Азартные игры и теория информации - Gambling and information theory

Статистический вывод можно рассматривать как теорию азартных игр, применяемую к окружающему нас миру. Множество приложений для измерения логарифмической информации подсказывают нам, как сделать наилучшее предположение при наличии неполной информации. В этом смысле теорию информации можно рассматривать как формальное выражение теории азартных игр. Поэтому неудивительно, что теория информации имеет приложения к азартным играм.

Келли Беттинг

Ставки Келли или пропорциональные ставки - это приложение теории информации к инвестированию и азартным играм . Его первооткрывателем был Джон Ларри Келли-младший .

Часть идеи Келли заключалось в том, чтобы игрок максимизировал логарифм своего капитала, а не ожидаемую прибыль от каждой ставки. Это важно, так как в последнем случае человек будет вынужден поставить все, что у него есть, когда ему будет предложена выгодная ставка, а если он проиграет, у него не будет капитала для последующих ставок. Келли понял, что это логарифм капитала игрока, который складывается в последовательных ставках и «к которому применяется закон больших чисел».

Дополнительная информация

Бит это количество энтропии в случае с bettable двух возможных исходов и даже шансов. Очевидно, мы могли бы удвоить наши деньги, если бы знали заранее, каков будет исход этого события. Келли пришел к выводу, что независимо от того, насколько сложен сценарий ставок, мы можем использовать оптимальную стратегию ставок, называемую критерием Келли , чтобы наши деньги расти экспоненциально с любой дополнительной информацией, которую мы можем получить. Ценность этой «незаконной» дополнительной информации измеряется как взаимная информация относительно исхода события, на которое можно сделать ставку:

${\ Displaystyle {\ begin {align} I (X; Y) & = \ mathbb {E} _ {Y} \ {D _ {\ mathrm {KL}} {\ big (} P (X | Y) \ | P (X | I) {\ big)} \} \\ & = \ mathbb {E} _ {Y} \ {D _ {\ mathrm {KL}} {\ big (} P (X | {\ textrm {side}) } \ {\ textrm {информация}} \ Y) \ | P (X | {\ textrm {указано}} \ {\ textrm {odds}} \ I) {\ big)} \}, \ end {выравнивается}} }$

где Y - дополнительная информация, X - результат события, на которое можно сделать ставку, а I - уровень осведомленности букмекера. Это среднее Кульбак-Либлер дивергенция , или увеличение информации, из апостериорного распределения вероятностей X заданного значения Y по отношению к априорному распределению, или указанным коэффициентам, на X . Обратите внимание , что математическое ожидание берется по Y , а не X : мы должны оценить , насколько точны, в долгосрочной перспективе, наша сторона информация Y является , прежде чем мы начнем ставить реальные деньги на X . Это прямое применение байесовского вывода . Обратите внимание, что дополнительная информация Y может повлиять не только на наши знания о событии X, но и на самом событии. Например, Y может означать лошадь, у которой слишком много овса или недостаточно воды. Та же самая математика применима и в этом случае, потому что с точки зрения букмекера, случайные фиксации гонок уже учитываются, когда он рассчитывает свои коэффициенты.

Дополнительная информация чрезвычайно привередлива. Мы уже видели, что это может повлиять на фактическое событие, а также на наши знания о результате. Предположим, у нас есть информатор, который сообщает нам, что определенная лошадь собирается победить. Мы, конечно, не хотим ставить все наши деньги на эту лошадь только на слух: этот информатор может делать ставку на другую лошадь и, возможно, распространяет слухи только для того, чтобы самому получить лучшие шансы. Вместо этого, как мы указали, нам необходимо оценить нашу дополнительную информацию в долгосрочной перспективе, чтобы увидеть, как она соотносится с результатами гонок. Таким образом, мы можем точно определить, насколько надежен наш информатор, и сделать ставки именно так, чтобы максимизировать ожидаемый логарифм нашего капитала согласно критерию Келли. Даже если наш информатор лжет нам, мы все равно можем извлечь выгоду из его лжи, если сможем найти некоторую обратную корреляцию между его подсказками и фактическими результатами гонки.

Удвоение скорости

Удвоение ставки при азартных играх на скачках составляет

${\ Displaystyle W (b, p) = \ mathbb {E} [\ log _ {2} S (X)] = \ sum _ {i = 1} ^ {m} p_ {i} \ log _ {2} б_ {i} o_ {i}}$

где есть лошади, вероятность того, что лошадь выиграет, будет доля ставки богатства на лошадь и вероятность (выигрыш) (например, если выигравшая лошадь выплачивает двойную ставку). Это количество максимизируется пропорциональной игрой (Келли): ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle b_ {i}}$${\ displaystyle o_ {i}}$${\ displaystyle o_ {i} = 2}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle b = p \,}$

для которого

${\ displaystyle \ max _ {b} W (b, p) = \ sum _ {i} p_ {i} \ log _ {2} o_ {i} -H (p) \,}$

где находится информационная энтропия . ${\ displaystyle H (p)}$

Ожидаемая прибыль

Между количеством дополнительной информации, которую получает игрок, и ожидаемым экспоненциальным ростом его капитала (Келли) существует важная, но простая связь:

${\ displaystyle \ mathbb {E} \ log K_ {t} = \ log K_ {0} + \ sum _ {i = 1} ^ {t} H_ {i}}$

