Геометротермодинамика - Geometrothermodynamics

В физике геометротермодинамика (GTD) - это формализм, разработанный в 2007 году Эрнандо Кеведо для описания свойств термодинамических систем в терминах концепций дифференциальной геометрии.

Рассмотрим термодинамическую систему в рамках классической равновесной термодинамики. Состояния термодинамического равновесия рассматриваются как точки абстрактного равновесного пространства, в котором риманова метрика может быть введена несколькими способами. В частности, можно ввести гессенские метрики как информационная метрика Фишера , то метрика Вейнхолда , то метрику Ruppeiner и другие, компоненты которых вычисляются как Гесс конкретного термодинамического потенциала .

Другая возможность - ввести метрики, не зависящие от термодинамического потенциала, свойство, которое присуще всем термодинамическим системам в классической термодинамике. Поскольку изменение термодинамического потенциала эквивалентно преобразованию Лежандра , а преобразования Лежандра не действуют в пространстве равновесия, необходимо ввести вспомогательное пространство для правильной обработки преобразований Лежандра. Это так называемое термодинамическое фазовое пространство. Если фазовое пространство снабжено инвариантной по Лежандру римановой метрикой, можно ввести гладкое отображение, которое индуцирует термодинамическую метрику в равновесном многообразии. Затем термодинамическую метрику можно использовать с различными термодинамическими потенциалами без изменения геометрических свойств равновесного многообразия. Ожидается, что геометрические свойства равновесного многообразия связаны с макроскопическими физическими свойствами.

Детали этого отношения можно резюмировать в трех основных моментах:

1. Кривизна - это мера термодинамического взаимодействия.
2. Особенности кривизны соответствуют фазовым переходам кривизны.
3. Термодинамические геодезические соответствуют квазистатическим процессам.

Геометрические аспекты

Основной ингредиент GTD является (2 п  + 1) мерное многообразие с координатами , где произвольный термодинамический потенциал, , , являются обширные переменные и интенсивные переменные. Также можно каноническим образом ввести фундаментальную одноформу (суммирование по повторяющимся индексам) с , которая удовлетворяет условию , где - число термодинамических степеней свободы системы, и инвариантна относительно преобразований Лежандра ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle Z ^ {A} = \ {\ Phi, E ^ {a}, I ^ {a} \}}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle E ^ {a}}$${\ Displaystyle а = 1,2, \ ldots, п}$${\ displaystyle I ^ {a}}$${\ displaystyle \ Theta = d \ Phi - \ delta _ {ab} I ^ {a} dE ^ {b}}$${\ displaystyle \ delta _ {ab} = {\ rm {diag}} (+ 1, \ ldots, + 1)}$${\ Displaystyle \ Theta \ клин (д \ Theta) ^ {n} \ neq 0}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ {Z ^ {A} \} \ longrightarrow \ {{\ widetilde {Z}} ^ {A} \} = \ {{\ tilde {\ Phi}}, {\ tilde {E}} ^ { a}, {\ tilde {I}} ^ {a} \} \, \ quad \ Phi = {\ tilde {\ Phi}} - \ delta _ {kl} {\ tilde {E}} ^ {k} { \ tilde {I}} ^ {l}, \ quad E ^ {i} = - {\ tilde {I}} ^ {i}, \ quad E ^ {j} = {\ tilde {E}} ^ {j }, \ quad I ^ {i} = {\ tilde {E}} ^ {i}, \ quad I ^ {j} = {\ tilde {I}} ^ {j} \,}$

