Обобщенная коническая - Generalized conic

В математике , А обобщенный конический является геометрическим объект определяется свойством , которое является обобщением сумм , определяющих свойство классической коники . Например, в элементарной геометрии , эллипс может быть определен как локус точки , которая перемещается в плоскости таким образом, чтобы сумма расстояний от двух фиксированных баллов - фокусы - в плоскости является постоянной. Кривая, полученная при замене набора из двух неподвижных точек произвольным, но фиксированным, конечным набором точек на плоскости, называется n- эллипсом и может рассматриваться как обобщенный эллипс. Поскольку эллипс - это эквидистантный набор из двух окружностей, эквидистантный набор из двух произвольных наборов точек на плоскости можно рассматривать как обобщенную конику. В прямоугольных декартовых координатах уравнение y = x ² представляет параболу . Обобщенное уравнение y = x ^r для r ≠ 0 и r ≠ 1 можно рассматривать как определение обобщенной параболы. Идея обобщенного коники нашла применение в теории приближений и теории оптимизации .

Среди нескольких возможных способов обобщения концепции коники наиболее широко используется подход, определяющий ее как обобщение эллипса . Отправной точкой для этого подхода является рассмотрение эллипса как кривой, удовлетворяющей «свойству двух фокусов»: эллипс - это кривая, которая представляет собой геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна. Две точки являются фокусами эллипса. Кривая, полученная заменой набора из двух фиксированных точек произвольным, но фиксированным, конечным набором точек на плоскости, может рассматриваться как обобщенный эллипс. Обобщенные коники с тремя фокусами называются трехфокусными эллипсами. Это может быть далее обобщено на кривые, которые получаются как локусы точек, которые движутся так, что некоторая часть взвешенного среднего арифметического расстояний от конечного набора точек является константой. Дальнейшее обобщение возможно, если предположить, что веса, прикрепленные к расстояниям, могут иметь произвольный знак, а именно плюс или минус. Наконец, ограничение на конечность множества неподвижных точек, называемых множеством фокусов обобщенной коники, также может быть снято. Набор можно считать конечным или бесконечным. В бесконечном случае средневзвешенное арифметическое должно быть заменено соответствующим интегралом. Обобщенные коники в этом смысле также называют polyellipses , egglipses , или, обобщенно эллипсы . Поскольку такие кривые были рассмотрены немецким математиком Эренфридом Вальтером фон Чирнхаусом (1651 - 1708), они также известны как Tschirnhaus'sche Eikurve . Также такие обобщения обсуждались Рене Декартом и Джеймсом Клерком Максвеллом.

Мультифокальные овальные кривые

Построение овала, определяемого AP + 2 BP = c, с использованием булавок, карандаша и веревки, как описано Джеймсом Клерком Максвеллом.

Построение овала, определяемого формулой AP + BP + CP = c, с использованием булавок, карандаша и веревки, как описано Джеймсом Клерком Максвеллом.

Рене Декарт (1596–1650), отец аналитической геометрии, в своей «Геометрии», опубликованной в 1637 году, выделил раздел примерно из 15 страниц, чтобы обсудить то, что он назвал бифокальными эллипсами. Бифокальный овал был определен там как геометрическое место точки P, которая движется в плоскости так, что где A и B - фиксированные точки на плоскости, а λ и c - константы, которые могут быть положительными или отрицательными. Декарт ввел эти овалы, которые теперь известны как декартовы овалы , для определения поверхностей стекла, так что после преломления лучи встречаются в одной и той же точке. Декарт также признал эти овалы как обобщения центральных коник, потому что при определенных значениях λ эти овалы сводятся к знакомым центральным коникам, а именно к окружности, эллипсу или гиперболе. ${\ displaystyle AP + \ lambda BP = c}$

Мультифокальные овалы были заново открыты Джеймсом Клерком Максвеллом (1831–1879), когда он был еще школьником. В молодом возрасте 15 лет Максвелл написал научную статью об этих овалах под названием «Наблюдения за ограниченными фигурами, имеющими множество фокусов и радиусов различных пропорций», и представил ее профессору Дж. Д. Форбсу на заседании Королевского общества. из Эдинбурга в 1846 году. Профессор Дж. Д. Форбс также опубликовал отчет о статье в Трудах Королевского общества Эдинбурга. В своей статье, хотя Максвелл не использовал термин «обобщенная коника», он рассматривал кривые, определяемые условиями, которые были обобщениями определяющего условия эллипса.

Определение

Мультифокальный овал - это кривая, которая определяется как геометрическое место точки, движущейся так, что

${\ displaystyle \ lambda _ {1} A_ {1} P + \ lambda _ {2} A_ {2} P + \ cdots + \ lambda _ {n} A_ {n} P = c}$

где A ₁ , A ₂ ,. . . , _П являются неподвижными точками на плоскости , и Х ₁ , λ ₂ ,. . . , λ _n - фиксированные рациональные числа, а c - постоянная. Он дал простые методы рисования таких овалов.

