Теорема Фрейденталя о подвеске - Freudenthal suspension theorem

В математике , и особенно в области теории гомотопий , теорема Фрейденталя о подвешивании является фундаментальным результатом, ведущим к концепции стабилизации гомотопических групп и, в конечном итоге, к стабильной теории гомотопий . Это объясняет поведение одновременного взятия подвешивания и увеличения индекса гомотопических групп рассматриваемого пространства. Это было доказано в 1937 году Гансом Фройденталем .

Теорема является следствием теоремы о гомотопическом вырезании .

Формулировка теоремы

Пусть X - n- связное точечное пространство (точечный CW-комплекс или точечное симплициальное множество ). Карта

${\ Displaystyle X \ к \ Omega (\ Sigma X)}$

индуцирует карту

${\ displaystyle \ pi _ {k} (X) \ to \ pi _ {k} (\ Omega (\ Sigma X))}$

на гомотопических группах, где Ω обозначает функтор петель, а Σ обозначает приведенный функтор надстройки . Тогда теорема о надстройке утверждает, что индуцированное отображение на гомотопических группах является изоморфизмом, если k ≤ 2 n, и эпиморфизмом, если k = 2 n + 1.

Основной результат о пространствах циклов дает соотношение

${\ Displaystyle \ pi _ {к} (\ Omega (\ Sigma X)) \ cong \ pi _ {k + 1} (\ Sigma X)}$

так что иначе теорему можно было бы сформулировать в терминах отображения

${\ Displaystyle \ пи _ {к} (Х) \ к \ пи _ {к + 1} (\ Sigma X),}$

с небольшой оговоркой, что в этом случае нужно быть осторожным с индексацией.

Доказательство

Как упоминалось выше, теорема Фрейденталя о приостановке быстро следует из гомотопического вырезания ; это доказательство проводится в терминах естественного отображения . Если пространство является связным, то пара пространств является связным, где это приведенное конус над ; это следует из относительной гомотопической длинной точной последовательности . Мы можем разложить на две копии , скажем , пересечение . Тогда гомотопическое вырезание говорит, что карта включения: ${\ Displaystyle \ пи _ {к} (Х) \ к \ пи _ {к + 1} (\ Sigma X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (CX, X)}$${\ Displaystyle (п + 1)}$${\ displaystyle CX}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ Sigma X}$${\ displaystyle CX}$${\ Displaystyle (CX) _ {+}, (CX) _ {-}}$${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle ((CX) _ {+}, X) \ subset (\ Sigma X, (CX) _ {-})}$

индуцирует изоморфизмы на и сюръекцию на . Из той же относительно длинной точной последовательности, и поскольку, кроме того, конусы стягиваются, ${\ Displaystyle \ pi _ {я}, я <2n + 2}$${\ displaystyle \ pi _ {2n + 2}}$${\ Displaystyle \ пи _ {я} (Х) = \ пи _ {я + 1} (CX, X),}$

${\ displaystyle \ pi _ {i} (\ Sigma X, (CX) _ {-}) = \ pi _ {i} (\ Sigma X).}$

Собирая все вместе, получаем

${\ Displaystyle \ pi _ {я} (X) = \ pi _ {я + 1} ((CX) _ {+}, X) = \ pi _ {i + 1} ((\ Sigma X, (CX) _ {-}) = \ pi _ {i + 1} (\ Sigma X)}$

для , то есть , как заявлено выше; поскольку левое и правое отображения являются изоморфизмами, независимо от того, насколько они связаны , а средний - это сюръекция путем вырезания, поэтому композиция является сюръекцией, как заявлено. ${\ Displaystyle я + 1 <2n + 2}$${\ Displaystyle я \ leqslant 2n}$${\ Displaystyle я = 2n + 1}$${\ displaystyle X}$

Следствие 1.

Пусть S ^п обозначим п -сферы и к сведению , что ( п - 1) связным так , что группы стабилизироваться по теореме Фрейденталя. Эти группы представляют собой k- ю стабильную гомотопическую группу сфер . ${\ Displaystyle \ пи _ {п + к} (S ^ {п})}$${\ Displaystyle п \ geqslant k + 2}$

Следствие 2.

В более общем смысле, для фиксированного k ≥ 1, k ≤ 2 n для достаточно большого n , так что любое n- связное пространство X будет иметь соответствующие стабилизированные гомотопические группы. Эти группы фактически являются гомотопическими группами объекта, соответствующего X в стабильной гомотопической категории .

Ссылки

• Фройденталь, Х. (1938), "Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen" , Compositio Mathematica , 5 : 299–314.
• Goerss, PG; Jardine, JF (1999), Simplicial Homotopy Theory , Progress in Mathematics, 174 , Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser.
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79540-0.
• Уайтхед, ГВт (1953), "О Фрейденталя теоремы", Анналы математики , 57 (2): 209-228, DOI : 10,2307 / 1969855 , JSTOR  1969855 , МР  0055683.