные производные от нуля на. Мы получили ${\ displaystyle \ delta g _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ partial {\ mathcal {M}}.}$

${\ displaystyle (16 \ pi) \ delta S_ {GHY} = \ oint _ {\ partial {\ mathcal {M}}} \ epsilon h ^ {\ alpha \ beta} \ delta g _ {\ alpha \ beta, \ mu } п ^ {\ mu} {\ sqrt {h}} d ^ {3} y}$

который сокращает второй интеграл в правой части уравнения. 1. Полная вариация гравитационного воздействия:

${\ displaystyle \ delta S_ {TOTAL} = {1 \ более 16 \ pi} \ int _ {\ mathcal {M}} G _ {\ alpha \ beta} \ delta g ^ {\ alpha \ beta} {\ sqrt {- g}} d ^ {4} x.}$

Это дает правильную левую часть уравнений Эйнштейна. Это доказывает основной результат.

Этот результат был обобщен на теории гравитации четвертого порядка на многообразиях с границами в 1983 году и опубликован в 1985 году.

Нединамичный термин

Мы подробно остановимся на роли

${\ Displaystyle S_ {0} = {1 \ более 8 \ pi} \ oint _ {\ partial {\ mathcal {M}}} \ epsilon K_ {0} | h | ^ {1 \ over 2} d ^ {3 } y}$

в гравитационном действии. Как уже упоминалось выше, поскольку этот член зависит только от , его изменение по отношению к дает ноль и, таким образом, не влияет на уравнения поля, его цель состоит в том, чтобы изменить числовое значение воздействия. Поэтому мы будем называть его нединамичным термином. ${\ displaystyle h_ {ab}}$${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta}}$

Предположим, что это решение уравнений вакуумного поля, и в этом случае скаляр Риччи обращается в нуль. Численное значение гравитационного воздействия тогда ${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle R}$

${\ Displaystyle S = {1 \ более 8 \ pi} \ oint _ {\ partial {\ mathcal {M}}} \ epsilon K | h | ^ {1 \ over 2} d ^ {3} y,}$

где мы пока игнорируем нединамический член. Давайте оценим это для плоского пространства-времени. Выберите границу, которая будет состоять из двух гиперповерхностей с постоянным значением времени и большого трехцилиндра в точке (то есть произведения конечного интервала и трех сфер радиуса ). Мы имеем на гиперповерхностях постоянного времени. На трех цилиндрах в координатах, присущих гиперповерхности, линейный элемент имеет вид ${\ Displaystyle \ partial {\ mathcal {M}}}$${\ Displaystyle т = т_ {1}, т_ {2}}$${\ displaystyle r = r_ {0}}$${\ displaystyle r_ {0}}$${\ displaystyle K = 0}$

${\ displaystyle {\ begin {align} ds ^ {2} & = - dt ^ {2} + r_ {0} ^ {2} d \ Omega ^ {2} \\ & = - dt ^ {2} + r_ {0} ^ {2} (д \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}) \ end {align}}}$

означает, что индуцированная метрика

${\ displaystyle h_ {ab} = {\ begin {bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & r_ {0} ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & r_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ end {bmatrix} }.}$

так что . Единица нормальная есть , так что . потом ${\ displaystyle | час | ^ {1 \ более 2} = r_ {0} ^ {2} \ sin \ theta}$${\ displaystyle n _ {\ alpha} = \ partial _ {\ alpha} r}$${\ Displaystyle К = {п ^ {\ альфа}} _ {; \ альфа} = 2 / г_ {0}}$

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial {\ mathcal {M}}} \ epsilon K | h | ^ {1 \ over 2} d ^ {3} y = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ { 2}} dt \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ varphi \ int _ {0} ^ {\ pi} d \ theta \ left ({2 \ over r_ {0}} \ right) (r_ {0} ^ {2} \ sin \ theta) = 8 \ pi r_ {0} (t_ {2} -t_ {1})}$

и расходится как , то есть когда пространственная граница раздвигается до бесконечности, даже когда она ограничена двумя гиперповерхностями постоянного времени. Можно было бы ожидать такой же проблемы для искривленных пространств-времени, которые являются асимптотически плоскими (нет проблем, если пространство-время компактно). Эта проблема решается нединамичным термином. Разница будет хорошо выражена в пределе . ${\ displaystyle r_ {0} \ to \ infty}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle S_ {GHY} -S_ {0}}$${\ displaystyle r_ {0} \ to \ infty}$

Вариация модифицированных условий гравитации

Есть много теорий, которые пытаются модифицировать общую теорию относительности различными способами, например, гравитация f (R) заменяет R, скаляр Риччи в действии Эйнштейна – Гильберта, на функцию f (R). Guarnizo et al. нашел граничный член для общей теории f (R). Они обнаружили, что «модифицированное действие в метрическом формализме f (R) гравитации плюс граничный член типа Гиббонса – Йорка – Хокинга должны быть записаны как»:

${\ displaystyle S_ {mod} = {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ int _ {V} d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} f (R) +2 \ int _ { \ partial V} d ^ {3} y \ epsilon | h | f '(R) K}$

где . ${\ Displaystyle F '(R) \ Equiv {\ frac {df (R)} {dR}}}$

Используя разложение ADM и вводя дополнительные вспомогательные поля, в 2009 году Deruelle et al. нашел способ найти граничный член для «теорий гравитации, лагранжиан которых является произвольной функцией тензора Римана». Этот метод можно использовать для нахождения граничных членов GHY для бесконечной производной силы тяжести .

Интегральный подход к квантовой гравитации

Как упоминалось в начале, член GHY требуется, чтобы гарантировать, что интеграл по путям (а-ля Хокинг и др.) Для квантовой гравитации имеет правильные композиционные свойства.

Этот старый подход к интегральной по путям квантовой гравитации имел ряд трудностей и нерешенных проблем. Отправной точкой в ​​этом подходе является идея Фейнмана о том, что можно представить амплитуду

${\ Displaystyle \ langle g_ {2}, \ phi _ {2}, \ Sigma _ {2} | g_ {1}, \ phi _ {1}, \ Sigma _ {1} \ rangle}$

чтобы перейти из состояния с метрическими и полями материи на поверхности в состояние с метрическими и полями материи на поверхности , в виде суммы по всем конфигурациям поля и которые принимают граничные значения полей на поверхности и . Мы пишем ${\ displaystyle g_ {1}}$${\ displaystyle \ phi _ {1}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {1}}$${\ displaystyle g_ {2}}$${\ displaystyle \ phi _ {2}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {2}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ Sigma _ {1}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {2}}$

${\ Displaystyle \ langle g_ {2}, \ phi _ {2}, \ Sigma _ {2} | g_ {1}, \ phi _ {1}, \ Sigma _ {1} \ rangle = \ int {\ mathcal {D}} [g, \ phi] \ exp (iS [g, \ phi])}$

где - мера на пространстве всех конфигураций полей и , - действие полей, а интеграл берется по всем полям, которые имеют заданные значения на и . ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} [г, \ phi]}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle S [г, \ phi]}$${\ displaystyle \ Sigma _ {1}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {2}}$

Утверждается, что нужно только указать трехмерную индуцированную метрику на границе. ${\ displaystyle h}$

Теперь рассмотрим ситуацию, когда человек совершает переход от метрики на поверхности к метрике на поверхности, а затем к метрике на более поздней поверхности. ${\ displaystyle h_ {1}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {1}}$${\ displaystyle h_ {2}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {2}}$${\ displaystyle h_ {3}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {3}}$

Хотелось бы иметь обычное правило композиции

${\ displaystyle \ langle h_ {3}, \ Sigma _ {3} | h_ {1}, \ Sigma _ {1} \ rangle = \ sum _ {h_ {2}} \ langle h_ {3}, \ Sigma _ {3} | h_ {2}, \ Sigma _ {2} \ rangle \ langle h_ {2}, \ Sigma _ {2} | h_ {1}, \ Sigma _ {1} \ rangle}$

выражая, что амплитуда перехода от начального к конечному состоянию должна быть получена путем суммирования по всем состояниям на промежуточной поверхности . ${\ displaystyle \ Sigma _ {2}}$

Позвольте быть метрикой между и и быть метрикой между и . Хотя индуцированная метрика и согласуется , нормальная производная at в общем случае не будет равна производной at . Принимая во внимание последствия этого, затем можно показать, что правило композиции будет выполняться тогда и только тогда, когда мы включим граничный член GHY. ${\ displaystyle g_ {1}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {1}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {2}}$${\ displaystyle g_ {2}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {2}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {3}}$${\ displaystyle g_ {1}}$${\ displaystyle g_ {2}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {2}}$${\ displaystyle g_ {1}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {2}}$${\ displaystyle g_ {2}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {2}}$

В следующем разделе показано, как этот подход к квантовой гравитации с интегралами по траекториям приводит к концепции температуры черной дыры и внутренней квантово-механической энтропии.

