Частотная вероятность - Frequentist probability
Частотная вероятность или частотный подход - это интерпретация вероятности ; он определяет вероятность события как предел его относительной частоты во многих испытаниях. Вероятности могут быть найдены (в принципе) с помощью повторяемого объективного процесса (и, таким образом, в идеале не учитываются мнения). Эта интерпретация поддерживает статистические потребности многих ученых-экспериментаторов и социологов. Однако он не поддерживает все потребности; Игроки обычно требуют оценки шансов без экспериментов.
Развитие частотного подхода было мотивировано проблемами и парадоксами ранее господствовавшей точки зрения - классической интерпретации . В классической интерпретации вероятность определялась в терминах принципа безразличия , основанного на естественной симметрии задачи, так, например, вероятности игры в кости возникают из естественной симметричной 6-сторонности куба. Эта классическая интерпретация наталкивается на любую статистическую проблему, не имеющую естественной симметрии для рассуждений.
Определение
В частотной интерпретации вероятности обсуждаются только в случае четко определенных случайных экспериментов. Множество всех возможных результатов случайного эксперимента называется выборочным пространством эксперимента. Событие определяется как конкретное подмножество рассматриваемого пространства выборки. Для любого данного события может иметь место только одна из двух возможностей: оно происходит или нет. Относительная частота возникновения события, наблюдаемая при нескольких повторениях эксперимента, является мерой вероятности этого события. Это основная концепция вероятности в частотной интерпретации.
Частотный подход утверждает, что по мере увеличения числа испытаний изменение относительной частоты будет уменьшаться. Следовательно, можно рассматривать вероятность как предельное значение соответствующих относительных частот.
Сфера
Частотная интерпретация - это философский подход к определению и использованию вероятностей; это один из нескольких таких подходов. Он не претендует на то, чтобы охватить все коннотации понятия «вероятный» в разговорной речи естественных языков.
Как интерпретация, это не противоречит математической аксиоматизации теории вероятностей; скорее, это руководство по применению математической теории вероятностей к ситуациям реального мира. Он предлагает четкое руководство по построению и планированию практических экспериментов, особенно в сравнении с байесовской интерпретацией . Вопрос о том, является ли это руководство полезным или может быть неверно истолкован, был источником разногласий. В частности, когда частотная интерпретация вероятности ошибочно принимается за единственно возможное основание для частотного вывода . Так, например, к статье о p-значениях прилагается список неверных интерпретаций значения p-значений; разногласия подробно описаны в статье о статистической проверке гипотез . В парадоксе Джеффриса-Линдли показывает , как различные интерпретации, примененные к одному набору данных, может привести к различным выводам о «статистической значимости» результата.
Как заметил Уильям Феллер :
В нашей системе нет места для предположений о вероятности того, что солнце взойдет завтра . Прежде чем говорить об этом, мы должны согласовать (идеализированную) модель, которая предположительно будет работать по принципу «из бесконечного множества миров один выбирается случайным образом ...» Для построения такой модели требуется немного воображения, но она кажется и неинтересно, и бессмысленно.
Комментарий Феллера был критикой Пьера-Симона Лапласа , который опубликовал решение проблемы восхода солнца с использованием альтернативной вероятностной интерпретации. Несмотря на явное и немедленное заявление Лапласа об отказе от ответственности в источнике, основанном на опыте в астрономии, а также на теории вероятностей, за этим последовали два столетия критики.
История
Частотный взгляд, возможно, был предвосхищен Аристотелем в « Риторике» , когда он писал:
вероятно то, что по большей части случается
Пуассон четко различал объективные и субъективные вероятности в 1837 году. Вскоре после этого последовал поток почти одновременных публикаций Милля , Эллиса («Об основах теории вероятностей» и «Замечания об основных принципах теории вероятностей»), Курно ( Exposition de la théorie des randoms et des probabilités ) и Фрис представили частотную точку зрения. Венн провел подробное изложение ( «Логика случая: эссе об основах и областях теории вероятностей» (опубликованные издания 1866, 1876, 1888)) два десятилетия спустя. Они были дополнительно поддержаны публикациями Буля и Бертрана . К концу XIX века частотная интерпретация утвердилась и, возможно, стала доминирующей в науке. Следующее поколение установило инструменты классической логической статистики (проверка значимости, проверка гипотез и доверительные интервалы), основанные на частотной вероятности.
С другой стороны, Якоб Бернулли (он же Джеймс или Жак) понял концепцию частотной вероятности и опубликовал критическое доказательство (слабый закон больших чисел) посмертно в 1713 году . Ему также приписывают некоторую оценку субъективной вероятности (до и без теоремы Байеса). Гаусс и Лаплас использовали частотную (и другую) вероятность при выводе метода наименьших квадратов столетием позже, на поколение до Пуассона. Лаплас рассмотрел вероятности свидетельских показаний, таблиц смертности, решений трибуналов и т. Д., Которые вряд ли являются кандидатами на классическую вероятность. С этой точки зрения вклад Пуассона заключался в его резкой критике альтернативной «обратной» (субъективной, байесовской) интерпретации вероятностей. Любая критика со стороны Гаусса и Лапласа была приглушенной и скрытой. (В их более поздних выводах не использовалась обратная вероятность.)
