Нечеткая математика - Fuzzy mathematics

Для использования в других целях, см Нечеткая математика (значения) .

Нечеткая математика образует раздел математики, включая теорию нечетких множеств и нечеткую логику . Это началось в 1965 году после публикации основополагающей работы Лотфи Аскер Заде « Нечеткие множества» .

Определение

Нечеткое подмножество из множества X является функцией : Х → L , где L представляет собой интервал [0, 1]. Эта функция также называется функцией принадлежности. Функция принадлежности - это обобщение индикаторной функции (также называемой характеристической функцией ) подмножества, определенного для L = {0, 1}. В более общем плане , можно использовать любой полную решетку L в определении нечеткого подмножества A .

Фаззификация

Эволюцию фаззификации математических понятий можно разбить на три этапа:

  1. прямая фаззификация в шестидесятые и семидесятые годы,
  2. взрыв возможных выборов в процессе обобщения в восьмидесятые годы,
  3. стандартизация, аксиоматизация и L- фаззификация в девяностые годы.

Обычно фаззификация математических понятий основана на обобщении этих понятий от характеристических функций до функций принадлежности. Пусть и B два нечетких подмножества X . Пересечение  ∩  B и объединение  ∪  B определены следующим образом : (  ∩  B ) ( х ) = мин ( ( х ), В ( х )), (  ∪  B ) ( х ) = тах ( ( х ), в ( х )) для всех х в X . Вместо min и max можно использовать t-норму и t-конорму соответственно, например, min ( a , b ) можно заменить умножением ab . Прямая фаззификация обычно основана на минимальных и максимальных операциях, потому что в этом случае на нечеткий случай можно распространить больше свойств традиционной математики.

Важным принципом обобщения, используемым при фаззификации алгебраических операций, является свойство замыкания. Пусть * будет бинарная операция на X . Свойство замыкания для нечеткого подмножества A в X состоит в том, что для всех x , y в X , A ( x * y ) ≥ min ( A ( x ), A ( y )). Пусть ( G , *) является группой и нечеткое подмножество G . Тогда является нечетким подгруппа из G , если для всех х , у в G , А ( х * у -1 ) ≥ мин ( ( х ), ( у -1 )).

Аналогичный принцип обобщения используется, например, для фаззификации свойства транзитивности . Пусть R нечеткое отношение на X , т.е. R является нечеткое подмножество X  ×  X . Тогда R транзитивно (Нечетко-) , если для всех х ,  у ,  г в X , Р ( х ,  г ) ≥ мин ( Р ( х ,  у ), R ( у ,  г )).

Нечеткие аналоги

Нечеткие подгруппы и нечеткие подгруппы были введены в 1971 г. А. Розенфельдом.

Аналоги других математических предметов были переведены в нечеткую математику, например, теория нечеткого поля и нечеткая теория Галуа, нечеткая топология, нечеткая геометрия, нечеткие упорядочения и нечеткие графы.

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка