Интеграл Фруллани - Frullani integral

В математике , Frullani интегралы представляют собой тип специфики несобственного интеграла имени итальянского математика Giuliano Frullani . Интегралы имеют вид

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {f (ax) -f (bx)} {x}} \, {\ rm {d}} x}$

где - функция, определенная для всех неотрицательных действительных чисел , у которых есть предел в , который мы обозначим через . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ infty}$${\ Displaystyle е (\ infty)}$

При определенных условиях справедлива следующая формула их общего решения:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {f (ax) -f (bx)} {x}} \, {\ rm {d}} x = {\ Big (} f ( \ infty) -f (0) {\ Big)} \ ln {\ frac {a} {b}}.}$

Доказательство

Простое доказательство формулы может быть получено путем разложения подынтегральной функции в интеграл и последующего использования теоремы Фубини для замены двух интегралов местами:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {f (ax) -f (bx)} {x}} \, dx & = \ int _ {0} ^ { \ infty} \ left [{\ frac {f (xt)} {x}} \ right] _ {t = b} ^ {t = a} \, dx \\ & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {b} ^ {a} f '(xt) \, dt \, dx \\ & = \ int _ {b} ^ {a} \ int _ {0} ^ {\ infty} f' (xt) \, dx \, dt \\ & = \ int _ {b} ^ {a} \ left [{\ frac {f (xt)} {t}} \ right] _ {x = 0} ^ { x \ to \ infty} \, dt \\ & = \ int _ {b} ^ {a} {\ frac {f (\ infty) -f (0)} {t}} \, dt \\ & = { \ Big (} f (\ infty) -f (0) {\ Big)} {\ Big (} \ ln (a) - \ ln (b) {\ Big)} \\ & = {\ Big (} f (\ infty) -f (0) {\ Big)} \ ln {\ Big (} {\ frac {a} {b}} {\ Big)} \\\ конец {выровнено}}}$

Обратите внимание, что интеграл во второй строке выше был взят по интервалу , а не . ${\ Displaystyle [б, а]}$${\ Displaystyle [а, б]}$

Приложения

Формулу можно использовать для получения интегрального представления натурального логарифма , допуская и : ${\ Displaystyle \ ln (х)}$${\ Displaystyle е (х) = е ^ {- х}}$${\ displaystyle a = 1}$

${\ displaystyle {\ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- x} -e ^ {- bx}} {x}} \, {\ rm {d}} x = {\ Большой (} \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {e ^ {n}}} - e ^ {0} {\ Big)} \ ln {\ Big (} {\ frac {1 } {b}}} {\ Big)} = \ ln (b)}$

Формулу также можно обобщить по-разному.

Рекомендации

• Г. Борос, В. Молл, Непреодолимые интегралы (2004), стр. 98
• Хуан Ариас-де-Рейна, К теореме Фруллани (PDF; 884 kB), Proc. AMS 109 (1990), 165-175.
• ProofWiki, доказательство интеграла Фруллани .