Вычисление энтропии черной дыры с использованием евклидова полуклассического подхода

Применение в петлевой квантовой гравитации

Амплитуды переходов и главная функция Гамильтона

В квантовой теории объектом, который соответствует главной функции Гамильтона, является амплитуда перехода . Рассмотрим гравитацию, заданную в компактной области пространства-времени с топологией четырехмерного шара. Граница этой области - трехмерное пространство с топологией трех сфер, которое мы называем . В чистой гравитации без космологической постоянной, поскольку скаляр Риччи обращается в нуль на решениях уравнений Эйнштейна, объемное действие исчезает и главная функция Гамильтона полностью задается в терминах граничного члена, ${\ displaystyle \ Sigma}$

${\ Displaystyle S [q] = \ int _ {\ Sigma} K ^ {ab} [q] q_ {ab} {\ sqrt {q}} \; d ^ {3} \ sigma}$

где - внешняя кривизна границы, - индуцированная на границе трехметрика, - координаты на границе. ${\ displaystyle K ^ {ab}}$${\ displaystyle q_ {ab}}$${\ displaystyle \ sigma}$

Функционал - весьма нетривиальный для вычисления функционал; это потому, что внешняя кривизна определяется объемным решением, выделенным внутренней геометрией границы. Как таковой не является местным. Знание общей зависимости от эквивалентно знанию общего решения уравнений Эйнштейна. ${\ Displaystyle S [q]}$${\ displaystyle K ^ {ab} [q]}$${\ displaystyle K ^ {ab} [q]}$${\ displaystyle K ^ {ab}}$${\ displaystyle q_ {ab}}$

Амплитуды рассеяния, не зависящие от фона

Петлевая квантовая гравитация сформулирована на независимом от фона языке. Никакое пространство-время не предполагается априори, а скорее создается из самих состояний теории - однако амплитуды рассеяния выводятся из -точечных функций ( корреляционная функция (квантовая теория поля) ), а они, сформулированные в традиционной квантовой теории поля, являются функциями точек фонового пространства-времени. Связь между формализмом, не зависящим от фона, и традиционным формализмом квантовой теории поля для данного пространства-времени далеко не очевидна, и далеко не очевидно, как восстановить низкоэнергетические величины из полной независимой от фона теории. Хотелось бы вывести -точечные функции теории из формализма, не зависящего от фона, чтобы сравнить их со стандартным пертурбативным разложением квантовой общей теории относительности и, следовательно, проверить, что петлевая квантовая гравитация дает правильный низкоэнергетический предел. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Предложена стратегия решения этой проблемы; идея состоит в том, чтобы изучить граничную амплитуду или амплитуду перехода компактной области пространства-времени, а именно интеграл по путям в конечной области пространства-времени, рассматриваемый как функцию граничного значения поля. В традиционной квантовой теории поля эта граничная амплитуда четко определена и кодирует физическую информацию теории; это происходит и в квантовой гравитации, но полностью независимым от фона образом. В общем ковариантное определение -точечных функций может быть основано на идее, что расстояние между физическими точками - аргументами -точечной функции определяется состоянием гравитационного поля на границе рассматриваемой области пространства-времени. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Ключевое наблюдение состоит в том, что в гравитации граничные данные включают гравитационное поле, следовательно, геометрию границы и, следовательно, все соответствующие относительные расстояния и временные интервалы. Другими словами, граничная формулировка очень элегантно реализует в квантовом контексте полное отождествление геометрии пространства-времени и динамических полей.

Ноты

Рекомендации

• Йорк, JW (1972). «Роль конформной трех геометрии в динамике гравитации». Письма с физическим обзором . 28 (16): 1082. Bibcode : 1972PhRvL..28.1082Y . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.28.1082 .
• Гиббонс, GW ; Хокинг, SW (1977). «Интегралы действия и статистические суммы в квантовой гравитации». Physical Review D . 15 (10): 2752. Bibcode : 1977PhRvD..15.2752G . DOI : 10.1103 / PhysRevD.15.2752 .
• Хокинг, ЮЗ; Горовиц, Гэри Т. (1996-06-01). «Гравитационный гамильтониан, действие, энтропия и поверхностные термины». Классическая и квантовая гравитация . IOP Publishing. 13 (6): 1487–1498. arXiv : gr-qc / 9501014 . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 13/6/017 . ISSN   0264-9381 .
• Браун, Дж. Дэвид; Йорк, Джеймс У. (1993-02-15). «Микроканонический функциональный интеграл для гравитационного поля». Physical Review D . Американское физическое общество (APS). 47 (4): 1420–1431. arXiv : gr-qc / 9209014 . DOI : 10.1103 / physrevd.47.1420 . ISSN   0556-2821 .