Теорема Фробениуса (вещественные алгебры с делением) - Frobenius theorem (real division algebras)

В математике , точнее в абстрактной алгебре , теорема Фробениуса , доказанная Фердинандом Георгом Фробениусом в 1877 году, характеризует конечномерные ассоциативные алгебры с делением над действительными числами . Согласно теореме любая такая алгебра изоморфна одному из следующих:

Эти алгебры имеют действительную размерность 1, 2 и 4 соответственно. Из этих трех алгебр, R и С являются коммутативными , но Н не является.

Доказательство

Основными составляющими следующего доказательства являются теорема Кэли – Гамильтона и основная теорема алгебры .

Вводя некоторые обозначения

  • Пусть D - рассматриваемая алгебра с делением.
  • Пусть п размерность D .
  • Мы определяем реальные кратные 1 с R .
  • Когда мы пишем ≤ 0 для элемента а из D , мы неявно предполагаем , что содержится в R .
  • Мы можем рассматривать D как конечномерный R - векторное пространство . Любой элемент d из D определяет эндоморфизм из D левого умножения, мы идентифицируем д с этим эндоморфизмом. Таким образом, мы можем говорить о следе о й , и его характеристики и минимальных многочленов .
  • Для любого z из C определите следующий действительный квадратичный многочлен:
Заметим , что если гCР , то Q ( г ; х ) неприводим над R .

Претензии

Ключ к аргументу заключается в следующем

Требовать. Множество V всех элементов из D таких , что в 2 ≤ 0 является векторным подпространством D в размерности п - 1 . Более того, D = RV как R -векторные пространства, откуда следует, что V порождает D как алгебру.

Доказательство утверждения : пусть m - размерность D как R -векторного пространства, и выберем a в D с характеристическим многочленом p ( x ) . По основной теореме алгебры мы можем написать

Мы можем переписать p ( x ) в терминах многочленов Q ( z ; x ) :

Так как г JC \ R , многочлены Q ( г J ; х ) все неприводимые над R . По теореме Кэли – Гамильтона p ( a ) = 0 и поскольку D - алгебра с делением, отсюда следует, что либо a - t i = 0 для некоторого i, либо Q ( z j ; a ) = 0 для некоторого j . Первый случай подразумевает, что a реально. Во втором случае Q ( z j ; x ) - минимальный многочлен от a . Поскольку p ( x ) имеет те же комплексные корни, что и минимальный многочлен, и поскольку он действительный, отсюда следует, что

Поскольку p ( x ) является характеристическим многочленом a, коэффициент при x 2 k −1 в p ( x ) равен tr ( a ) с точностью до знака. Следовательно, мы читаем из приведенного выше уравнения: tr ( a ) = 0 тогда и только тогда, когда Re ( z j ) = 0 , другими словами tr ( a ) = 0 тогда и только тогда, когда a 2 = - | z j | 2 <0 .

Итак, V - это подмножество всех a с tr ( a ) = 0 . В частности, это векторное подпространство. Тогда из теоремы о ранге-нуле следует, что V имеет размерность n - 1, поскольку она является ядром . Так как Р и V не пересекаются (т.е. они удовлетворяют ), а также их размеры сумма к п , мы имеем , что D = RV .

Финиш

Для a , b в V положим B ( a , b ) = (- ab - ba ) / 2 . Из тождества ( a + b ) 2 - a 2 - b 2 = ab + ba следует, что B ( a , b ) вещественно. Кроме того, поскольку a 2 ≤ 0 , имеем: B ( a , a )> 0 при a 0 . Таким образом , В является положительно определенной симметричной билинейной формы , другими словами, скалярное произведение на V .

Пусть W - подпространство в V , порождающее D как алгебру и минимальное в отношении этого свойства. Пусть е 1 , ..., е п представлять собой ортонормированный базис из W относительно B . Тогда ортонормальность означает, что:

Если п = 0 , то D является изоморфной , чтобы R .

Если n = 1 , то D порождается 1 и e 1 с учетом соотношения e2
1
= -1
. Следовательно , она изоморфна С .

Если n = 2 , выше было показано, что D порождается 1, e 1 , e 2 с учетом соотношений

Именно эти соотношения для Н .

Если n > 2 , то D не может быть алгеброй с делением. Предположим, что n > 2 . Пусть u = e 1 e 2 e n . Легко видеть, что u 2 = 1 (это работает, только если n > 2 ). Если бы D была алгеброй с делением, 0 = u 2 - 1 = ( u - 1) ( u + 1) влечет u = ± 1 , что, в свою очередь, означает: e n = ∓ e 1 e 2 и, следовательно, e 1 , .. ., е п -1 порождают D . Это противоречит минимальности Вт .

Замечания и связанные результаты

  • Тот факт, что D порождается e 1 , ..., e n с учетом указанных выше соотношений, означает, что D является алгеброй Клиффорда для R n . Последний шаг показывает, что единственными действительными алгебрами Клиффорда, которые являются алгебрами с делением, являются Cℓ 0 , Cℓ 1 и Cℓ 2 .
  • Как следствие, только коммутативное деление алгебра Р и С . Также обратите внимание, что H не является C -алгеброй. Если бы это было, то центр Н должен содержать С , но центром H является R . Следовательно, единственная конечномерная алгебра с делением над C - это сама C.
  • Эта теорема тесно связана с теоремой Гурвица , в котором говорится о том , что единственным реальным нормированные алгебры с делением являются R , C , H , и (неассоциативным) алгебра O .
  • Понтрягин вариант. Если D является связным , локально компактным делением кольца , то D = R , С или Н .

использованная литература

  • Рэй Э. Арц (2009) Скалярные алгебры и кватернионы , теорема 7.1 «Классификация Фробениуса», стр. 26.
  • Фердинанд Георг Фробениус (1878) " Uber lineare Substitutionen und bilineare Formen ", Journal für die reine und angewandte Mathematik 84: 1–63 ( Журнал Crelle ). Перепечатано в Gesammelte Abhandlungen Band I, pp. 343–405.
  • Юрий Бахтурин (1993) Основные структуры современной алгебры , Kluwer Acad. Паб. С. 30–2 ISBN  0-7923-2459-5 .
  • Леонард Диксон (1914) Линейные алгебры , Cambridge University Press . См. §11 «Алгебра вещественных кватернионов; ее уникальное место среди алгебр», стр. 10–12.
  • RS Palais (1968) "Классификация алгебр вещественного деления" American Mathematical Monthly 75: 366–8.
  • Лев Семенович Понтрягин , Топологические группы , стр.159, 1966.