Общая теория множеств - General set theory

Общая теория множества ( GST ) является Джордж Булос именем «s (1998) для фрагмента аксиоматической теории множеств Z . GST достаточен для любой математики, не требующей бесконечных множеств , и является самой слабой известной теорией множеств, теоремы которой включают аксиомы Пеано .

Онтология

Онтология GST идентична онтологии ZFC и, следовательно, полностью канонична. GST содержит одно примитивное онтологическое понятие, понятие множества , и одно онтологическое предположение, а именно, что все индивиды во вселенной дискурса (следовательно, все математические объекты ) являются множествами. Существует одно примитивное бинарное отношение , установленное членство ; которые устанавливают является членом множества Ъ записывается в ∈ B ( как правило , следующим образом: « является элементом из Ь »).

Аксиомы

Приведенные ниже символические аксиомы взяты из Boolos (1998: 196) и регулируют поведение и взаимодействие множеств. Как и в случае с Z , фоновая логика для GST - это логика первого порядка с идентичностью . В самом деле, GST - это фрагмент Z, полученный путем исключения аксиом Union , Power Set , Elementary Sets (по сути, Pairing ) и Infinity, а затем принятия теоремы Z, Adunction, как аксиомы. Версии аксиом на естественном языке предназначены для помощи интуиции.

1) Аксиома расширяемости : множества x и y являются одним и тем же множеством, если они имеют одинаковые элементы.

${\ displaystyle \ forall x \ forall y [\ forall z [z \ in x \ leftrightarrow z \ in y] \ rightarrow x = y].}$

Обратное к этой аксиоме следует из подстановочного свойства равенства.

2) Схема аксиомы спецификации (или разделение, или ограниченное понимание ): если z - это набор и любое свойство, которому могут удовлетворять все, некоторые или никакие элементы z , то существует подмножество y из z, содержащее только эти элементы. x в z, которые удовлетворяют свойству . Ограничение на г необходимо , чтобы избежать парадокса Рассела и его варианты. Более формально, пусть будет любая формула на языке GST, в которой x может встречаться свободно, а y - нет. Тогда все экземпляры следующей схемы являются аксиомами: ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ фи (х)}$

${\ Displaystyle \ forall z \ существует y \ forall x [x \ in y \ leftrightarrow (x \ in z \ land \ phi (x))].}$

3) Аксиома примыкания : Если х и у являются множествами, то существует множество ш , с примыканием по х и у , члены которого лишь у и члены х .

${\ Displaystyle \ forall x \ forall y \ существует w \ forall z [z \ in w \ leftrightarrow (z \ in x \ lor z = y)].}$

Присоединение относится к элементарной операции над двумя множествами и не имеет отношения к использованию этого термина где-либо еще в математике, в том числе в теории категорий .

Обсуждение

Метаматематика

Обратите внимание, что Спецификация - это схема аксиомы. Теория, данная этими аксиомами, не является конечно аксиоматизируемой . Монтегю (1961) показал, что ZFC не является конечно аксиоматизируемым, и его аргументы переносятся на GST. Следовательно, любая аксиоматизация GST должна включать хотя бы одну схему аксиом . Благодаря своим простым аксиомам GST также невосприимчив к трем великим антиномиям наивной теории множеств : антиномии Рассела , Бурали-Форти и Кантора .

GST является интерпретируемым в алгебре отношений, потому что ни одна часть аксиомы GST не лежит в области действия более трех кванторов . Это необходимое и достаточное условие, данное Тарски и Гивант (1987).

Арифметика Пеано

Установка φ ( x ) в разделении на x ≠ x и предположение, что область непуста, гарантирует существование пустого множества . Присоединение подразумевает, что если x - множество, значит, так оно и есть . При заданном примыкании можно продолжить обычное построение последовательных порядковых номеров из пустого набора , в котором натуральные числа определены как . См . Аксиомы Пеано . GST взаимно интерпретируется с арифметикой Пеано (таким образом, он имеет такую ​​же теоретическую силу, что и PA). ${\ Displaystyle S (х) = х \ чашка \ {х \}}$${\ Displaystyle \ varnothing, \, S (\ varnothing), \, S (S (\ varnothing)), \, \ ldots,}$

Самый замечательный факт о ST (и, следовательно, GST) заключается в том, что эти крошечные фрагменты теории множеств дают начало такой богатой метаматематике. В то время как ST является небольшим фрагментом хорошо известных канонических теорий множеств ZFC и NBG , ST интерпретирует арифметику Робинсона (Q), так что ST наследует нетривиальную метаматематику Q. Например, ST по существу неразрешима, потому что Q является, и все согласованные Теория, теоремы которой включают аксиомы ST, также по существу неразрешима. Это включает в себя GST и все аксиоматические теории множеств, о которых стоит задуматься, если они непротиворечивы. Фактически, неразрешимость ST подразумевает неразрешимость логики первого порядка с одной бинарной буквой предиката .

Q также неполно в смысле теоремы Гёделя о неполноте . Любая аксиоматизируемая теория, такая как ST и GST, теоремы которой включают аксиомы Q, также является неполной. Более того, непротиворечивость GST не может быть доказана внутри самого GST, если только GST не противоречит действительности.

Бесконечные множества

Для любой модели M ZFC набор наследственно конечных множеств в M будет удовлетворять аксиомам GST. Следовательно, GST не может доказать существование даже счетного бесконечного множества , то есть множества, мощность которого ℵ ₀ . Даже если бы GST предоставлял счетно бесконечное множество, GST не смог бы доказать существование набора, мощность которого равна , потому что в GST отсутствует аксиома набора мощности . Следовательно, GST не может служить основанием для анализа и геометрии и слишком слаб, чтобы служить основой для математики . ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$

История

Булос интересовался GST только как фрагмент Z , достаточно мощный для интерпретации арифметики Пеано . Он никогда не задерживались над GST, только упоминания о нем кратко в нескольких работах , обсуждающих системы Фреге «s Grundlagen и Grundgesetze , и как они могут быть изменены , чтобы устранить парадокс Рассела . Система Aξ ' [δ ₀ ] в Tarski and Givant (1987: 223) по сути является GST со схемой аксиом индукции, заменяющей спецификацию , и с явным предположением о существовании пустого множества .

GST называется STZ в Burgess (2005), стр. 223. Теория Берджесса ST - это GST с пустым набором, заменяющим схему аксиом спецификации . Буквы «ST» также встречаются в «GST» - это совпадение.

Сноски

Рекомендации

• Джордж Булос (1999) Логика, логика и логика . Harvard Univ. Нажмите.
• Берджесс, Джон, 2005. Исправление Фреге . Princeton Univ. Нажмите.
• Ричард Монтегю (1961) «Семантическое замыкание и нефинитная аксиоматизируемость» в инфинистических методах . Варшава: 45-69.
• Альфред Тарский , Анджей Мостовски и Рафаэль Робинсон (1953) Неразрешимые теории . Северная Голландия.
• Тарски, А., Гивант, Стивен (1987) Формализация теории множеств без переменных . Провиденс РИ: Публикации Коллоквиума AMS, т. 41.

внешние ссылки

• Стэнфордская энциклопедия философии : теория множеств - Томас Джех.