для оптимальной стратегии ставок, где - начальный капитал, - это капитал после t- й ставки, и это объем дополнительной информации, полученной относительно i- й ставки (в частности, взаимная информация относительно результата каждого события, на которое можно сделать ставку) . Это уравнение применяется при отсутствии каких-либо транзакционных издержек или минимальных ставок. Когда применяются эти ограничения (что неизменно происходит в реальной жизни), в игру вступает еще одна важная концепция азартных игр: игрок (или недобросовестный инвестор) должен столкнуться с определенной вероятностью окончательного разорения, которая известна как сценарий разорения игрока . Обратите внимание, что даже продукты питания, одежда и жилье могут считаться фиксированными операционными издержками и, таким образом, увеличивать вероятность окончательного разорения игрока. ${\ displaystyle K_ {0}}$${\ displaystyle K_ {t}}$${\ displaystyle H_ {i}}$

Это уравнение было первым применением теории информации Шеннона за рамками преобладающей парадигмы передачи данных (Пирс).

Приложения для самоинформации

Неожиданность и свидетельство в битах, как логарифмические меры вероятности и шанса соответственно.

Логарифмическая вероятностная мера собственной информация или surprisal, чья среднего значение информационная энтропия / неопределенность и чья среднее отличие состоит в KL-дивергенция , имеет приложение шансы-анализ все сами по себе. Его две основные сильные стороны заключаются в том, что они неожиданны: (i) уменьшают мизерные вероятности до числа управляемого размера и (ii) добавляют всякий раз, когда вероятности умножаются.

Например, можно сказать, что «количество состояний равно двум количеству битов», то есть #states = 2 ^#bits . Здесь величина, измеряемая в битах, является упомянутой выше логарифмической мерой информации. Следовательно, выпадение всех орлов при первом броске из N монет вызывает N неожиданностей.

Аддитивный характер сюрпризов и способность почувствовать их значение с помощью горстки монет могут помочь поместить невероятные события (например, выигрыш в лотерею или несчастный случай) в контекст. Например, если один из 17 миллионов билетов является победителем, то неожиданность выигрыша от одного случайного выбора составляет около 24 бит. Несколько раз бросив 24 монеты, вы почувствуете сюрприз, когда все решится с первой попытки.

Аддитивный характер этой меры также пригодится при взвешивании альтернатив. Например, представьте, что неожиданность вреда от вакцинации составляет 20 бит. Если неожиданность обнаружения болезни без вакцинации составляет 16 бит, но неожиданность вреда от болезни, если вы ее поймаете, составляет 2 бита, тогда неожиданность вреда от НЕ получения вакцинации составляет всего 16 + 2 = 18 бит. Независимо от того, решите вы пройти вакцинацию или нет (например, денежные затраты на ее оплату не включены в это обсуждение), вы можете, по крайней мере, принять на себя ответственность за решение, основанное на том, что отказ от вакцинации требует большего, чем немного дополнительного риска.

В более общем плане можно связать вероятность p с битами неожиданных sbit как вероятность = 1/2 ^sbit . Как было предложено выше, это в основном полезно с малыми вероятностями. Однако Джейнс указал, что с помощью утверждений истина-ложь можно также определить биты доказательств ebits как неожиданность против минус неожиданность за. Это свидетельство в битах просто связано с отношением шансов = p / (1-p) = 2 ^ebit и имеет преимущества, аналогичные преимуществам ^{самой самоинформации} .

Приложения в азартных играх

Теорию информации можно рассматривать как способ количественной оценки информации, чтобы принять лучшее решение перед лицом несовершенной информации. То есть как принять наилучшее решение, используя только имеющуюся у вас информацию. Смысл ставок заключается в том, чтобы рационально оценить все соответствующие переменные неопределенной игры / расы / матча, затем сравнить их с оценками букмекерской конторы, которые обычно представлены в виде коэффициентов или спредов, и сделать правильную ставку, если оценки существенно различаются. Сфера азартных игр, где это используется больше всего, - это ставки на спорт. Спортивная инвалидность очень хорошо поддается теории информации из-за доступности статистики. В течение многих лет известные экономисты проверяли различные математические теории, используя спорт в качестве лаборатории, с очень разными результатами.

Одна из теорий относительно ставок на спорт состоит в том, что это случайное блуждание . Случайное блуждание - это сценарий, при котором новая информация, цены и доходность будут колебаться случайно, это часть гипотезы эффективного рынка. Основное убеждение в гипотезе эффективного рынка состоит в том, что рынок всегда будет вносить поправки в любую новую информацию. Следовательно, никто не может превзойти рынок, потому что он торгует на той же информации, на основании которой рынок корректировался. Однако, по словам Фамы, для создания эффективного рынка необходимо соблюдение трех качеств:

• При торговле ценными бумагами отсутствуют транзакционные издержки.
• Вся доступная информация бесплатно доступна всем участникам рынка.
• Все согласны с последствиями текущей информации для текущей цены и распределения будущих цен каждой ценной бумаги.

Статистики показали, что это третье условие, которое позволяет теории информации быть полезной в борьбе с физическими недостатками в спорте. Когда все не согласны с тем, как информация повлияет на исход события, мы получаем разные мнения.

Смотрите также

• Принцип безразличия
• Футбольные прогнозы статистической ассоциации
• Расширенная статистика НФЛ

Рекомендации

внешние ссылки

• Статистический анализ в моделях спортивной инвалидности
• DVOA как объясняющая переменная