Метод рисования овала, определяемого уравнением, иллюстрирует общий подход, принятый Максвеллом для рисования таких кривых. Закрепить два штыря в фокусах A и B . Возьмем строку, длина которой с + AB и связать один конец строки к контакту на A . Карандаш прикреплен к другому концу строки , и строка передается вокруг штифта в фокусе B . Затем карандаш перемещается, ориентируясь на конец веревки. Кривой , описываемый карандаш представляет собой геометрическое место P . Его изобретательность более заметна в его описании метода рисования трехфокусного овала, определяемого уравнением формы . Пусть три булавки быть зафиксирована на три фокусов A , B , C . Пусть один конец струны будет закреплен на штифте в точке C, и пусть струна будет проходить вокруг других штифтов. Пусть карандаш будет прикреплен к другому концу веревки. Пусть карандаш поймать бухту в строке между А и С , а затем растянуть P . Карандаш перемещают так, чтобы нить натянулась. Получившаяся фигура будет частью трифокального эллипса. Положение струны, возможно, придется отрегулировать, чтобы получить полный овал. ${\ displaystyle AP + 2BP = c}$${\ displaystyle AP + BP + CP = c}$

В течение двух лет после того, как его статья была представлена ​​Королевскому обществу Эдинбурга, Максвелл систематически развивал геометрические и оптические свойства этих овалов.

Специализация и обобщение подхода Максвелла

В качестве частного случая подхода Максвелла рассмотрим n-эллипс - геометрическое место точки, которая движется так, что выполняется следующее условие:

${\ Displaystyle A_ {1} P + A_ {2} P + \ cdots + A_ {n} P = c. \,}$

Разделив на n и заменив c / n на c , это определяющее условие можно сформулировать как

${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} (A_ {1} P + A_ {2} P + \ cdots + A_ {n} P) = c}$

Это предполагает простую интерпретацию: обобщенная коника - это такая кривая, что среднее расстояние каждой точки P на кривой от множества { A ₁ , A ₂ ,. . . , A _n } имеет то же постоянное значение. Эта формулировка концепции обобщенной коники была дополнительно обобщена несколькими различными способами.

• Измените определение среднего . В формулировке среднее значение интерпретировалось как среднее арифметическое. Это может быть заменено другими понятиями средних величин, такими как среднее геометрическое расстояний. Если для задания среднего используется среднее геометрическое, полученные кривые оказываются лемнискатами . «Лемнискаты - это множества, все точки которых имеют одно и то же среднее геометрическое расстояние (т. Е. Их произведение постоянно). Лемнискаты играют центральную роль в теории приближения. Полиномиальное приближение голоморфной функции можно интерпретировать как приближение кривые уровня с лемнискатами. Произведение расстояний соответствует абсолютной величине корневого разложения многочленов на комплексной плоскости ".
• Измените мощность фокального набора . Измените определение так, чтобы определение можно было применять даже в случае, когда фокусное множество бесконечно. Эта возможность была впервые представлена ​​К. Гроссом и Т.-К. Strempel [2], и они поставили вопрос о том, можно ли распространить какие результаты (классического случая) на случай бесконечного числа фокусов или на непрерывное множество фокусов.
• Измените размер основного пространства . Можно считать, что точки лежат в некотором d- мерном пространстве.
• Измените определение расстояния . Традиционно используются евклидовы определения. вместо этого могут использоваться другие понятия расстояния, такие как расстояние такси . Обобщенные коники с этим понятием расстояния нашли применение в геометрической томографии .

Формулировка определения обобщенной коники в наиболее общем случае, когда мощность фокального множества бесконечна, включает понятия измеримых множеств и интегрирования Лебега. Все это использовалось разными авторами, и полученные кривые изучались с особым упором на приложения.

Определение

Позвольте быть метрика и мера на компакте с . Невзвешенная обобщенная коническая функция , связанная с IS ${\ displaystyle d: R ^ {n} \ rightarrow R}$${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle К \ подмножество R ^ {п}}$${\ Displaystyle \ му (К)> 0}$${\ displaystyle f_ {K}}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle f_ {K} (x) = \ int _ {K} g (x, y) d (x, y) \, d _ {\ mu} y}$

где - функция ядра, связанная с . это множество фокусов. Множества уровней называются обобщенными кониками. ${\ displaystyle g: R ^ {n} \ times R ^ {n} \ rightarrow R}$${\ displaystyle f_ {K}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ {x \ in R ^ {n}: f_ {K} (x) <c \}}$

Обобщенные коники через полярные уравнения

На рисунке показано исходное положение правого кругового конуса вместе с плоским сечением до его разворачивания на плоскость.

На рисунке показано произвольное положение правого кругового конуса вместе с плоским сечением, в то время как конус разворачивается на плоскость. На рисунке также показана обобщенная коника (пунктирная кривая на плоскости), до которой коническое сечение на конусе развернуто в плоскость.