Основными участниками "классической" статистики в начале 20 века были Фишер , Нейман и Пирсон . Фишер внес вклад в большую часть статистики и сделал проверку значимости ядром экспериментальной науки, хотя он критиковал частотную концепцию «повторной выборки из одной и той же популяции» ( Rubin, 2020 ); Нейман сформулировал доверительные интервалы и внес большой вклад в теорию выборки; Нейман и Пирсон объединились в создании проверки гипотез. Все ценили объективность, поэтому лучшая доступная им интерпретация вероятности была частотной. Все с подозрением относились к «обратной вероятности» (доступной альтернативе) с априорной вероятностью, выбранной с использованием принципа безразличия. Фишер сказал: «... теория обратной вероятности основана на ошибке [ссылаясь на теорему Байеса] и должна быть полностью отвергнута». (из его «Статистических методов для научных работников»). Хотя Нейман был чистым частотником, взгляды Фишера на вероятность были уникальными; У обоих были тонкие взгляды на вероятность. фон Мизес предложил комбинацию математической и философской поддержки частотного подхода той эпохи.
Этимология
Согласно Оксфордскому словарю английского языка , термин «частотный» впервые был использован М.Г. Кендаллом в 1949 году в отличие от байесовцев , которых он называл «нечастотниками». Он заметил
- 3 .... мы можем в общих чертах различить два основных отношения. Один принимает вероятность как «степень рациональной веры» или какую-то подобную идею ... второй определяет вероятность в терминах частоты возникновения событий или относительных пропорций в «популяциях» или «коллективах»; (стр.101)
- ...
- 12. Можно подумать, что различия между частотниками и нечастицами (если я могу их так назвать) в значительной степени обусловлены различиями в областях, которые они, как предполагается, охватывают. (стр.104)
- ...
- Я утверждаю, что это не так ... Существенное различие между частотниками и нечастицами, я думаю, состоит в том, что первые, стремясь избежать чего-либо, относящегося к вопросам общественного мнения, стремятся определить вероятность в терминах объективные свойства населения, реальные или гипотетические, тогда как последние - нет. [курсив в оригинале]
«Частотная теория вероятности» использовалась поколением раньше в качестве названия главы у Кейнса (1921).
Историческая последовательность: были введены концепции вероятности и выведена большая часть математики вероятностей (до 20 века), были разработаны классические методы статистического вывода, были укреплены математические основы вероятности и введена современная терминология (все в 20 веке). В основных исторических источниках вероятности и статистики не использовалась текущая терминология классической, субъективной (байесовской) и частотной вероятности.
Альтернативные виды
Теория вероятностей - это раздел математики. Хотя ее корни уходят в прошлое, она достигла зрелости с аксиомами Андрея Колмогорова в 1933 году. Теория фокусируется на действительных операциях над значениями вероятности, а не на начальном присвоении значений; математика в значительной степени не зависит от какой-либо интерпретации вероятности.
Приложения и интерпретации вероятности рассматриваются философией, наукой и статистикой. Все заинтересованы в извлечении знаний из наблюдений - в индуктивных рассуждениях . Есть множество конкурирующих интерпретаций; У всех проблемы. Частотная интерпретация действительно решает трудности с классической интерпретацией, такие как любая проблема, в которой естественная симметрия результатов неизвестна. Он не затрагивает другие вопросы, такие как голландская книга .
- Классическая вероятность присваивает вероятности на основе физической идеализированной симметрии (игральные кости, монеты, карты). Классическое определение подвержено риску округлости; Вероятности определяются исходя из предположения о равенстве вероятностей. В отсутствие симметрии полезность определения ограничена.
- Субъективная (байесовская) вероятность (группа конкурирующих интерпретаций) учитывает степени веры. Все практические «субъективные» интерпретации вероятностей настолько ограничены рациональностью, что избегают большей части субъективности. Настоящая субъективность отталкивает некоторые определения науки, которые стремятся к результатам, независимым от наблюдателя и аналитика. Другие приложения байесовства в науке (например, логический байесовский подход) охватывают присущую многим научным исследованиям и объектам субъективность и используют байесовское рассуждение для определения границ и контекста влияния субъективностей на весь анализ. Исторические корни этой концепции простираются на такие нечисловые приложения, как юридические доказательства.
- Вероятность предрасположенности рассматривает вероятность как причинное явление, а не как чисто описательное или субъективное.
Примечания
использованная литература
- П. У. Бриджмен, Логика современной физики , 1927 г.
- Алонсо Чёрч, Концепция случайной последовательности , 1940
- Харальд Крамер, Математические методы статистики , 1946 г.
- Уильям Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения , 1957 г.
- П. Мартин-Лёф, О концепции случайной последовательности , 1966 г.
- Рихард фон Мизес, « Вероятность, статистика и правда» , 1939 г. (немецкий оригинал 1928 г.)
- Ежи Нейман, Первый курс теории вероятностей и статистики , 1950 г.
- Ганс Райхенбах, Теория вероятностей , 1949 (немецкий оригинал 1935 года)
- Бертран Рассел, Человеческое знание , 1948 г.
- Фридман, К. (1999). «Вероятностная интерпретация» . Успехи в прикладной математике . 23 (3): 234–254. DOI : 10.1006 / aama.1999.0653 . PS