Фундаментальный группоид - Fundamental groupoid

В алгебраической топологии , то фундаментальный группоид определенный топологический инвариант из топологического пространства . Его можно рассматривать как продолжение более широко известной фундаментальной группы ; как таковой, он фиксирует информацию о гомотопическом типе топологического пространства. В терминах теории категорий фундаментальный группоид - это некий функтор из категории топологических пространств в категорию группоидов .

[...] люди по-прежнему упорно настаивают при расчетах с фундаментальными группами в фиксации единственной базовой точки вместо того, чтобы ловко выбирать целый пакет точек, который инвариантен относительно симметрий ситуации, которые, таким образом, теряются в пути. В определенных ситуациях (например, теоремы о спуске для фундаментальных групп в духе теоремы Ван Кампена, гораздо более элегантно, даже необходимо для понимания чего-либо, работать с фундаментальными группоидами относительно подходящего пакета базовых точек, [,,,]

- Александр Гротендик , программа Esquisse d'un (Раздел 2, английский перевод )

Определение

Пусть $X$ - топологическое пространство . Рассмотрим отношение эквивалентности на непрерывных путях в $X,$ в которых два непрерывных пути эквивалентны, если они гомотопны с фиксированными концами. Фундаментальный группоид сопоставляет каждой упорядоченной паре точек $(p, q)$ в $X$ набор классов эквивалентности непрерывных путей из $p$ в $q$ . В более общем смысле , фундаментальный Группоид $X$ на множество $S$ ограничивает фундаментальный группоид к точкам , которые лежат в обоих $X$ и $S$ . Это позволяет обобщить теорему Ван Кампена, используя две базовые точки для вычисления фундаментальной группы окружности, и полностью обсуждается в книге «Топология и группоиды», перечисленной ниже.

Как следует из названия, фундаментальный группоид $X$ естественно имеет структуру группоида . В частности, он образует категорию; объекты считаются точками $X,$ а набор морфизмов из $p$ в $q$ - это набор классов эквивалентности, указанных выше. Тот факт, что это удовлетворяет определению категории, составляет стандартный факт, что класс эквивалентности конкатенации двух путей зависит только от классов эквивалентности отдельных путей. Точно так же тот факт, что эта категория является группоидом, который утверждает, что каждый морфизм обратим, составляет стандартный факт, что можно изменить ориентацию пути, а класс эквивалентности результирующей конкатенации содержит постоянный путь.

Обратите внимание , что основные группоидом правопреемников, к упорядоченной паре $(р, р)$ , то фундаментальная группа из $X$ основана на $р$ .

Основные свойства

Учитывая топологическое пространство $X$ , то компоненты линейной связности из $X$ , естественно , закодированы в его фундаментальной группоиде; наблюдение состоит в том, что $p$ и $q$ находятся в одной компоненте линейной связности $X$ тогда и только тогда, когда набор классов эквивалентности непрерывных путей от $p$ к $q$ непуст. В категорических терминах утверждение состоит в том, что объекты $p$ и $q$ находятся в одном компоненте группоида тогда и только тогда, когда набор морфизмов из $p$ в $q$ непуст.

Предположим , что $Х$ является линейно связным, и закрепить элемент $р$ из $X$ . Можно рассматривать фундаментальную группу $π 1 (X, p)$ как категорию; есть один объект, и морфизмы от него к себе являются элементами $π 1 (X, p)$ . Выбор для каждого $q$ в $M$ непрерывного пути от $p$ до $q$ позволяет использовать конкатенацию для просмотра любого пути в $X$ как цикла на основе $p$ . Это определяет эквивалентность категорий между $П 1 (X, р)$ и фундаментальная Группоид $X$ . Точнее, это демонстрирует $тг 1 (X, р)$ в качестве скелета фундаментального группоиде $X$ .

Связки групп и локальных систем

Учитывая топологическое пространство $X$ , А локальная система является функтор из фундаментального группоиде $X$ к категории. В качестве важного частного случая расслоение (абелевых) групп на $X$ является локальной системой со значениями в категории (абелевых) групп. Это означает, что расслоение групп на $X$ сопоставляет группу $G p$ каждому элементу $p$ из $X$ и сопоставляет групповой гомоморфизм $G p \to G q$ каждому непрерывному пути от $p$ к $q$ . Чтобы быть функтором, эти гомоморфизмы групп должны быть совместимы с топологической структурой, так что гомотопические пути с фиксированными концами определяют тот же гомоморфизм; кроме того, гомоморфизмы групп должны составлять в соответствии с конкатенацией и обращением путей. Можно определить гомологии с коэффициентами в расслоении абелевых групп.

Когда $X$ удовлетворяет определенным условиям, локальную систему можно эквивалентно описать как локально постоянный пучок .

Примеры

Фундаментальным группоидом синглетонного пространства является тривиальный группоид (группоид с одним объектом * и одним морфизмом $Hom (*, *) = {id * : * \to *$ }
Фундаментальный группоид из круга связан и все его групп вершин изоморфны (Z, +), в аддитивную группу из целых чисел .

Гипотеза гомотопии

Гипотеза гомотопии , хорошо известная гипотеза в теории гомотопий, сформулированная Александром Гротендиком , утверждает, что подходящее обобщение фундаментального группоида, известного как фундаментальный ∞-группоид , захватывает всю информацию о топологическом пространстве с точностью до слабой гомотопической эквивалентности .

использованная литература

Рональд Браун. Топология и группоиды. Третье издание « Элементов современной топологии» [McGraw-Hill, New York, 1968]. С 1 CD-ROM (Windows, Macintosh и UNIX). BookSurge, LLC, Чарльстон, Южная Каролина, 2006. xxvi + 512 стр. ISBN 1-4196-2722-8
Браун Р., Хиггинс П. ~ Дж. и Р. Сивера, `` Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды. Трактаты по математике, том 15. Европейское математическое общество (2011). (663 + xxv страниц) ISBN 978-3-03719-083-8

JP May. Краткий курс алгебраической топологии. Чикагские лекции по математике. University of Chicago Press, Чикаго, Иллинойс, 1999. x + 243 стр. ISBN 0-226-51182-0 , 0-226-51183-9
Эдвин Х. Спаниер. Алгебраическая топология. Исправленное перепечатание оригинала 1966 года. Springer-Verlag, Нью-Йорк-Берлин, 1981. xvi + 528 стр. ISBN 0-387-90646-0
Джордж Уайтхед. Элементы теории гомотопии. Тексты для выпускников по математике, 61. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978. xxi + 744 pp. ISBN 0-387-90336-4

внешние ссылки

Веб-сайт Рональда Брауна, известного автора по теме группоидов в топологии: http://groupoids.org.uk/
фундаментальный группоид в nLab
фундаментальный бесконечный группоид в nLab

Эта статья о топологии незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

Languages

In other projects