Принимая во внимании конического, выбирая фокус конического как полюс и линию , проходящей через полюс , проведенные параллельно директрису из конических как полярной оси, полярное уравнение из конических можно записать в следующем виде:

${\ displaystyle r = {\ frac {ed} {1 + e \ sin \ theta}}}$

Здесь e - эксцентриситет коники, а d - расстояние направляющей от полюса. Том М. Апостол и Мамикон А. Мнацаканян в своем исследовании кривых, нарисованных на поверхности правильных круговых конусов, ввели новый класс кривых, которые они назвали обобщенными кониками. Это кривые, полярные уравнения которых аналогичны полярным уравнениям обычных коник, а обычные коники появляются как частные случаи этих обобщенных коник.

Определение

Для констант r ₀ ≥ 0, λ ≥ 0 и вещественного k плоская кривая, описываемая полярным уравнением

${\ displaystyle r = {\ frac {r_ {0}} {1+ \ lambda \ sin (k \ theta)}}}$

называется обобщенной коникой . Коника называется обобщенным эллипсом, параболой или гиперболой в соответствии с λ <1, λ = 1 или λ > 1.

Особые случаи

• В частном случае, когда k = 1, обобщенная коника сводится к обычной конике.
• В частном случае, когда k > 1, существует простой геометрический метод генерации соответствующей обобщенной коники.

Пусть α - угол такой, что sin α = 1 / k . Рассмотрим прямой круговой конус с полувертикальным углом, равным α . Рассмотрим пересечение этого конуса такой плоскостью, что пересечение является коникой с эксцентриситетом λ . Разверните конус на плоскость. Тогда кривая в плоскости, на которую развернут конический участок эксцентриситета λ, будет обобщенной коникой с полярным уравнением, как указано в определении.

• В частном случае, когда k <1, обобщенная коника не может быть получена разворачиванием конического участка. В этом случае есть другая интерпретация.

Рассмотрим обычную конику, начерченную на плоскости. Оберните плоскость так, чтобы сформировать правильный круговой конус, чтобы конус превратился в кривую в трехмерном пространстве. Проекция кривой на плоскость, перпендикулярную оси конуса, будет обобщенной коникой в ​​смысле Апостола и Мнацаканяна с k <1.

Примеры

r 0 = 5, λ = 0,6, k = 1,5	г 0 = 5, λ = 0,22, k = 5,5	r 0 = 5, λ = 1, k = 1,5	г 0 = 5, λ = 1, k = 1,15
r 0 = 5, λ = 1,6, k = 1,5	r 0 = 5, λ = 0,8, k = 0,5	r 0 = 5, λ = 1,0, k = 0,5	r 0 = 5, λ = 1,5, k = 0,5

Обобщенные коники в приближении кривой

В 1996 году Жуйбин Ку ввел новое понятие обобщенной коники как инструмента для создания приближений к кривым. Отправной точкой для этого обобщения является результат того, что последовательность точек, определяемая ${\ Displaystyle \ {P_ {k}: к = 0,1,2, \ ldots \}}$

${\ displaystyle P_ {k + 1} = 2 \ alpha P_ {k} -P_ {k-1}}$

лежать на конусе. В этом подходе обобщенная коника теперь определяется, как показано ниже.

Определение

Обобщенная коника - это такая кривая, что если две точки и находятся на ней, то точки, порожденные рекурсивным соотношением ${\ displaystyle P_ {0}}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle \ {P_ {k}: k> 1 \}}$

${\ displaystyle P_ {k + 1} = 2 \ alpha P_ {k} + \ beta P_ {k-1}}$

для некоторых и удовлетворение отношений ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$

${\ Displaystyle \ альфа \ бета \ neq 0, \ quad (\ alpha, \ beta) \ neq (\ pm 1, -1), \ quad \ alpha ^ {2} + \ beta \ neq 0}$

тоже на нем.

Обобщенные коники как эквидистантные множества

Анимация, показывающая создание эллипса как эквидистантного набора двух окружностей.

Определение

Пусть ( Х , д ) быть метрическое пространство , и пусть быть непустое подмножество X . Если x - точка в X , расстояние x от A определяется как d ( x , A ) = inf { d ( x , a ): a in A }. Если A и B оба непустые подмножества X, то эквидистантное множество, определяемое A и B , определяется как множество { x in X : d ( x , A ) = d ( x , B )}. Это равноудаленное множество обозначается { A = B }. Термин обобщенная коника используется для обозначения общего эквидистантного множества.

Примеры

Классические коники могут быть реализованы как эквидистантные множества. Например, если A - одноэлементный набор, а B - прямая линия, то эквидистантное множество { A = B } является параболой. Если A и B - окружности, такие что A полностью внутри B, то эквидистантное множество { A = B } является эллипсом. С другой стороны, если A полностью лежит вне B, эквидистантное множество { A = B } является гиперболой.

использованная литература

дальнейшее чтение

• Подробное обсуждение обобщенных коник с точки зрения дифференциальной геометрии см. В главе об обобщенных кониках в книге Чаба Винче «Выпуклая геометрия», доступной в Интернете.