где - произвольное дизъюнктное разложение множества индексов , и . В частности, для и получаем полное преобразование Лежандра и тождество соответственно. Также предполагается, что в существует метрика, также инвариантная относительно преобразований Лежандра. Триада определяет риманово контактное многообразие, которое называется термодинамическим фазовым пространством (фазовым многообразием). Пространство термодинамических состояний равновесия (равновесное многообразие) является п-мерного риманов Подмногообразия индуцированного гладким отображением , т.е. , с и , таким образом, что имеет место, где есть прообраз . Многообразие естественно наделено римановой метрикой . Цель GTD - продемонстрировать, что геометрические свойства связаны с термодинамическими свойствами системы с фундаментальным термодинамическим уравнением . Условие инвариантности относительно тотальных преобразований Лежандра приводит к метрике ${\ displaystyle i \ cup j}$${\ Displaystyle \ {1, \ ldots, п \}}$${\ Displaystyle к, l = 1, \ ldots, i}$${\ Displaystyle я = \ {1, \ ldots, п \}}$${\ Displaystyle я = \ emptyset}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle ({\ mathcal {T}}, \ Theta, G)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} \ subset {\ mathcal {T}}}$${\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {E}} \ rightarrow {\ mathcal {T}}}$${\ displaystyle \ varphi: \ {E ^ {a} \} \ mapsto \ {\ Phi, E ^ {a}, I ^ {a} \}}$${\ Displaystyle \ Phi = \ Phi (E ^ {a})}$${\ displaystyle I ^ {a} = I ^ {a} (E ^ {a})}$${\ displaystyle \ varphi ^ {*} (\ Theta) = \ varphi ^ {*} (d \ Phi - \ delta _ {ab} I ^ {a} dE ^ {b}) = 0}$${\ displaystyle \ varphi ^ {*}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle g = \ varphi ^ {*} (G)}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ Displaystyle \ Phi = \ Phi (E ^ {a})}$

${\ Displaystyle G ^ {I} = (d \ Phi - \ delta _ {ab} I ^ {a} dE ^ {b}) ^ {2} + \ Lambda \, (\ xi _ {ab} E ^ { a} I ^ {b}) \ left (\ delta _ {cd} dE ^ {c} dI ^ {d} \ right) \, \ quad \ delta _ {ab} = {\ rm {diag}} (1 , \ ldots, 1)}$

${\ Displaystyle G ^ {II} = (d \ Phi - \ delta _ {ab} I ^ {a} dE ^ {b}) ^ {2} + \ Lambda \, (\ xi _ {ab} E ^ { a} I ^ {b}) \ left (\ eta _ {cd} dE ^ {c} dI ^ {d} \ right) \, \ quad \ eta _ {ab} = {\ rm {diag}} (- 1,1, \ ldots, 1)}$

где - постоянная диагональная матрица, которая может быть выражена через и , а - произвольная инвариантная функция Лежандра от . Метрики и использовались для описания термодинамических систем с фазовыми переходами первого и второго рода соответственно. Наиболее общая метрика, инвариантная относительно частичных преобразований Лежандра, - это ${\ displaystyle \ xi _ {ab}}$${\ displaystyle \ delta _ {ab}}$${\ displaystyle \ eta _ {ab}}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle Z ^ {A}}$${\ displaystyle G ^ {I}}$${\ displaystyle G ^ {II}}$

${\ displaystyle G ^ {III} = (d \ Phi - \ delta _ {ab} I ^ {a} dE ^ {b}) ^ {2} + \ Lambda \, (E_ {a} I_ {a}) ^ {2k + 1} \ left (dE ^ {a} dI ^ {a} \ right) \, \ quad E_ {a} = \ delta _ {ab} E ^ {b} \, \ quad I_ {a} = \ delta _ {ab} I ^ {b} \.}$

Компоненты соответствующей метрики равновесного многообразия можно вычислить как ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$

${\ displaystyle g_ {ab} = {\ frac {\ partial Z ^ {A}} {\ partial E ^ {a}}} {\ frac {\ partial Z ^ {B}} {\ partial E ^ {b} }} G_ {AB} \.}$

Приложения

GTD применялась для описания лабораторных систем, таких как идеальный газ, газ Ван-дер-Ваальса, модель Изинга и т. Д., Более экзотических систем, таких как черные дыры в различных теориях гравитации, в контексте релятивистской космологии, а также для описания химических реакций.

использованная литература