Гауссово изопериметрическое неравенство - Gaussian isoperimetric inequality

В математике Gaussian изопериметрическая неравенство , доказанное Бориса Цирельсоном и Владимира Судакова , а затем независимо от Кристер Борелл , утверждает , что среди всех наборов данной гауссовой меры в п - мерном евклидовом пространстве , полупространства имеют минимальную Gaussian граничная мера .

Математическая формулировка

Позвольте быть измеримым подмножеством наделенного стандартной гауссовой мерой с плотностью . Обозначим через ${\ displaystyle \ scriptstyle A}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ ехр (- \ | х \ | ^ {2} / 2)} / (2 \ пи) ^ {п / 2}}$

${\ Displaystyle A _ {\ varepsilon} = \ left \ {x \ in \ mathbf {R} ^ {n} \, | \, {\ text {dist}} (x, A) \ leq \ varepsilon \ right \} }$

ε-расширение A . Тогда изопериметрическое неравенство Гаусса утверждает, что

${\ displaystyle \ liminf _ {\ varepsilon \ to +0} \ varepsilon ^ {- 1} \ left \ {\ gamma ^ {n} (A _ {\ varepsilon}) - \ gamma ^ {n} (A) \ right \} \ geq \ varphi (\ Phi ^ {- 1} (\ gamma ^ {n} (A))),}$

где

${\ displaystyle \ varphi (t) = {\ frac {\ exp (-t ^ {2} / 2)} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ quad {\ rm {and}} \ quad \ Phi ( t) = \ int _ {- \ infty} ^ {t} \ varphi (s) \, ds.}$

Доказательства и обобщения

Оригинальные доказательства по Судакам, Цирельсон и Бореллам были основаны на Пол Леви «s сферического изопериметрического неравенства .

Сергей Бобков доказал функциональное обобщение гауссовского изопериметрического неравенства из некоего «двухточечного аналитического неравенства». Бакри и Леду дали другое доказательство функционального неравенства Бобкова, основанное на полугрупповой технике, которое работает в гораздо более абстрактной обстановке. Позже Барт и Мори дали еще одно доказательство с использованием броуновского движения .

Изопериметрическое неравенство Гаусса также следует из неравенства Эрхарда .

Смотрите также

• Концентрация меры
• Неравенство Борелла – ТИС

Ссылки